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Cette application est une symétrie (symétrie par rapport au sous-espace des matrices symétriques parallèlement au sous-espace des antisymétriques). elle est donc diagonalisable.

Plus précisément: on forme une base de Mn(R) en juxtaposant une base des symétriques et une base des antisymétriques. La matrice de l'application transposition sur cette base est diagonale, avec des 1 et des -1 sur la diagonale.

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On cherche une matrice de f dans une base sympathique. On peut prendre par exemple une base formée des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. On obtient une jolie matrice diagonale.

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Pas de soucis.