Alors, je vais taper fort mais c'est fait expres : c'est COMPLETEMENT faux
Je tape fort parce que c'est une erreur classique, et qu'il est important que tu comprennes pourquoi.

Si on suit ce que tu dis, pour tout x appartenant à [-1,1], x appartient à R : donc [-1,1] = R
Tu vois qu'il y a un probleme.
En fait, la seule chose que tu demontres, c'est l'INCLUSION : [-1,1] est inclus dans R

Si tu veux montrer l'egalité de deux ensembles, il faut que tu prouves la double inclusion (c'est a dire que chacun est inclus dans l'autre)

Pour le 1), il faut que tu montres que Im(g o f)Im(g) et Im(g)Im(g o f)
(l'un des deux sens est trivial, pour l'autre, il faut que tu utilises ton hypothèse sur f et g)

Bonsoir,
c'est un exercice assez bizarre.
En effet la condition entraine que et sont des bijections et donc que et que .
Les résultats demandé sont alors évidents.

Pour que l'on puisse t'aider il faut que tu précises les propriétés que tu peux utiliser.

Verdurin, désolé mais ce que tu dis es faux.
1- parce que pour que f et g soient des bijections, il faut que f o g ET g o f soit egales à Id, l'une n'impliquant pas l'autre
(exemple dans C(R,R), f=derivée et g=intégrale de 0 à x)
2- f bijective ne donne Im(f)=E que si on est en dimension finie. Or l'énoncé ne l'impose pas.

En effet Yota j'ai pensé en dimension finie. C'est une erreur de ma part.

Comment est ce qu'on en déduit que la condition (f rond g) = IdE entraine que f et g sont des bijections?
On révise l'algèbre (matrices, espace vectoriels) donc sans doute les propriétés de bases de ces chapitres.

Je vais essayer de faire ce que vous m'avez indiqué, merci de votre aide!

Euh.. en fait, qu'est ce que sa signifie concrètement que (f rond g = idE) svp? C'est quoi un endomorphisme identité?

L'endomorphisme identité,c'est celui qui a tout element associe... lui-même
f(a)=a si tu preferes

Donc f o g = Id, ca veut dire que (f o g)(x)=x pour tout x de E

D'accord merci beaucoup!

Une remarque quand même pour Yota : f bijective de E dans E entraine f(E)=E dans tout les cas, même si on est pas das dans un espace vectoriel. C'est quasiment la définition d'une bijection.

Sauf qu'on peut tres bien avoir un f endomorphisme bijectif de E dans f(E) sans que f(E)=E

Exemple : Endomorphisme qui a une suite u_n de termes u_0, u_1, u_2, ..... associe la suite v_n telle que v_0 =0, v_1=u_0, v_2=u_1, v_3=u_2, ...

Il est facile de montrer que cet endomorphisme est une bijection de E dans F où F est l'ensemble des suites de premier terme nul. Mais f n'est pas une bijection de E dans E.
L'endomorphisme reciproque est celui du "decalage à gauche".
D'ailleurs ces deux fonctions repondent parfaitement aux conditions de l'énoncé

Non, il n'est pas question d'endomorphisme injectif (bijectif de E dans f(E)) mais d'endomorphisme bijectif.
Et je te cite : un rappel du contexte : f est un endomorphisme de E dans E

Je dis "f bijective", tu dis "f bijective DE E DANS E". Ce n'est pas moi qui rajoute des mots, et dans ces conditions évidemment qu'on ne parle pas de la meme chose.
Mais je rappelle qu'au depart, tu as deduit la bijection de l'existence d'un g tel que f o g = Id, il n'y avait donc aucune notion d'ensemble image.

Et "f est un endomorphisme de E dans E" (ce qui est un pleonasme, le terme endomorphisme induisant que Im(f) E) ne signifie NULLEMENT que Im(f)=E
Tu sors ton argument de surjectivité de nulle part, en reprenant une phrase obtenue de façon erronée, et hors de son contexte.

Donc je confirme que :
- en dimension finie, si f réalise une bijection de E sur son image, alors Im(f)=E et f est un automorphisme
- en dimension infinie, ce résultat est faux