Bonjour, je trouve quelques difficultés a résoudre cet exercice :
Soit E un K-ev de dimension finie n, soit f un endomorphisme de E nilpotent d'indice n. Montrer qu'il existe un Xo dans E tel que :
( Xo, f(Xo), f²(Xo), .... , f^(n-1)(Xo)) est une base de E.
J'ai commencé mon raisonnement par dire qu'on est en dimension finie donc la famille ci-dessus est libre. Il existe donc des scalaires de E tq :
aXo + bf(Xo)+ .... + zf^(n-1)(Xo) = 0
Mais pour que cette famille soit libre il faut que seulement les a,b,...,z soient nuls mais comme n-1 < n alors l'application f^(n-1) n'est pas l'application nulle donc il existe un point Xo tq f^(n-1)(Xo) différent de 0.
Mais bon comme vous l'avez bien vu j'ai l'impression de tourner en ronds et que mon raisonnement ne m'apporte pas grand chose. Merci de vouloir m'aider pour débloquer cette situation :p !
Bonjour,
Ben justement le but est de montrer que cet famille est libre, alors automatiquement ce sera une base (pourquoi?). Donc comme tu l'as remarqué il existe un vecteur Xo tel qur f^{n-1}(Xo) ne soit pas nul. Montre alors que la famille Xo,f(Xo),...,f^{n-1}(Xo) est libre.
Bonsoir,
ah Rodrigo moi je croyais qu'il fallais montrer l'existence de Xo, la famille étant déjà supposée libre donc base.
Ben il faut que tu montre l'existence d'un Xo tel que la famille soit libre...je ne vois aps ou dans l'ennoncé la famille est supposée libre...
Ah ok je vois, mais comment faire pour montrer la liberté dans ce cas?
Ben c'est justement ce qu'il faut que tu fasses...suppose qu'il existe une combinaison lineaire des f^{i}(Xo) qui est nulle et montre qu'elle est triviale (Indice: appliquer f^{n-1} à la combinaison linéaire)
Je suis desolé je dois surement être une kiche mais j'arrive vraiment pas à montrer qu'elle est libre. J'ai commencé un raisonnement par l'absure en disant que :
Soient a0,a1,...,ap-1des scalaires tels que akfk(x0) = 0 . Supposons que ces scalaires ne soient pas tous nuls et notons i le plus petit indice k tel que ak soit différent de 0.
Aprés je bloque complétement, j'ai une idée sur quoi je dois arriver, je devrais arriver sur une contradiction en trouvant à la fin du raisonnement aifn-1(x0)= 0 et vu que fn-1 est différent de 0 alors ai=0 ce qui est absurde donc la famille est libre et c'est donc une base de E.
Ya pas besoin de tout ça. Tu as une hypothèse fondamentale: f est nilpotent d'indice n.
Tu sais qu'il existe tel que . (Sinon f serait nilpotent d'indice n-1).
Soit tel que .
En clair: .
L'idée c'est de composer avec afin de faire valser tout ce dont on a pas besoin. En effet, implique que:
.
Comme , on a aussi a fortiori et ainsi de suite. Donc se simplifie en et ainsi .
Je te laisse faire de même avec le reste question de bien comprendre comment ça marche.
Et après, on conclut.
Merci beaucoup schumi j'y avais pensé et c'est vrai que ca marche!!
En composant ensuite par fn-2 on fais sauté tout le reste et on arrive sur a1=0... et ainsi de suite.
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