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Endomorphisme nilpotent

Posté par
tagstyle01 12-04-18 à 18:20

Bonjour,

Voici mon énoncé je m'intéresse à E un -ev de dimension finie n* et h un endomorphisme de E dit "nilpotent". On note p le plus petit entier naturel tq hp=0.

Justifier qu'il existe xE tq hp-1(x)0.

Je bloque sur cette question. Merci de m'orienter.

Posté par
larrechre : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 18:36

Bonjour,

Quelle est la négation de   \exists x\in E  |  h^{p-1}(x)\neq 0 ?

Posté par
matheuxmatoure : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 18:36

bonsoir

que dit le contraire de la phrase

(xE ; hp-1(x) 0)

?

Posté par
matheuxmatoure : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 18:37

même réaction larrech ... je te laisse poursuivre

Posté par
luzakre : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 18:38

Bonsoir !
"tq" est inadmissible !

Que peux-tu dire du "plus petit entier tel que..." si tu as \forall x\in E,\;h^{p-1}(x)=0 ?

Posté par
larrechre : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 18:38

Bonjour matheuxmatou §

Je crois que tout est dit...

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 18:39

Bonjour tagstyle01
Attention à la définition de l'indice de nilpotence :  ce n'est pas exactement ça .

Posté par
larrechre : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 18:39

Pardon pour les fautes de frappe...

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 18:40

En fait si c'est ça je me suis emmêlé les pinceaux

Posté par
carpediemre : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 19:20

salut

partons plutôt de l'énoncé ... pour obtenir la réponse ...

Citation :
h un endomorphisme de E dit "nilpotent". On note p le plus petit entier naturel tq hp=0.

qu'est-ce qu'un endomorphisme nilpotent ?

Posté par
tagstyle01re : Endomorphisme nilpotent 12-04-18 à 23:53

Le contraire serait \forall%20x\in%20E,\;h^{p-1}(x)=0 , non ?

Un endomorphisme nilpotent signifie qu'il existe un m TEL QUE hm=0. Donc on comprend bien que si p est le plus petit entier naturel a vérifier cela (p-1) ne le vérifie pas.

Peut-on utiliser peut-être le ker de h ?

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme nilpotent 13-04-18 à 00:06

Pourquoi utiliser \ker(h)~? \cdots \text{ si }h^{p-1} \neq 0 alors par définition, il existe x \in E, h^{p-1}(x) \neq 0.

Faut pas chercher midi à quatorze heures quand c'est pas nécessaire ...

Posté par
tagstyle01re : Endomorphisme nilpotent 13-04-18 à 00:09

Est-ce alors suffissant un "par définition" quand on nous demande de justifier ?

Posté par
jsvdbre : Endomorphisme nilpotent 13-04-18 à 00:57

Et comment !! Je ne connais pas de meilleure justification que d'invoquer une définition.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Endomorphisme nilpotent 13-04-18 à 07:58

Bonjour,
Pour clarifier, on peut préciser la définition invoquée.

f = 0 signifie xE f(x) = 0 .

f0 signifie xE tel que f(x) 0 .

Posté par
tagstyle01re : Endomorphisme nilpotent 13-04-18 à 11:07

Merci de votre aide.

Posté par
carpediemre : Endomorphisme nilpotent 13-04-18 à 17:53

Sylvieg a complété ce que je voulais dire : les quantificateurs !!!

et tu n'exploite pas toutes les informations de la définition !!

Citation :
Un endomorphisme nilpotent signifie qu'il existe un m TEL QUE hm=0
crtes ... mais si c'est vrai pour tout entier (non nul bien sur)

donc dans la définition il y a la suite qu'on n'écrit pas :

un endomorphisme est nilpotent s'il existe un entier n tel que hn = 0 ... et hn-1 0

ce qui exclut n = 0 et donne immédiatement la réponse à la question 1/ quand on rajoute les quantificateurs !!!

Posté par
carpediemre : Endomorphisme nilpotent 13-04-18 à 17:55

Sylvieg a complété ce que je voulais dire : les quantificateurs !!!

et tu n'exploite pas toutes les informations de la définition !!

Citation :
Un endomorphisme nilpotent signifie qu'il existe un m TEL QUE hm=0
certes ... mais si c'est vrai pour tout entier (non nul bien sur) que se passe-t-il ?

donc dans la définition il y a la suite qu'on n'écrit pas :

un endomorphisme est nilpotent s'il existe un entier n tel que hn = 0 ... et hn-1 0

ce qui exclut n = 0 et donne immédiatement la réponse à la question 1/ quand on rajoute les quantificateurs !!!


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