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endomorphisme nilpotent

Posté par
Boubounettem
11-09-21 à 16:24

Bonjour
Voici mon exercice :
Soit E un K espace vectoriel de dimension 3
Soit  u\in L(E) tel que u^{3}=0 et u^{2}\neq 0
1. montrer qu'il existe un vecteur e_{1} de E tel que B=(e_{1},u(e_{1}),u^{2}(e_{1})) soit une base de E
2. On note C(u) l'ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec u, c'est à dire C(u) = \left\{v \in L(E) / u o v = v o u \right\}
(a) montrer que C(u) est un espace vectoriel et que C(u) est stable par o
(b) soit v \in L(E). Montrer que v \in C(u) ssi il existe (a,b,c) \in K^{3} tel que v = aId_{E} + bu + cu^{2}
(c) déterminer la dimension de C(u)
Voici mes ébauches de réponse :
1. je ne sais pas par quelle méthode prouver l'existence, peut etre une analyse synthese? dans l'analyse il s'agit de montrer que si un tel e_{1} existe, alors il n'appartient pas au noyau de u
mais pour montrer l'existence je ne vois pas comment m'y prendre
Comme u^{2} \neq 0 alors u n'est pas l'application nulle et à fortiori il existe un vecteur qui n'appartient pas au noyau de u
2a. j'ai réussi à montrer que C(u) est un espace vectoriel mais je ne vois pas comment montrer que C(u) est stable par o
2b. j'ai montré l'implication indirecte mais je n'ai pas d'idée pour l'implication directe
2c. je ne suis pas sure mais au vu de la question 2b la famille (IdE,u,u²) est génératrice et donc dim(C(u))= 3
merci par avance pour votre aide

Posté par
GBZM
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 16:39

Bonjour,

Tu utilises l'hypothèse u^2\neq 0  pour dire qu'il y a un vecteur dont l'imlage par u n'est pas nulle.
C'est un peu petit bras (je blague !). Cette hypothèse veut dire qu'il existe un vecteur dont l'image par u^2 n'est pas nulle. Ça, c'est plus fort !

Posté par
jsvdb
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 16:40

Bonjour Boubounettem.

1- oui, tu commences par dire que tu prends x tel que u²(x)0. Donc u(x)0 et x0.
Supposons qu'il existe a,b,c réels non tous nuls tels que ax+bu(x)+cu²(x)=0.
Considère alors l'expression u²(ax+bu(x)+cu²(x)), puis l'expression u(ax+bu(x)+cu²(x)) ... et conclut.

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 17:13

Bonjour à tous les deux, merci pour vos réponses.
GBZM, oui effectivement, cependant je pensais que la première hypothèse suffisait.
jsvdb, je ne comprends pas bien où vous voulez en venir ni à quelle question vous faites référence...

Posté par
jsvdb
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 17:16

Je fais référence à la question 1, on va commencer par là.
Qu'est-ce-que tu ne comprends pas dans ce que j'ai écrit ?

Posté par
GBZM
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 17:28

Citation :
GBZM, oui effectivement, cependant je pensais que la première hypothèse suffisait.

Qu'appelles-tu "première hypothèse" ???
Ce que je te dis, c'est que tu n'exploites pas l'hypothèse u^2\neq 0 à fond. Cette hypothèse veut dire qu'il existe un vecteur dont l'image par u^2 n'est pas nulle.

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 17:40

Je ne comprends pas pourquoi il faut que a,b, c soient non tous nuls. Pour mon analyse j'avais supposé que e1 existait et j'essayais de trouver une condition sur e1 pour que la famille soit une base. J'ai donc fixé trois vecteurs a,b,c dans R et j'ai supposé que ae_{1}+bu(e_{1})+cu^{2}(e_{1})=0. Alors on montre, par pallication successive de u, que a,b,c sont tous nuls donc que le famille est libre ssi e1 n'est pas dans le noyau de u. Ensuite la famille est génératrice car de même cardinal que la dimension de E.

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 17:40

* par application pardon

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 17:43

GBZM, je comprends bien, mais je ne vois pas ce que je peux en tirer

Posté par
jsvdb
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 19:02

Boubounettem @ 11-09-2021 à 17:40

Je ne comprends pas pourquoi il faut que a,b, c soient non tous nuls.

Parce que s'ils sont tous nuls alors forcément ax+bu(x)+cu²(x) = 0 de façon triviale.
Et dans ce cas, pour montrer que la famille {x, u(x), u²(x)} est une base, ça me paraît compromis.
Mais bon visiblement tu as répondu à la question ...

Posté par
GBZM
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 19:15

"GBZM, je comprends bien, mais je ne vois pas ce que je peux en tirer"

Une réponse à la question 1, où on te demande de trouver un vecteur e_1 tel que ...

" le famille est libre ssi e1 n'est pas dans le noyau de u. "
C'est FAUX !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 19:34

Bonjour,
Je me permets une remarque :
Trois vecteurs u, v, w forment une famille libre si et seulement si
au + b v +c w = vecteur nul avec a, b, c réels \; implique \; a=b=c=0.

Inutile de supposer les trois réels a, b, c non tous nuls quand on veut démontrer que trois vecteurs forment une famille libre.

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 19:53

GBZM je voulais dire que je ne voyais pas quelle conclusion je pouvais en tirer, il me manque des éléments

Posté par
jsvdb
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 20:04

@Sylvieg : effectivement, tu as raison !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 20:51

Je suis plus à l'aise avec les familles libres qu'avec les intervalles qui sont des fermés même quand ils ne sont pas bornés

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 21:39

Ok merci pour vos réponse, j'ai compris finalement mon erreur,
on fixe e1 dans E privé de 0 tel que u^{2}(e1)\neq 0
Un tel e1 existe nécessairement puisque u²\neq 0

Et après on démontre que le famille est libre de la manière usuelle

Posté par
jsvdb
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 21:53

Ok.
Alors pour 2a : que signifie que C(u) est stable par o ?

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 22:15

Cela signifie que:
Pour tout v\in C(u),, la composée de v est également dans C(u).
Je me demandais si on pouvait voir cela comme :
A v fixé dans C(u), il s'agit de montrer que pour tout w dans L(E), wov\in C(u).
Je ne suis pas sure du "pour tout w", j'ai du mal à traduire la stabilité par o

Posté par
jsvdb
re : endomorphisme nilpotent 11-09-21 à 22:51

On va reformuler cela :
C(u) est stable par o signifie que o est une loi de composition interne dans C(u), autrement dit : pour tout f et g dans C(u), f o g est dans C(u).
Donc il faut démontrer que f o g est un endomorphisme de E et qu'il commute avec u, c'est-à-dire (f o g) o u = u o (f o g).

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 12-09-21 à 10:11

D'accord merci beaucoup.
J'ai donc fait :
f o g est un endomorphisme de E car la composée de 2 endomorphismes est un endomorphisme.
Soient f, g \epsilon C(u),
(f o g) o u=f o u o g car (car g\epsilon C(u)
=u o (f o g) car (car f\epsilon C(u)
Ainsi (fog) commute avec u et donc (fog)\epsilon C(u)
Et donc C(u) stable par o

Posté par
GBZM
re : endomorphisme nilpotent 12-09-21 à 10:23

La question 1 est très utile pour l'implication directe dans le 2b.

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 12-09-21 à 10:45

Je pensais peut-être à décomposer v(e1) dans la base, mais je ne vois pas trop comment aboutir

Posté par
GBZM
re : endomorphisme nilpotent 12-09-21 à 10:56

C'est une excellente idée. Persévère en  faisant la même chose pour v(u(e_1)) (en n'oubliant pas que v commute avec u).

Posté par
Boubounettem
re : endomorphisme nilpotent 12-09-21 à 12:25

v\epsilon C(u),, donc il existe \alpha ,\beta ,\gamma \epsilon K tels que :

v(e_{1})=\alpha e_{1}+\beta u(e_{1})+\gamma u²(e_{1})

De même, on a ;

u(v(e_{1}))=\alpha' e_{1}+\beta' u(e_{1})+\gamma' u²(e_{1})=v(u(e_{1}))

Cela veut dire que :
pour tout x\epsilon E, il existe f\epsilon Vect ( e_{1},u( e_{1}), u²( e_{1})), tel que f(e1)=x

Posté par
GBZM
re : endomorphisme nilpotent 12-09-21 à 12:40

M'enfin ???
Il n'y a aucune relation entre tes \alpha' etc. et tes \alpha etc. ?



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