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endomorphisme nilpotent et valeur propre
bonjour,
je cherche à montrer que un endomorphisme complexe f est nilpotent si et seulement si 0 est sa seule valeur propre.
je pensais utiliser la matrice A canoniquement associé à f et me servir du résultat : A est nilpotente si et seulement si son polynome caractéristique est (-1)^n*X^n. Mais n'y a t'il pas un autre moyen ???
On déduit que det(f)=0 mais que faire après ??
Autre petite question : comment montrer que det(f)=0 implique ker(f) n'est pas réduit à 0 ??? Je sèche complètement
merci de toute aide
Bonjour 
En gros , si l'indice de nilpotence de f est n , le polynôme minimal de f est Xn et fn-1 n'est pas l'endomorphisme nul . Ainsi la seule valeur propre de f est 0 .
Il faut maintenant le démontrer plus rigoureusement . Regardes cette page (PDF) , ça pourra t'aider
Jord
Comme tu sembles y avoir pensé et comme le suggère night, si f est nilpotent, il existe n>1 tel que fn-1
0 et fn=0
Notamment Xn est un polynôme annulateur, et comme l'ensemble des polynômes annulateur est un idéal principal de l'anneau des polynômes, et qu'il est engendré par le polynôme minimal (par définition du polynôme minimal).
Notamment à l'ordre près des racines, les racines du polynôme minimal sont exactement les racines du polynôme caracteristique.
Notamment tu peux facilement voir que Xn est ton polynôme minimal (assez immédiat).
Et tu peux conclure facilement.
A+
Rectification(s):
En fait je suis pas sur que les polynômes annulateurs soient tous dans notre idéal, mais c'est pas grave, on a pas tellement besoin d'aller en chercher d'autres.
Bon pour otto : si pas de problème les annulateurs sont tous dans l'idéal.
Sinon pour chris : il n'y a pas de matrice A "canoniquement" associée à l'endomorphisme, les matrices associées dépendent du choix de la base.
Enfin pour la question initiale nul besoin de parler du polynôme minimal que certaines fac passent à la trappe en seconde année:
a) si f est nilpotent alors il existe un entier k tel que f^k = 0,
si v est une valeur propre associée à x non nul : f(x)=vx donc
f^k(x)= v^k x =0 d'où v = 0
b) réciproquement, si v est une valeur propre non nulle associée au vecteur propre x alors pour tout entier s , f^s(x)=v^sx est non nul et donc f n'est pas nilpotent !
Voilà pour plus de culture tu peux bien sûr regarder le document de nightmare mais ce n'est pas utile pour ta seule question.
Cordialemnt, lolo
sur l'autre petite question (je fais le plus simple possible):comme ton déterminant est nul c'est qu'une combinaison linéaire non triviale de tes colonnes est nul , si a1,..., as sont les coefficients de cette combinaison linéaire alors le vecteur de coordonnées (a1,..,as) est non nul et appartient au moyau .
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