Bonjour,
Je cherche à montrer que les seuls endomorphismes f de R2[X] qui commutent avec la dérivation D (qui a un polynôme de R2[X] associe son polynôme dérivé) sont sous la forme :
f = a*Id + b*D + c*D^2, a,b,c étant des réels.
Un sens étant évident, l'autre je ne sais pas.
Bonsoir,
Peut-être produire un contre exemple.
End(R2[X]) est de dimension 9.
{Id, D, D2} un système libre (sauf erreur).
Produire un endomorphisme dans une base complétée qui ne soit pas c.l. de ces trois vecteurs et ne commute pas.
Admettons que j'en trouve 1, je ne trouve pas comment cela impliquerait que tout ceux qui ne sont pas c.l. Ne peuvent commuter.
Effectivement je n'y avais pas pensé. J'aurais dû pourtant.
En notant M la matrice de D dans la base canonique, et H la matrice de h dans la même base, aux coefficients recherchés (a,b,c…i)
si H*M=M*H, alors on a plusieurs relations entre les coefficients et H s'écrit a*I3+b*M+1/2c*M^2
Donc on a bien si h commute avec D alors il existe un polynôme P dans R2[X] tel que h=P(D)
Merci
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :