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Endomorphismes avec u² = -id

Posté par
Osmund 16-06-21 à 14:23

Bonjour,

Un petit exercice d'algèbre linéaire (~ début de cours de L1) tout bête, mais sur lequel je bloque partiellement.

Citation :
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4, et u un endomorphisme de E tel que u^2 = -id_E.
1) Soit x_1 \in E non nul. Montrer que la famille (x_1, u(x_1)) est libre.
2) Soit x_2 \notin Vect(x_1, u(x_1)). Montrer que \mathcal{B} = (x_1, x_2, u(x_1), u(x_2)) est une base de E.
3) Donner la matrice de u dans la base \mathcal{B}


Mes réponses jusqu'ici :

1) Par l'absurde : si on suppose qu'il existe un réel \lambda \neq 0 tel que x_1 = \lambda u(x_1), alors en prenant l'image par u des deux côtés de l'égalité, on a u(x_1) = - \lambda x_1. Soit, en combinant ces deux égalités, x_1 = -\lambda^2 x_1, ce qui implique nécessairement x_1 = 0, chose qui est exclue. Donc la famille (x_1, u(x_1)) est libre.

2) C'est ici que ça coince partiellement !
En fait, puisque x_2 \notin Vect(x_1, u(x_1)), en particulier x_2 \neq 0, et donc selon 1), la famille (x_2, u(x_2)) est libre.
Si on appelle E_1 = Vect(x_1, u(x_1)) et E_2 = Vect(x_2, u(x_2)), le problème revient à essayer de montrer que E = E_1 \oplus E_2. Et comme dim(E) = 4 = dim(E_1) + dim(E_2), il suffit pour cela de montrer que E_1 \cap E_2 = \left\{0 \right\}.
Une fois arrivé là, j'ai beau triturer un peu, je ne trouve pas l'argument décisif, ni comment me servir de u² = -id pour montrer ça. Une idée de piste ?

3) La matrice finale est mat(u, \mathcal{B}, \mathcal{B}) = \begin{pmatrix} \\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

Merci !

* modération> forum modifié * merci de poster en fonction du profil renseigné*

Posté par
malou Webmasterre : Endomorphismes avec u² = -id 16-06-21 à 14:26

Bonjour Osmund, peux-tu renseigner ton profil s'il te plaît ?
loisir ? licence ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?


je te remercie

Posté par
carpediemre : Endomorphismes avec u² = -id 16-06-21 à 14:38

salut

ce n'est pas un raisonnement par l'absurde mais par contraposée :

si P =: " x n'est pas nul" alors Q =: "la famille (x, u(x)) est libre"

contraposée : si non Q =: " la famille (x, u(x)) est liée" alors non P = : " x est nul"

tu as donc :

(x, u(x)) libre
y vec (x, u(x)) (en particulier y 0)

en particulier (x, u(x), y) est libre ...

suppose que u(y) est combinaison linéaire de (x, u(x), y) en écrivant que u(y) = ax + bu(x) + cy

et applique u à cette égalité ...

Posté par
carpediemre : Endomorphismes avec u² = -id 16-06-21 à 14:41

PS : avec rigueur pour 1/ il manque tout de même un argument à ta conclusion ...

Posté par
Osmundre : Endomorphismes avec u² = -id 16-06-21 à 15:03

carpediem @ 16-06-2021 à 14:38

tu as donc :

(x, u(x)) libre
y vec (x, u(x)) (en particulier y 0)

en particulier (x, u(x), y) est libre ...

suppose que u(y) est combinaison linéaire de (x, u(x), y) en écrivant que u(y) = ax + bu(x) + cy

et applique u à cette égalité ...

Merci bien !
J'étais déjà passé par là mais sans aboutir... ceci dit, je crois avoir trouvé ! (On aboutirait en fait à une égalité 0 = (ca-b)x + (cb+a)u(x) + (c^2+1)y que l'on sait être impossible, si je devine bien.)

Pour le 1/, qu'est-ce qui te semble manquer dans la réponse ?

Posté par
etniopalre : Endomorphismes avec u² = -id 16-06-21 à 15:13

Plus convaincant concernant la question 1 :
      Soient a   E et (s , t) ² tel que s.a + t.u(a) = 0 .
On en déduit s.u(a) - t.a = 0 donc (s² + t²).a = 0 .
Si a est non nul on a donc (s , t) = (0 , 0)  et {a , u(a)} est libre .

Posté par
carpediemre : Endomorphismes avec u² = -id 16-06-21 à 15:19

pour 1/ plus précisément on arrive à (\lambda^2 + 1)x = 0

et c'est parce qu'on travaille sur R que seul x peut être nul
sur C le premier facteur s'annule aussi ... en i ou -i ...

oui c'est cela car (x, u(x), y) est libre => (x, u(x), y) est une base de vect (x, u(x), y) donc ca - b = (cb + a) = c^2 + 1 = 0

...

Posté par
carpediemre : Endomorphismes avec u² = -id 16-06-21 à 15:28

ha et en voyant l'intervention de etniopal (que je salue) je voulais aussi dire pour 1/ :

effectivement tu pars de si on suppose que k 0... mais tu ne dis pas pourquoi ?

à nouveau plus naturellement partir plutôt de :

supposons u(x) = kx alors -x = ku(x) = k^2x donc (k^2 + 1)x = 0

tu conclus de même sans aucune hypothèse sur k ... car k^2 + 1 ne s'annule pas sur R ...

Posté par
etniopalre : Endomorphismes avec u² = -id 17-06-21 à 08:45

Bonjour !
Que je dache une famille finie (xj)jJ  d'un K-ev est libre ssi   la seule famille (tj)jJ d'éléments de K qui vérifie  j tj.xj = 0 est la  famille nulle .

Si on veut montrer , dans l'exercice , que {a , u(a)} est libre  on part donc de  (s , t)   ² tel que s.a + t.u(a) = 0  et on montre que s = t = 0 si a est non nul .

DE même si a est non nul  et si b .a + .u(a)  pour montrer que {a , u(a) , b , u(b) } est libre on suppose que les réels  x , y , z , t  vérifient
x.a + y.u(a) + z.b + t.u(b) = 0 .
Ils vérifient donc aussi  -y.a + x.u(a) -t.b + z.u(b) = 0 .
   En éliminant u(b)  on  voit que (z² + t²).b   .a + .u(a)  ce qui entraine que  z² + t² = 0
.....

Posté par
Osmundre : Endomorphismes avec u² = -id 17-06-21 à 09:13

Houla, ça fait beaucoup de réponses (et de questions ). Merci à vous !

En vrac :

carpediem @ 16-06-2021 à 15:28

je voulais aussi dire pour 1/ :

effectivement tu pars de si on suppose que k 0... mais tu ne dis pas pourquoi ?

La logique là-dessous est de dire que si on part du principe que l'un des deux éléments \lambda, x est non nul, alors l'autre doit nécessairement l'être.

etniopal @ 17-06-2021 à 08:45

Bonjour !
Que je sache une famille finie (xj)jJ  d'un K-ev est libre ssi   la seule famille (tj)jJ d'éléments de K qui vérifie  j tj.xj = 0 est la  famille nulle

Ou encore : cette famille est liée ssi l'un au moins des éléments s'écrit comme combinaison linéaire des autre éléments de la famille. C'était l'idée ici (et ça rend l'écriture de la preuve plus courte dans ce cas-là), et c'est d'ailleurs pour ça que je disais "par l'absurde" (car ça revenait à supposer que la famille était liée) plutôt que "par contraposée".

Mais je suis d'accord, c'est plus "académique" avec ce que vous proposez

Merci en tout cas !

Posté par
carpediemre : Endomorphismes avec u² = -id 17-06-21 à 09:14

certes mais on  a aussi l'équivalence entre une famille est non-libre (donc liée) avec l'un des éléments est combinaison linéaire des autres (à coefficients non tous nuls (sauf pour 0))

et ceci n'est pas vraie avec tous les éléments ...

on peut très bien supposer que la famille est liée (avec des conditions pour "choisir" le "bon" élément qu'on "isole") pour aboutir à la même contradiction que toi ...

Posté par
etniopalre : Endomorphismes avec u² = -id 18-06-21 à 09:03

  Bonjour !
     @ Osmund
  La matrice  de  u L(4) vérifiant u o u = Id n'est pas celle que tu as proposée .
  ____________________________

     Pour prolonger .
      Montrer que pour tout  n * il existe  des u L(2n) tels que u o u = Id et  des (a1,....,an) n tels que (a1 , u(a1) , ....,an , u(an) ) soit une base de 2n .
Exprimer la matrice d'un tel u dans cette base  .

Posté par
carpediemre : Endomorphismes avec u² = -id 18-06-21 à 09:16

attention etniopal : ici l'exo c'est u o u = -I

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Endomorphismes avec u² = -id 18-06-21 à 09:29

Bonjour,
La matrice finale du 3) proposée par Osmund dans son 1er message est bonne.
Par ailleurs :
Les a1,....,an ne sont pas dans ; Comment (a1,....,an) peut être dans n ?

Posté par
etniopalre : Endomorphismes avec u² = -id 18-06-21 à 16:15

   Re bonjour !
Quelques corrections

     Il existe  des u   dans L( 2n ) tels que u o u = -Id et  des  a1,....,an dans  2n   tels que (a1 , u(a1) , ....,an , u(an) ) soit une base de  2n .

  n = 1 :  On prend a   2 \ { 0 }  .
{a , u(a) est libre puisque  si s.a + t.u(a) = 0 on a aussi s.u(a) - t.a   = 0 donc  (s² + t²).a = 0 et donc s = t = 0 .
Dans la base  (a , u(a)) la matrice de u est  J:=\begin{pmatrix} 0& -1\\  1& 0\end{pmatrix}

n = 2 : On prend a E \ { 0 } et b .a + .u(a)
(a , u(a) , b , u(b)) est une base de E  et la matrice de u dans cette base est   \begin{pmatrix}J & 0\\ 0  &J \end{pmatrix}( ici 0 est un " 2-2bloc" formé de 0 .
On peut la noter Diag(J , J)


Effectivement la matrice de u demandée par l'énoncé   n'est pas dans la base que j'ai choisie !!


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