Bonjour,
J'aurais besoin d' "un peu" d'aide aussi pour l'exercice suivant.
Soient n. E un espace vectoriel sur de dimension n et f appartenant à L(E). f est diagonalisable.
On considère les assertions suivantes :
(i) il existe tel que soit une base de E.
(ii) f admet n valeurs propres 2 à 2 distinctes
Dans cette partie, on suppose que (i) est réalisé. Soient les coordonnées de dans la base B.
Soit B(t) =
1. Donner la matrice M de f dans la base B.
2.a) Montrer que puis que pour tout ,
b) Montrer que B est un polynôme annulateur de f.
3.) Soit un polynôme de degré au plus n-1.
a) Montrer que est non nul.
b) En déduire que R n'est pas un polynôme annulateur de f.
c) Soit A un polynôme non nul. Montrer que A est un polynôme annulateur de f si et seulement si A est divisible par B.
4) Soit soient les p valeurs propres distinctes de f, et soient les sous-espaces propres associés.
a) Montrer qu'il existe tels que .
b) Exprimer en fonction de et
c) En déduire que Vect( Vect(
d) Montrer alors que (ii) est vrai.
Pour Q1 c'est ok.
Pour Q2 on écrit la décomposition de dans la base de E et on en déduit que . Pour la fin j'ai pensé à commuter B(f) et pour un certain entier k, on a alors : . Et comme B(f) est un polynôme qui s'écrit comme combinaison linéaire des alors il commute avec
Je ne suis pas sûre pour ce point-là.
Par contre pour la b) je sais ce que c'est qu'un polynôme annulateur pour f mais que dois-je démontrer ?
merci !
salut
certes tout polynome en f commute en f ... mais on peut tout simplement calculer B(f)(fk(a)) tout simplement ...
si B(f) est nulle sur une base alors B est un polynome annulateur de f ...
PS : noter B la base ... et B le polynome ... ne peut que conduire à ne pas comprendre ce qu'on fait ...
oui ... en effet la notation n'est pas des plus judicieuses.
Dans l'énoncé la base est représentée par un B "italique"...
Pour la 3a) j'ai raisonné par l'absurde en supposant que R(f(a)) était nul...
Pour la 3b) pas de difficulté non plus.
Pour la 3c) je ne vois pas comment montrer que B divise A... division euclidienne ?
faut-il utiliser le fait que f est diagonalisable?
Merci de bien vouloir m'aider...
Bonjour !
Pour la 3c) considères le reste de la division euclidienne de par .
Quel est le degré de ? Que vaut alors ?
on a
Je me trouve dans le même contexte qu'au début de la question 3.
Ici je devrais trouver R identiquement nul et ainsi B diviserait A.
or d'après 3)a) R(f) est non nul puisque R a un degré...
Mais enfin, utilises tes hypothèses !
Tu as et .
Si est un polynôme annulateur alors est annulateur, de degré inférieur à donc nul.
Si il vient donc est annulateur.
d'accord, merci luzak !
J'ai encore une question concernant les polynômes annulateurs
Si je considère f un endomorphisme d'un ev E de dimension finie et B une base de E.
Alors si l'image par P(f) de tous les éléments de B est égale à 0 et si P n'est pas nul, P est un polynôme annulateur de f ?
Et donc s'il existe un élément de la base B pour lequel l'image par P(f) n'est pas nul, P ne sera pas un polynôme annulateur ?
Est-ce correct ?
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