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Endomorphismes et applications linéaires

Posté par
Timea
17-01-17 à 17:56

Bonjour,
J'aurais besoin d' "un peu" d'aide aussi pour l'exercice suivant.

Soient n\geq 1. E un espace vectoriel sur \mathbb{R} de dimension n et f appartenant à L(E). f est diagonalisable.
On considère les assertions suivantes :

(i) il existe\vec{a} \in E tel que B=(\vec{a}, f(\vec{a}), ..., f^{n-1}(\vec{a})) soit une base de E.
(ii) f admet n valeurs propres 2 à 2 distinctes \lambda_1,..., \lambda_n

Dans cette partie, on suppose que (i) est réalisé. Soient b_0,b_1,...,b_{n-1}) les coordonnées de f^n(\vec(a)) dans la base B.
Soit B(t) = b_0 + b_1.t + ... +b_{n-1}.t^{n-1} -t^n
1. Donner la matrice M de f dans la base B.
2.a) Montrer que B(f)(\vec{a}) = \vec{0} puis que pour tout k \in \mathbb{N}^*, B(f)(f^k(\vec{a}) = \vec{0}
b) Montrer que B est un polynôme annulateur de f.
3.) Soit R(t) = c_0 + c_1.t + ... + c_{n-1}.t^{n-1} un polynôme de degré au plus n-1.
a) Montrer que R(f)(\vec{a}) est non nul.
b) En déduire que R n'est pas un polynôme annulateur de f.
c) Soit A un polynôme non nul. Montrer que A est un polynôme annulateur de f si et seulement si A est divisible par B.
4) Soit p \in\left\{1, ..., n \right\} soient \lambda_1, ..., \lambda_p les p valeurs propres distinctes de f, et soient E_{\lambda_1}, ... , E_{\lambda_n} les sous-espaces propres associés.
a) Montrer qu'il existe \vec{a_1} \in E_{\lambda_1} , ... , \vec{a_p} \in E_{\lambda_p} tels que \vec{a} = \vec{a_1} + ... +\vec{a_p}.
b) Exprimer f(\vec{a}), ... , f^{n-1}(\vec{a}) en fonction de \lambda_1, ..., \lambda_p et \vec{a_1}, ..., \vec{a_p}
c) En déduire que Vect(\vec{a},f(\vec{a}),...,f^{n-1}(\vec{a})) \subset Vect(\vec{a_1}, ... , \vec{a_p})
d) Montrer alors que (ii) est vrai.

Pour Q1 c'est ok.
Pour Q2 on écrit la décomposition de f^n(x) dans la base de E et on en déduit que B(f)(\vec{a}) = \vec{0}. Pour la fin j'ai pensé à commuter B(f) et f^k pour un certain entier k, on a alors : B(f)(f^k(\vec{a})) = f^k(B(f)(\vec{a})) = \vec{0}. Et comme B(f) est un polynôme qui s'écrit comme combinaison linéaire des f^k alors il commute avec f^k
Je ne suis pas sûre pour ce point-là.
Par contre pour la b) je sais ce que c'est qu'un polynôme annulateur pour f mais que dois-je démontrer ?
merci !

Posté par
carpediem
re : Endomorphismes et applications linéaires 17-01-17 à 18:40

salut

certes tout polynome en f commute en f ... mais on peut tout simplement calculer B(f)(fk(a)) tout simplement ...

si B(f) est nulle sur une base alors B est un polynome annulateur de f ...


PS : noter B la base ... et B le polynome ... ne peut que conduire à ne pas comprendre ce qu'on fait ...

Posté par
Timea
re : Endomorphismes et applications linéaires 17-01-17 à 22:30

oui ... en effet la notation n'est pas des plus judicieuses.
Dans l'énoncé la base est représentée par un B "italique"...

Posté par
Timea
re : Endomorphismes et applications linéaires 18-01-17 à 01:09

Pour la 3a) j'ai raisonné par l'absurde en supposant que R(f(a)) était nul...
Pour la 3b) pas de difficulté non plus.
Pour la 3c) je ne vois pas comment montrer que B divise A... division euclidienne ?
faut-il utiliser le fait que f est diagonalisable?
Merci de bien vouloir m'aider...

Posté par
luzak
re : Endomorphismes et applications linéaires 18-01-17 à 08:26

Bonjour !
Pour la 3c) considères le reste R de la division euclidienne de A par B.
Quel est le degré de R ? Que vaut alors R(f) ?

Posté par
Timea
re : Endomorphismes et applications linéaires 19-01-17 à 01:16

on a 0\leq deg(R)\leq n-1
Je me trouve dans le même contexte qu'au début de la question 3.
Ici je devrais trouver R identiquement nul et ainsi B diviserait A.
or d'après 3)a) R(f) est non nul puisque R a un degré...

Posté par
luzak
re : Endomorphismes et applications linéaires 19-01-17 à 08:21

Mais enfin, utilises tes hypothèses !
Tu as A(f)=B(f)Q(f)+R(f) et B(f)=0.
Si A est un polynôme annulateur alors R est annulateur, de degré inférieur à n-1 donc nul.
Si R=0 il vient A(f)=B(f)Q(f)=0 donc A est annulateur.

Posté par
Timea
re : Endomorphismes et applications linéaires 19-01-17 à 19:22

d'accord, merci luzak !
J'ai encore une question concernant les polynômes annulateurs
Si je considère f un endomorphisme d'un ev E de dimension finie et B une base de E.
Alors si l'image par P(f) de tous les éléments de B est égale à 0 et si P n'est pas nul, P est un polynôme annulateur de f ?
Et donc s'il existe un élément de la base B pour lequel l'image par P(f) n'est pas nul, P ne sera pas un polynôme annulateur ?
Est-ce correct ?

Posté par
carpediem
re : Endomorphismes et applications linéaires 19-01-17 à 21:03

ben si P(f) est la fonction nulle (donc nulle sur une base) il semble évident que P annule f ...

Posté par
luzak
re : Endomorphismes et applications linéaires 20-01-17 à 08:20

Citation :
Et donc s'il existe un élément de la base B pour lequel l'image par P(f) n'est pas nul, P ne sera pas un polynôme annulateur ?
Est-ce correct ?

Même pas besoin de prendre un élément de la base : si P(f) ne s'annule pas sur UN vecteur, P n'est PAS polynôme annulateur.

Posté par
Timea
re : Endomorphismes et applications linéaires 20-01-17 à 23:29

oui...effectivement ! merci luzak



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