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Niveau maths spé
Endomorphismes symétriques
Posté par infophile
Bonjour 
Le sujet de Math II est sorti à Centrale, et j'avais un peu zappé tout ce qui touchait aux endomorphismes autoadjoints (pas d'bol y'a toute une partie là dessus : 
) alors je viens demander un peu d'aide pour combler les trous 
En fait j'ai pas touché à grand chose dans la première partie, voilà les trucs (qui n'ont pourtant pas l'air méchants 
) sur lesquels je bloque :
A.2) Montrer que si alors
.
Bon déjà u est bien inversible car de spectre > 0, et on a pour tout x, , je pense poser simplement
et donc
mais ceci est valable pour tout y dans Im(u) seulement non ?
B.1)a Montrer que l'induit de u sur Im(u) est élément de
.
b. J'ai montré que w induit de u o v sur Im(u) est autoadjoint positif relativement au produit scalaire sur Im(u).
2) En déduire que u o v est diagonalisable sur Im(u) et que son spectre est "positif".
3) Montrer à l'aide de que Im(u o v) et Ker(u o v) sont en somme directe et conclure.
Bon on va déjà voir ça, merci et désolé pour les questions à 2 balles, j'ai le cerveau en compote 
u dans S++ signifie effectivement u inversible. Donc, en particulier Im(u) = E
Mais pour avoir une preuve plus rapide, tu as aussi la propriété suivante :
t(u-1) = (tu)-1
Salut
A.2) Utilise le théorème spectral, inverse ta matrice, et utilise la question d'avant.
B.1)
a) Bon déjà, il est positif. Pour le définie, faut écrire que (u(u(y))|x)=(u(y)|u(x))=(u(x)|x) et tu conclurs avec la dernière question des généralités.
2) Troisième (ou quatrième je sais plus) utilisation du théorème spectral: (E,phi_(u^-1)) est euclidien...
3) Je sais plus du tout comme j'ai fait... Et vu que je ne connais personne qui l'ai faite, je pense que j'ai faux. Et vu que j'ai pas envie de confirmer cette hypothèse, je laisse le soin à d'autre de t'aider dessus.
Détrompe-toi, sous ses airs innocents, il y avait des questions non triviales plantés dans le décor. Pour autant que je sache, ça a été une catastrophe général.
Pour le spectre dans R+ ça vient du faire que w est positif, mais pour le théorème spectral tu rédiges ça comment ?
Je m'y perd un peu avec les ensembles Im(u), Im(u o v)..etc