Bonjour tout le monde,
On commence la deuxième énigme, mais cette fois, ça va être un peu plus chaud.. Vous allez faire la connaissance d'un grand savant, un savant qui essaie toujours de trouver des problèmes et des mystères mathématiques... Il n'aime pas les calculs qui n'ont rien à faire, il aime juste les petites méthodes qui développent un peu sa mémoire (surtout qu'il a une soixantaine d'années et qu'il craint l'Alzheimer).. Mais, ces derniers jours, après une courte visite sur l'île, il a vraiment trouvé de bons cerveaux, donc il s'est dit que peut être il trouvera bien son aide ici... Son problème c'est qu'il connait la réponse de ses exos, mais dommage, parfois il attrape une amnésie et il oublie la méthode qu'il a suivie. Donc, je ne vais pas vous raconter toute son histoire, elle tient en 30 tomes...
Ah désolé, j'ai oublié c'est Monsieur Etilarkov...
(je sais, vous ne le connaissez pas: il n'aime pas beaucoup les lumières
Donc, alors qu'il feuilletait un peu ses manuels de lycée (et oui, il les garde le pauvre..) il a trouvé une petite limite.. Il s'est rappelé sa jeunesse, et surtout son amie..... (Hééélas!) Mais il n'arrive pas à se rappeler comment il a pu faire pour trouver cette petite limite, donc il a décidé de vous la présenter, espérant qu'il y ait des personne s'y connaissant et qui seront de futurs Etilarkov....
Là voilà:
Vous avez une idée?
-----------------------------------------------------------------
Etilarkov a aussi un petit indice:
Essayer de trouver aussi:
-----------------------------------------------------------------
Rappel: Une démo est obligatoire pour avoir son smiley.. C'est le but puisque Etilarkov oublie ses méthodes
lim x-->0 1-(cosx)k/(1-cos2x)=(1-cosx)(1+cosx+cos2x+..cosk-1x).
En remplaçant par le développement limité de cosx en x=0, la limite est égale à :
lim x-->0 (1-cosx)*k/(1-cosx)(1+cosx)
lim x-->0 k/(1+cosx)=k/2
La limite cherchée est donc le produit des limites x-->/2 de 1-(sinx)k/(1-sin2x)
soit le produit des limites x--> 0 de 1-(cosx)k/(1-cos2x)= (1/2)(2/2)(3/2)...(n/2)= n!/ 2n
Salut Monrow
Résultat préliminaire :
En effet :
On reconnait alors 2 nombres dérivés :
D'où le résultat (car cos(0) = 1) :
Attaquons nous à présent à la limite de Monsieur Etilarkov
Posons pour cela
On a alors comme sin(pi/2 + u) = cos(u) et cos(pi/2 + u) = -sin(u)
Or (-sin(u))2n = ((-sin(u))2)n = (sin2(u))n = (1-cos²(u))n
Donc l'expression devient :
Et donc :
Et donc finalement, en utilisant le résultat prélinaire, on obtient :
Merci pour l'énigme
J'espère avoir assez détaillé, et surtout ne pas mettre bètement trompé
A+
Romain
bonsoir
on pose t = x-/2 ==> x=t+/2
x/2 ==> t0
f(x)=((1-sinkx)/cos2x), k allant de 1 à n
=f(t+/2)
=((1-sink(t+/2))/cos2(t+/2)), k allant de 1 à n
=((1-coskt)/sin2t) ,k allant de 1 à n
or on a lim t0(1-coskt)=lim t0(1-cos2t)=0
de plus les 2 fonctions(1-coskt) et (1-cos2t) sont derivable au voisiage de 0.
donc selon le theoreme de l'hopital on a:
lim t0(1-coskt)/(1-cos2t) = lim t0(1-coskt)'/(1-cos2t)'
=lim t0 (k sint cosk-1t)/(2 sint cost) = lim t0 (k cosk-2t)/2 = k/2.
d'où lim t0 (((1-coskt)/sin2t) ,k allant de 1 à n)=((k/2), k allant de 1 à n)= (k/2)n
ma réponse sera donc (k/2)n
merci pour l'exercice (plutot que l'énigme) .
Bonsoir,
jolie "énigme" mais je ne suis pas sûr que ça plaise à tout le monde.
C'est moins ludique... d'un autre côté nous sommes sur un forum de maths et la partie énigme n'est qu'une petite partie de l'activité du site (même si je me cantonne à cela).
Primo, le changement de variable s'impose,
ce qui ramène le problème à l'étude de via les formules de trigonométrie.
On peut alors l'écrire (cos²t+sin²t=1)
On peut ensuite décomposer ce produit sous la forme , ce qui nous ramène à la limite de l'indice.
L'étude de la dérivée (en prolongeant en 0) ou l'utilisation d'un développement limité permet de prouver que
(par DL, on a (je m'enquiquine pour rien là... m'enfin trop tard!) )
Enfin, le produit étant fini, on peut intervertir limite et produit, d'où
===.
La limite exigée est donc (dépendant évidemment de n).
Voilà. Bon c'est plus simple à trouver qu'à écrire en latex...
(en plus c'est pas extrêmement rigoureux, mais bon c'est l'idée suggérée par l'indice)
Bonjour
(monrow, je n'ai évidemment pas le droit de participer officiellement : donc ni smiley, ni poisson.)
Bonjour,
Sans avoir regardé ce qui précède...
Et sans utiliser l'indice...
En utilisant l'égalité , le numérateur devient :
Le dénominateur se transforme aisément :
Donc la fraction initiale devient :
Sauf erreur.
Merci pour l'énigme.
Nicolas
bonjour
je suis vraiment desespérant, selon moi (k/2), k allant de 1 jusqu'à n = (k/2)n .
Je perds toujours mes points aussi bêtement , bon je retifie ma réponse qui devra être n!/2n.
Salut monrow
Voici ma démonstration et mon résultat :
- Je me ramène d'abord à une limite en 0 :
Soit I cette limite.
- Je rends la fraction plus "homogène" :
D'où
- Je calcule les développements limités en 0 par récurrence :
Hypothèse de récurrence : le développement limité de en 0 est .
Donc pour tout n entier naturel strictement positif, le développement limité de en 0 est .
- On calcule la valeur de I :
Bonjour, l'indice m'a permis de penser à décomposer en produit de dérivées :
en posant t=sin(x)², on obtient pour n entier strictement positif
(dérivée de ttk/2 en 1).
Donc on a :
Merci pour l'énigme ^^
J'ai exploité les relations
Alors l'expression se simplifie
Cette expression n'est pas indéterminée, et quand , on obtient l'expression ci dessus.
Pour l'indice, on peut utiliser les mêmes techniques pour obtenir le résultat
et quand , l'expression tend vers
posant x=Pi/2-h, et en désignant par o(t) un infiniment petit devant t , cosx=sinh=h+o(h) et sinx=cosh=(1-h^2/2+o(h^2))
donc 1-(sinx)^k=1-(1-h^2/2)^k+o(h^2)=kh^2/2+o(h^2)
donc lim(1-(sinx)^k)/(cosx)^2=k/2.
La limite cherchée vaut donc n!/2^n
Bonjour:
Je vais donc profiter de l'indice:
Posons Y=cost:
Donc: (1)
Maintenant la limite elle-même:
Je pose x=:
i.e.
...et d'près (1):
D'où:
Bonjour,
On va écrire
Maintenant, on va s'intéresser à chacune de ces n fractions, et évaluer, pour k compris entre 1 et n :
Lorsque sin x est différent de 1, on a :
Lorsque x tend vers /2, sin x tend vers 1. On en déduit que :
Par conséquent, la limite cherchée vaut :
En ce qui concerne
, c'est égal à k/2 par le même raisonnement que ci-dessus.
Cordialement
Frenicle
Bonjour
Posons sin(x) = u ; pour x =/2 u = 1
Avec cos²x = 1 - sin²x et il faut démontrer que
Démontrons par récurrence
supposons que
et démontrons que
en effet
A+
bonjour,
j'ai plusieurs methodes
on peut poser x=/2 -t ...
mais on peut aussi remarquer que E l'expression proposée est de la forme E=A1A2..An avec Ak=(1-ak)/(1-a2)
en posant a=sinx
limAk(a1)=lim(1-a)(1+a+a²+........+ak-1))/(1-a)(1+a)=k/2
(x/2a1)
donc lim E(x/2)=(1/2)(2/2)......(k/2)...(n/2)=n!/2n
sauf erreur
merci pour cet exo
bonjour
je trouve comme limite n! / 2n
je vais tenter une démo en latex (roulement de tambour.....)
or lorsque t tend vers 0, tend vers (DL)
et lorsque t tend vers 0, tend vers 1 (idem)
donc lorsque t tend vers 0, tend vers
en posant t = x-/2, on obtient :
=
ce qui, lorsque t tend vers 0, tend vers =
Bonjour,
On effectue un changement de variable en posant d'où :
Ensuite, on remplace par et par puis pour obtenir la limite suivante :
On utilise ensuite le Développement limité et on calcule chaque limite de la forme donnée en indice avec k =1 à n
on obtient :
.
.
.
Conclusion :
La réponse est
Merci et à bientôt, KiKo21.
P.S. Dur, dur le latex...
Bonjour,
lim x/2 (1-sinx)(1-sin2x)...(1-sinnx)/cos2nx
= lim x0 (1-cosx)(1-cos2x)...(1-cosnx)/sin2nx
= lim x0 [1-(1-x2/2)][1-(1-x2/2)2]...[1-(1-x2/2)n]/x2n
= lim x0 [1-(1-x2/2)][1-(1-2x2/2)]...[1-(1-nx2/2)]/x2n
= lim x0 (x2/2)(2x2/2)...(nx2/2)/x2n
= lim x0 (n!x2n) / (2nx2n)
= n!/2n
Pour l'indice,
...pas utilisé plus haut
lim t0 (1-coskt) / (1-cos2t)
= lim t0 [1-(1-t2/2)k] / [1-(1-t2/2)2]
= lim t0 [1-(1-k.t2/2)] / [1-(1-2.t2/2)]
= lim t0 (k.t2/2) / (2.t2/2)
= k/2
A+,
gloubi
-
la limite est egale (1*2*3*...*n)/(2^n)
la 2eme est k/2
Je propose n!/(2^n)
Commençons par l'indice:
un développement limité nous donne pour k non nul:
(1-cos(t)^k)/(1-cos(t)²)= (kx²/2 + o(x^4))/(1-2x^3/3! + o(x^5))
en simplifiant par x^2, on obtient: (k/2 + o(x²))/(1-2x²/3! + o(x^4)) qui tend vers k/2 quand x tend vers 0
Donc l'indice nous donne k/2 pour k non nul.
Continuons avec la limite initiale.
Un changement de variable en t = Pi/2 - x et la transformation de sin(Pi/2-t) en cos t donnent la nouvelle limite:
lim ((Produit((1-cos(t)^k),k=1..n))/sin(t)^(2n),t=0)=lim ((Produit((1-cos(t)^k)/sin(t)²,k=1..n)),t=0)
en faisant rentrer le dénominateur dans le produit.
En remplaçant le dénominateur sin(t)² par 1-cos(t)², on obtient le produit pour k allant de 1 à n de:
(1-cos(t)^k)(1-cos(t)²) Or d'après l'indice, on peut calculer ces limites pour k allant de 1 à n, donc la limite de départ est égale au produit des limites de l'indice pour k variant de 1 à n.
Finalement on obtient: produit de k/2 pour k allant de 1 à n, c'est-à-dire n!/(2^n)
Désolé pour la rédaction.
Un petit dvl et on trouve directement .
Mais bon comme j'ai vu, tu es en terminale, tu t'attend à un truc plus astucieux.
Posons alors avec ,
la limite se transforme en
Reste à calculer la limite annoncée en indication, soit en posant ,
on a ,
soit en développant grâce à la formule du binôme,
soit en faisant le produit on trouve .
Voilou
Salut monrow
Fixons (ce qui est supposé implicitement)
Soit la fonction .
Elle est bien définie dans un voisinage de privé de , et je noterai cet ensemble.
Pour tout réel et tout naturel supérieur ou égal à , l'identité appliquée à fournit
en notant .
Remarquons que pour tout , est continue en , de limite en ce point.
Pour tout de on peut alors écrire:
.
La limite du produit en est .
Pour examiner la limite en de la fraction restante, posons , ce qui équivaut à .
D'après les formules usuelles de Trigonométrie, on est alors ramené à étudier la limite lorsque tend vers de .
Sans passer par des équivalents, ce qui serait plus rapide, on peut écrire au niveau Terminale:
.
Or la fonction est dérivable en de nombre dérivé d'où tend vers lorsque tend vers .
Comme tend vers lorsque tend vers , on en déduit que tend vers
lorsque tend vers .
En conclusion, la limite de pour tendant vers est .
Tigweg
bonjour
pour la 1ère:
limpi/2[1-sinx)n(1+sinx)(1+sinx+sin²x)....(1+sinx+....+sinn-1x)]/(1-sinx)n(1+sinx)n]
=2.3....n/2n=n!/2n
pour la 2ème en appliquant le th de l'Hospital
lim0[kcosk-1t.sint]/[2costsint]=lim0k/2 cosk-2t=k/2
Bonjour
je me rends compte qu'il est déjà trop tard pour la première, alors je me penche sur celle là
j'écris le dénominateur
je découpe la fraction en produit de n fractions (k de 1 à n) :
(en simplifiant par ) ayant pour limite en pi/2 :
la limite cherchée est donc
ENIGME CLOTUREE
On commence par l'indice:
On passe à la limite d'Etilarkov:
On pose:
La limite équivaut:
et d'après la question précédente on pourra conclure que:
Et donc:
Merci pour vos participations
Bravo pour les démos en latex (surtout celles de Kevin, Romain, kiko21..)
J'avoue ma défaite Kevin :D
J'ai perdu cette première bataille LaTeX, tu as plus d'encadré !!
PS : tu aurais du mentionner le copyright Elhor ^^
Merci pour l'énigme
J'ai pris mon temps pour faire tout beau
Si tu veux ta revanche il faudrait une autre énigme de maths ( ), j'ai trouvé cette limite très intéressante
T'es premier romain
Et merci à elhor
Bonsoir
> Kévin beau le trèfle
belle démo en latex mais je pense que
dans ta démo ; dans ton Sk l'exposant de ton dernier terme devrait être k-1 et non k
A+
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