Supposons qu'il existe des entiers k>1, n>1 et m>1 tels que :
.
On a
, donc n>m.
D'autre part
, donc k>m.
Alors
, d'où
et comme
, on en déduit par produit que
>m^m m^{n-m})
, soit :
ou encore
, ce qui est absurde.
En autorisant m,k ou n à être égal à 0 ou 1 on obtient les solutions triviales suivantes (j'espère ne pas en avoir oublié) :
- m=1, k quelconque, n=1
- m non nul quelconque, k=0, n=0
- m=1, k=0, n quelconque
- m non nul quelconque, k=1, n=0
- m=1, k=1, n quelconque
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