Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques DétentePour discuter des JFF, des problèmes intéressants. ExercicesExercices ludiques [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau exercices
Partager :

Enigmatik 4: le produit

Posté par
Moumbo 12-02-08 à 23:31

Bonsoir,
Soit le produit de a1;a2;a3.....a1024 P
Montrer que 4$\bigprod_{i=1}^{1024} (1+\frac{1}{a^{1024}_i+a^{2048}_i)(1+\frac{1}{P+P^2})^{1024}

J'écris bien le latex non?
Bonne chance

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 13-02-08 à 10:03

Aucune réponse?

Posté par
simon92re : Enigmatik 4: le produit 13-02-08 à 13:58

bonjour moumbo, je comprend pas bien, tu es en seconde?

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 13-02-08 à 18:21

Oui ne t'en fais pas j'ai passé au programme de 1êre même, je comprends bien ces trucs même si je suis en 2nde

Posté par
simon92re : Enigmatik 4: le produit 13-02-08 à 18:28

c'est pas le problème c'est que tu donnes souvent des exos completement inaxessibles pour beaucoup, et tu ne donne jamais de résolution, exemple: Les triangle dans le polynome ou tu as donner un maximum 129 snas le démontrer ni rien... Soit tu es vraiment très en avance, et dans ce cas, tu pourrais donner tes solutions, soit tu tire tes énigmes d'un site a la diophante en prenant des exos 4 étoiles, et la c'est normal que personne ne trouve

Posté par
7--19re : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 09:05

non pas du tout . je t'encourage Moumbo à poster ce genre d'exos jolis qui se font rares. je n'ai jamais eu la flemme de chercher un exo durant mon temps libre donc si tu donnes la solution en blankée serait le mieux.

merci

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 13:12

Merci 7-19,
Je poste ces exos parce que je sais les résoudre
Simon 92=> ce n'est pas tiré d'un site et si tu cherches tu ne trouveras jamais

Posté par
fusionfroidere : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 15:05

Citation :
ce n'est pas tiré d'un site et si tu cherches tu ne trouveras jamais


D'un bouquin alors ?

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 18:29

Non c'est à moi c'est compris???

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 18:30

mais faîtes le faîtes moi un plaisir

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 19:03

Bon je suis très déçu,
Si vous continuez à ne pas répondre  je vais poster la correction

Posté par
Ju007re : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 19:05

ben c'est pas évident ton truc...

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 19:07

évident?

Posté par
7--19re : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 20:45

un indice ?

Posté par
blangre : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 22:39

Tu peux montrer ton inégalité pour des a_i strictement positifs de la façon suivante :

- Commence par prouver que la fonction f définie sur R par  f(x)=ln\left(1+\frac{1}{e^{2x}+e^x}\right) est convexe.

- Utilise le fait qu'alors f \left( \bigsum_{i=1}^{1024} \frac{1}{1024}b_i \right) \leq\bigsum_{i=1}^{1024} \frac{1}{1024}f(b_i) en posant b_i=1024ln(a_i).

blang

Posté par
blangre : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 22:45

(J'attends bien sûr la correction niveau seconde de Moumbo )

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 23:33

Bon je résous alors,
Pour les réels a et b,
Démontrons l'inégalité suivante

3$(1+\frac{1}{a^2+a^4})(1+\frac{1}{b^2+b^4})\ge(1+\frac{1}{ab+a^2b^2})^2
Multiplions chaque côté de l'inégalité par 3$a^2b^2(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)^2

3$ (1+a^2+a^4)(1+b^2+b^4)(1+ab)^2\ge(1+a^2)(1+b^2)(1+ab+a^2b^2)^2
Si on ouvre les parenthèses(terme 27+24!) et si on simplifie on obtient:
3$a^4+b^4-2a^2b^2+2ab^5+2a^5b-a^2b^4-a^4b^2-2a^3b^3+a^2b^6+a^6b^2-2a^4b^4\ge0.
La dernière égalité on peut écrire comme ça:
3$(a^2-b^2)^2+ab(2b^4+2a^4+-ab^3-a^3b-2a^2b^2)+a^2b^2(a^2-b^2)^2
3$=(a^2-b^2)^2+ab((a^2-b^2)^2+(a-b)^2(a^2+ab+b^2))+a^2b^2(a^2-b^2)^2\ge0
Et à la dernière inégalité étant donné que tous les termes sont positifs cela est démontré automatiquement.

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 14-02-08 à 23:34

Voilà la correction de Moumbo de niveau seconde lol

Posté par
blangre : Enigmatik 4: le produit 15-02-08 à 08:17

@Moumbo :

Je ne vois pas très bien en quoi cela répond automatiquement à la question initiale ? A moins bien sûr de terminer par une très jolie récurrence (ne comptez pas sur moi pour l'écrire en Latex )... Mais là, évidemment, on sort largement du programme de seconde !

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 15-02-08 à 09:51

Je sais c'est l'indice que tu voulais non, mais sinon je vais donner la suite

Posté par
blangre : Enigmatik 4: le produit 15-02-08 à 11:17

@Moumbo :

Toi qui somme les gens de résoudre tes "énigmes", tu pourrais lorsqu'ils le font (voir mon message d'hier à 22:39), leur livrer ton sentiment.

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 20-02-08 à 17:45

Maintenant démontrons pour toutn\ge1 et dont le produit Pn a_1;a_2;...:a_{2^n}
\bigprod_{i=1}^{2^n} (1+\frac{1}{a^{2^n}_i +a^{2^n+1}_i})\ge(1+\frac{1}{P_n+P^2_n})In

La question est n=10?
Soit (In vrai)
[tex]\bigprod_{i=1}^{2x2^n} (1+\frac{1}{a^{2x2^n}_i +a^{4x2n}_i})= \bigprod_{i=1}^{2^n}(1+\frac{1}{a^{2x2^n}_{2i-1}+{a^{4x2n}_{2i-1} ) (1+\frac{1}{a^{2x2^n)_2i +a^{4x2^n}_{2i}/tex]

Posté par
Moumbore : Enigmatik 4: le produit 20-02-08 à 17:46

Oh non j'écrirerai plus tard désolé, un clique a tout défait

Posté par
blangre : Enigmatik 4: le produit 20-02-08 à 18:02

@Moumbo :

D'autant que j'ai déjà posté plus haut une solution très courte le 14 février à 22:39...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !