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Enigme :12 billes et une balance !
Bonjour à tous ! Alors voilà, ma prof de math nous a donné une énigme à résoudre et si on y arrivais, on a +2 point sur notre contrôle ou j'ai eu un jolie 17 ! =) Bref, la voici :
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J'ai 12 billes : o o o o o o o o o o o o <== Billes
J'ai une balance : __________|__________
|
|-----|-----|
Le bute est de trouvé une bille soit lourde, soit plus légère que les 11 billes restantes !
Mais, on a droit d'utiliser la balance seulement 3 fois !
Indice : On commence avec 4 billes de chaque côté.
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Ensuite, il faut faire un schéma pour bien comprendre avec si besoin quelques explications, servait vous du copier/coller de la balance pour faire quelque chose de soigné.
Bonne chance ! =p
Bonjour
une petite recherche sur internet donne ça :
on commence bien par 1 pesée de 8 boules (4 à droite et 4 à gauche) si équilibre sur les 4 restantes on en prend 3 et pesée avec une boule des 8 premières, qui est considérée comme étalon parce qu'identique entre elles quatre, si dans ce cas il y équilibre c'est la boule restante que l'on pèse avec la boule étalon, si plus léger la boule étalon plateau bas si non plus lourd.
Si à la première pesée bascule du plateau, 2ème pesée on prend les 4 du plateau bas que l'on réparties 2 a gauche +1 boule étalon et 2 à droite avec une boule du plateau haut ,
- si équilibre les 3 restantes non pesées contiennent une plus légère;
- si penche du coté des 2 + étalon alors on récupère les 2 boules et la boule du plateau haut , on pèse alors les 2 boules qui étaient avec l'étalon , si équilibre c'est la boule du plateau haut la plus légère
Voici l'énigme à trouver :
J'ai 12 billes et une balance.
Parmi ces 12 billes, il y en a une qui est plus lourde ou plus légère que les autres.
Vous avez le droit d'utiliser la balance seulement en 3 essai.
Indice : Pour le premier essai, il faut tester avec 4 billes de chaque côté !
Bonne chance ! :p
** message déplacé > LE MULTI-POST EST INTERDIT SUR L'ILE DES MATHS ! **
salut
Cliquez pour afficher
le plateau contenant A est plus bas que le plateau contenant B
pb plus général : avec n boules dont une est fausse avec plus légère ou plus lourde combien faut-il de pesées au minimum pour la déterminer ? je n'ai pas la réponse
Yzz -->
Cliquez pour afficher
Bonjour,
Je ne sais si l'on peut encore répondre sur cet exercice, mais de mon côté, j'ai trouvé un moyen de savoir en 3 pesées si la bille différente est plus lourde ou plus légère.
Comme mon algorithme est un peu long, je le posterai dès que j'aurai un peu plus de temps.
Sachez toutefois qu'il y a une solution à la question soulevée par Yzz
Bonjour,
Puisque le topic remonte,j'avais à l'époque vu la réponse de lafol
qui semblait tout à fait logique .
Bonsoir tout le monde. Et bien je suis ravi de pouvoir dire que j'ai résolu ce problème ! Cela m'a pris 1h15.
J'ai cherché ce problème sur le net après l'avoir entendu évoqué dans un épisode de Brooklyne Nine-Nine. Ils ne donnent pas la résolution alors j'ai voulu voir sur le net si ce problème existait bien. Et c'est bien le cas !
On se retrouve d'abord face à 2 cas à la première pesée. On doit peser 8 boules au hasard. 4 d'un côté, 4 de l'autre. Si la balance penche, on doit se pencher uniquement sur les billes sur la balance (8 en tout donc). Si la balance est à l'équilibre, alors on sait que la boule recherchée se trouve dans l'une des 4 boules qui ne sont pas sur la balance.
Voilà les 2 cas de figure à considérer à la première pesée : 1 des 4 billes qui ne sont pas sur la balance ou 1 des 8 billes qui sont sur la balance.
Je ne vais pas résoudre le problème maintenant mais observons tout de même que nous avons pour chaque pesée la possibilité de jouer ou anticiper 3 types de coup : Intervertir les boules (entre plateaux de la balance), les changer contre des billes qu'on a en main ou bien encore les enlever. On a aussi 3 positions de la balance : penche du même côté, penche de l'autre côté ou se met à l'équilibre.
3 types de coup à jouer et 3 positions possibles pour la balance. On se sent déjà un peu moins seul...
A la première pesée on saura si on doit résoudre 1 bille sur 4 en 2 coups ou bien si c'est 1 bille sur 8 en 2 coups aussi.
On résout alors soit 1/4 billes soit 1/8 billes. Il est préférable de commencer par 1/4 car la résolution est plus facile et linéaire. Si on compte résoudre le 1/8 avec les éléments ou la manière de faire du 1/4, alors il faudra certainement faire un aller-retour entre la fin et le début de la résolution du 1/8. Oui, on s'aperçoit qu'il faut positionner quelque chose avant de croire avoir un résultat. Sans cela, on se retrouve toujours avec une lacune et l'impossibilité constante de choisir entre 2 éléments. Inutile aussi de se dire qu'on saura si la bille recherchée est plus lourde ou plus légère, on ne le saura pas !
Pour résoudre l'énigme, il faut maitriser 2 cas possibles : trouver l'une entre 4 ou 8 billes et en 2 coups seulement. Et ça ne se résout pas de la même manière. N'oubliez pas qu'à chaque pesée, la balance peut indiquer 3 positions (coté 1, 2 ou équilibre) et que vous avez 3 types de manipulation possible avec les billes (intervertir, échanger, ôter).
Bref, à bientôt, je publierai le spoiler un peu plus tard ! 
Presque dix ans après et alors que la réponse est déjà donnée....
J'ai cherché à nouveau, je ne trouve pas la résolution. Pouvez-vous me citer où la réponse est inscrite?
Il y a 2 calculs à faire apparaitre. L'un pour la résolution du 1/4 et l'autre pour la résolution du 1/8. Pour l'instant, la discussion s'est arrêtée à la première pesée où l'on définit le groupe de 4 ou de 8. Mais je ne vois personnes qui indique ce qu'il fait par la suite...
Bonjour,
lis mieux ..
en particulier les blank de carpediem ...
une autre méthode de résolution non algorithmique a été proposée par Martin Gardner (chercher sur Internet : 12 pièces Martin Gardner)
le principe est que avec 3 pesées on code 3^3 = 27 possibilités (3 possibilités par pesées)
avec 12 billes l'une étant plus légère ou plus lourde ça fair 2x12 = 24 cas
comme 24 < 27 on peut coder chaque bille et son poids en correspondance avec le codage des pesées.
l'astuce de Martin Gardner est de trouver le bon codage...
Bonjour,
lis mieux ..
en particulier les blank de carpediem ...
une autre méthode de résolution non algorithmique a été proposée par Martin Gardner (chercher sur Internet : 12 pièces Martin Gardner)
le principe est que avec 3 pesées on code 3^3 = 27 possibilités (3 possibilités par pesées)
avec 12 billes l'une étant plus légère ou plus lourde ça fair 2x12 = 24 cas
comme 24 < 27 on peut coder chaque bille et son poids en correspondance avec le codage des pesées.
l'astuce de Martin Gardner est de trouver le bon codage...
Il ne détaille pas pour la pesée des 8 billes. Et les réponses données par lafol partent une première fois du cas où on saurait si la bille est plus lourde ou plus légère ou dans sa seconde solution trouvée sur internet, on ne sait pas comment elle détermine en une pesée où se trouve la bille légère entre les 3 sorties du plateau. La réponse existe bien mais elle n'apparait pas.
Voilà ma résolution pour le plateau de 8 billes en 2 pesées restantes. Elle se fait en continuant à peser 8 billes alors que la seconde solution de plumeteor en pèse 6. Elle est aussi différente de celle proposée par Carpediem. Mais je suis bloqué dans le calcul et raisonnement de Carpediem dans le cas où il faut comparer gf et cd sans marqueur n qui existe pourtant dans son autre cas ab/hn. Il y a quelque chose qui m'échappe. Au moment où je m'étais dit qu'il fallait un marqueur n en amont du 3ème coup, j'avais déduit qu'il fallait le faire apparaitre obligatoirement dans tous les cas, autrement une petite partie des possibilités reste incertaine) :
On doit pour moi d'abord échanger 2 billes d'un même plateau avec des "normales" qu'on a en main puis on intervertit l'une de celles-ci ainsi qu'une une bille restante du même plateau avec 2 billes de l'autre plateau. Depuis abcd/efgh on obtient abnf/cngh. 2 n, dont 1 qui est resté fixe et l'autre qu'on a interverti de plateau. On peut aussi l'écrire : d et e deviennent n, et c et f sont intervertis. Mais ce n'est pas le résonnement que nous avons suivi et ce fait n'est qu'un conséquence de la recherche d'absence d'effet dans l'introduction des boules n en les répartissant de chaque côté.
Si c'est à l'équilibre, on sait que c'est l'une des 2 boules qu'on a en main. On pèse alors l'une d'elle avec une normale et si c'est pas l'une, c'est l'autre. On se rappelle de la position du plateau sur lequel on les avait enlevées pour déterminer si elle est plus ou moins lourde que les autres.
Si ça penche du même côté, on ne garde que les billes qui n'ont pas bougé de plateau (2 sur chaque plateau), et si cela penche du côté inverse on ne garde que celles qui ont bougé et on ôte les 4 autres. On en élimine 50% et on a positionné un marqueur dans tous les cas avec l'introduction d'une boule n normale.
Et on recommence le passe-passe avec les 4 billes restantes, on intervertit la bille normale avec une encore suspecte sur l'autre plateau et on remplace l'une des autres billes encore suspectes par une bille normale. Si équilibre : c'est celle qu'on vient de remplacer et qu'on a en main, si toujours du même côté : c'est la seule qu'on n'a pas touché dans la dernière manipulation, si penche de l'autre côté : c'est donc la troisième billes qu'on vient de changer de plateau. Voilà pourquoi il faut selon moi invariablement placer une bille normale en tant que marqueur le coup d'avant afin de réduire le choix à 3 et d'y attribuer une seule cause par mouvement de la balance. Et on détermine enfin si la bille était plus ou moins lourde que les autres en fonction du mouvement que son dernier changement de plateau ou son retrait a provoqué.
3 coups, 3 manipulations possibles et 3 positions indicatrices de la balance. Je ne sais pas si c'était cela l'énumération de Martin Gardner pour trouver 27 solutions mais j'irai voir ce qu'il dit.
Merci de corriger mes éventuelles erreurs mais aussi de m'éclairer sur la résolution de Carpediem qui pour moi à ce point me pose une lacune : abfg/cdhn. Plutot que abnf/cngh ou aef/bgh proposé par plumeteor qui eux me semblent marcher et prendre en compte toutes les possibilités.
Rebonjour.
Cliquez pour afficherCette résolution me semble correcte et la première qui soit exposée intégralement et avec autant de simplicité. A prendre en compte avec votre message précédent qui débute votre résolution.
Avec un certain décalage temporel et en un mot : bravo !
c'est bien ce que je disais ... la réponse avait été donnée il y a près de dix ans ....
Une des réponses! Mais la seule réponse qui était entièrement détaillée n'a fait réagir personne. La réponse que vous avez copier-coller sur internet n'a pas complète ! Et celle de carpediem me semble avoir une erreur. Beaucoup semblent penser qu'elle est bonne ou le bon début mais je n'arrive pas à la résoudre car elle me semble porter une erreur. Ce qui reste à démontrer puisque personne ne l'a développé !
elle n'avait fait réagir personne parce qu'elle arrivait neuf mois après la question ....
celui qui avait posé la question était sans doute déjà désinscrit du site
alors toi, dix ans après, tu penses bien ....
de toute façon mathafou a donné un résultat permettant de prouver qu'on peut
et ma réponse partielle donne le principe général pour résoudre le pb
tout cela est donc suffisant pour justifier la validité de la réponse ...
donc maintenant on laisse la place à ceux qui veulent s'amuser ...
c'est un classique que je donne à mes élèves depuis tellement longtemps ...
ma preuve n'est pas entièrement complète : encore faut il que les pesées soient individuellement possibles (que chaque pesée comporte un nombre pair de pièces)
en effet 2*13 = 26 < 27 et pourtant 13 pièces n'est pas possible
avec 13 pièces on peut laisser la 13ème pièce sur la table (ne jamais la peser) et si le plan de pesées avec les 12 pièces dit "elles sont toutes bonnes" alors c'est que la 13ème pièce est fausse, mais il n'est pas possible de savoir si elle est bonne ou fausse plus lourde ou plus légère
par contre si je rajoute une 14ème pièce bonne empruntée à un ami de confiance, je peux déterminer la pièce fausse parmi les 13 et son poids. (toujours en 3 pesées seulement)
merci pour ces compléments ...
il me semble que le pb des 13 boules en quatre pesées est tout aussi classique ... et déjà posé ici sur 
(peut-être même par moi)
Bon dimanche:
Je pense avoir une solution .
Soit les 11 billes égales en jaune et soit une bille "légère" en vert soit une bille "lourde" en rouge.
a) On met 4 billes sur P1 et 4 billes sur P2.
Pesée 1 :
P1 en haut signifie soit rouge dans P2 soit verte dans P1
(nous avons une solution symétrique ,mais gardons P1 pour
le plateau haut).
b)nous mettons les 4 billes de P1 de coté et nous les remplaçons par le 4 billes égales (non pesées).
Pesée 2:
Si P1 reste en haut c'est que la bille rouge est dans P2
Si P1et P2 sont en équilibre c'est que la bille verte est dans les 4 billes de P1 mises de coté.
c) Nous sortons une bille sur les 4 mises de coté ,ce sera soit une jaune soit une rouge soit une verte.
Nous ne pesons que deux billes .
Pesée 3:
3.1 l'équilibre désigne que l'on a sorti la rouge ou la verte.
3.2 le plateau P2 en haut désigne la rouge ou la verte.
A noter que si les deux plateaux sont en équilibre dès le départ on gagne une étape.
pas d'accord car on ne peut pas distinguer le fait qu'une boule soit plus lourde ou plus légère ...
si abcd < efgh alors :
soit la boule fausse est plus légère et se trouve parmi abcd
soit la boule fausse est plus lourde et se trouve parmi efgh
et la seule façon de faire est de comparer abe et cfg par exemple (ou un truc comme ça) en réfléchissant sur ce qu'implique les relations abe < cfg ou abe > cfg
ainsi abe > cfg implique immédiatement que e est la boule fausse et est plus lourde ou que c est la boule fausse et est plus légère ...
une troisième pesée permet de conclure ...
Quand je disais que pour la pesée 3 nous ne pesions que 2 boules il fallait dire sur
chaque plateau:
On reprend au point c)
Pour la pesée 3
on prend les 4 billes de P2 si P1 est en haut ou les 4 billes de P1 si il y avait équilibre,
et on en met 1 de coté parmi ces 4.
On laisse une bonne bille de la pesée 2 sur P1 (mais surtout on prend soin de la marquer ) et on met 2 billes sur les 3 restantes sur P2 et 1 sur P1.
L'équilibre désigne soir la rouge soit la verte (elles avaient été sorties)
P1 en haut désigne soit la rouge soit la verte sur P2 celle qui n'est pas marquée.
Je vais essayer de "simplifier" :
Donnons 2 comme valeur pour les 11 billes égales et 3 ou1
pour la "fausse"
Nous mettons 4 billes sur P1 et 4 billes sur P2 (restent 4 billes )
1 ère pesée
*(nous gardons pour la fin la pesée équilibrée).
Nous observons le plateau "léger " que nous appellerons P1.
P1 = 8 --->P2 = 9 ou P1=7--->P2=8
2 ème pesée
Nous remplaçons les 4 billes de P1 dans les deux cas par les 4 billes non pesées qui sont toutes 2, et nous mettons de coté soit les 2222 soit les 2221 des P1
Nous avons deux cas:
soit PI en haut =8 qui confirme P2 =9 qui confirme 3 dans P2 soit 2223
soit équilibre --->P1 = P2 = 8 qui confirme 2221 du cas signalé.
*Le problème revient à trouver soit la 3 de 2223 soit la 1 de 2221:
Donc nous gardons une bille 2 dans P1 et nous mettons une deuxième bille provenant de 2223 (que nous marquons) pour l'autre cas nous gardons 2 billes de 2 dans P2 et nous mettons 2 billes provenant de 2221 dans P1 .
Pesée 3.1
Si il y a équilibre
A ce stade nous avons
3 ème pesée:
Nous avons 3 cas:
3.1 équilibre P1=P2 =4 cela signifie que nous avons pris 3 billes 2 dans 2223
soit 3 billes 2 dans 2221 la bille restante et donc 3 ou 1 et fin.
3.2 P1=est léger deux cas : P1 =4 ,P2 =5 soit 22/23 signifie que 3 provient de 2223 (nous l'avions marquée ).
Soit:
P1 =3 (21) = et P2 =4 (22) ce qui signifie que 1 dans P2 provient de 2221 (nous l'avions marquée).
3.3 P1 est lourd = 5 (23) et P2 =4 (22 ) la bille 3 provenant de 2223
Le cas de la première pesée équilibrée revient à *
>mathafou.
Je savais bien qu'une identification était nécessaire....
ma méthode fonctionne uniquement si la bille "fausse" est dans P1 car si 3 par exemple
est sur P2 on ne peut la distinguer de l'autre 2.
J'ai bien aimé le raisonnement ternaire qui doit bien fonctionner ici
Je savais bien qu'une identification était nécessaire....
je ne vois pas où ce que j'ai dit parle "d'identification" ...
ce qui est sur c'est que il faut garder la mémoire jusqu'au bout de quelles pièces précisément ont été pesées et comment
et que la plus simple façon de faire ça est de leur mettre une "étiquette" au départ : la pièce A, B, C etc ... K, L (12 pièces) ou n° 1, 2 ... 12
mais on peut aussi prévoir un bon paquet de petites coupelles pour y mettre les pièces que l'on a pesées 
une remarque :
tous ces diagrammes pèchent à la base par la "connaissance" préalable (sa peinture en vert ou rouge) de la pièce fausse !
et ça perturbe complètement le raisonnement !! au point de finir pas dire des bêtises.
Question de vocabulaire:
Je voulais dire que chaque bille doit avoir une identité même si les onze ont
le même poids....
Bonjour à tous,
La solution à appliquer est celle de la résolution de Martin Gardner suggérée en son
temps par mathafou.
Je l'ai retravaillée pou être plus lisible.
1/on donne une identité aux 12 billes (mode ternaire non ordonné).
Gauche, Milieu, Droite
2/ on procède aux trois pesées en respectant les indications
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