Bonjour à tous,
Voici l'énigme du mercredi de votre cher clemclem...(:D) :
Soit a , b , c , d , e 5 termes consécutifs appartenant à une suite géométrique tels que :
a + b + c = 7
c + d + e = 847
(a , b , c , d , e sont des nombres réels)
Déterminer les valeurs que peuvent prendre a , b , c , d , e avec une rédaction claire et précise
Les points de cette énigme ne seront attribués que si les réponses et la démonstration sont exactes.
Bonne chance à vous tous.
Clotûre Samedi midi.
Bonjour clem clem et merci pour cette enigme
Soit u(n) la suite géométrique a laquelle appartiennent a, b, c, d, e. On a :
u(n+1) = q*un avec q raison appartenant a .
L'énoncé nous dit que a b c d e sont des termes consécutifs de cette suite d'où
b = aq
c = aq²
d = aq3
e = aq4
De plus :
a+b+c = 7 et c+d+e = 847
En remplaçant les termes en foction de a et de q on a alors :
a+aq+aq² = 7
aq²+aq3+aq4 = 847
Je me propose de résoudre le système ci dessus :
a = 7/(1+q+q²) donc en remplçant dans la deuxième égalité du système :
[7*(q²+q3+q4)]/(1+q+q²) = 847
[7*q²*(1+q+q²)]/(1+q+q²) = 847 d'où :
7*q² = 847
q² = 121
q = 11 ou q = -11
CAS OU Q = 11 :
On a vu que a = 7/(1+q+q²)
a = 7/(1+11+121)
a = 7/133 = 1/19
b = aq b = 11/19
c = bq c = 121/19
d = cq d = 1331/19
e = dq e = 14641/19
CAS OU Q = -11
a = 7/(1+q+q²) a = 7/111
b = aq b = -77/111
c = bq c = 847/111
d = cq d = -9317/111
e = dq e = 102487/111
Voila il y a deux solutions à ton énigme qui sont :
a = 1/19
b = 11/19
c = 121/19
d = 1331/19
e = 14641/19
et
a = 7/111
b = -77/111
c = 847/111
d = -9317/111
e = 102487/111
soit q la raison de la suite géométrique et a le premier terme
a
b=aq
c=q2a
d=q3a
e=q4a
a+b+c=7 a+qa+q2a=7 a(1+q+q2) = 7 (1)
c+d+e=847 q2a+q3a+q4a = 847 aq2(1+q+q2) = 847(2)
q2 = = 121 q = 11 ou q = -11
q = 11 a= b= c= d= e=
q=-11 a= b= c= d= e=
alors on apelle K la raison de cette suit gemometrique.
par definition B=AK
C=AK²
D=AK^3
E=AK^4
donc comme A+B+C=7, A+AK+AK²=7
et comme C+D+E=847, Ak²+Ak^3+AK^4 = 847
et donc K²(A+AK+AK²)=847
K²=847/7=121
2 cas possilbe, K=11 ou K=-11
cas k=11
A+AK+AK²=7
donc A+11A+121A=7, 133A=7
donc :
a=7/133
b=77/133
C=847/133
D=9317/133
e=102487/133
(on obtien B,c,d,e en multipliant par K a chaque fois, cad 11)
cas K=-11
A+AK+AK²=7
donc : A-11A+121A=7
111A=7
et donc :
A= 7/111
B= -77/111
c =+847/111
D= -9317/111
E= 102487/111
on a donc 2 sollution possible, soit a vaut 7/111 et la raison de la suite est -11, sois a vaut 7/133 et la raison de la suite est 11 (les valeur de a,b,c,d,e sont detailler plus haut)
La somme des n termes d'une progression géométrique de premier terme a et de raison q est égale :
S= a (1-q3)/1-q
Si je traduit a + b + c = 7, j'obtiens : a (1-q3)/1-q = 7 (1)
Si je traduit c + d + e = 847, j'obtiens c (1-q3)/1-q = 847. (2)
Or c= (a*q)*q= a q2.
Si je fais le rapport (2)/(1), j'obtiens q2=121, ce qui donne q= + et - 11
1) si q= +11
En remplçant dans (1), j'obtiens a(1330)/10 = 7, soit a=1/19
Dans ce cas, avec une raison de +11,
a=1/19, b=11/19, c= 121/19, d=1331/19 et e= 14641/19
2)si q= -11
En remplçant dans (1), j'obtiens a(1332)/12 = 7, soit a=7/111
Dans ce cas, avec une raison de -11,
a=7/111, b=-77/111, c= 847/111, d=-9317/111 et e= 102487/111
on pose (1) u(1+q+q2)=7
(2) u(q2 +q3+q4)=847
d'ou uq2(1+q+q2)=847
le rapport (2)/(1) donne q2=121=112 d'ou q= 11 ou -11
visiblement q doit etre egal a -11
ce qui donne avec (1) u(1-11+121)=7 d'ou u=7/111
on obtient a=7/111 b=-77/111 c=847/111
d= -9317/111 e=102487/111
a,b,c,d et e étant des termes consécutifs d'une suite géométrique on peut écrire :
où est la raison de la suite géométrique.
Donc
(1)
(2)
En effectuant le quotient de (2) par (1) on obtient
1° cas 2° cas
d'après (1)
Il existe deux solutions
Soit r la raison de la suite :
a+a.r+a.r²=7
et a.r²+a.r3+a.r4=847
donc a(1+r+r²)=7
et a.r²(1+r+r²)=847
en divisant mb à mb, on a r²=847/7=121
1)r=11 a=1/19, b=11/19, c=121/19, d=1331/19, e=14641/19
2)r=-11 a=7/111, b=-77/111, c=847/111, d=-9317/111, e=102487/111
Je considére q la raison de la progression.
a+b+c =7 a (1-q3)/(1-q) =7
c+d+e = 847 aq2 (1-q3)/(1-q) =847
Si je divise membre à membre, cela donne q2=121.
A. Première solution : q= +11
donc a(1-113)/1-11 =7, ce qui donne, a = 1/19.
En partant de a et en multipliant par la raison +11 :
a= 1/19
b= 11/19
c= 121/19
d= 1331/19
e= 14641/19
B. Deuxième solution : q= -11
donc a[1 - (-11)3]/[1- (-11)] =7, ce qui donne a= 7/111
En partant de a et en multipliant par la raison - 11 :
a= 7/111
b= -77/111
c= 847/111
d= -9317/111
e= 102487/111
En résumé il existe deux quintés(a,b,c,d,e) "solutions", correspondant à une raison de +11 et de -11.
Bon, je sens que je vais encore me planter en recopiant mais je reessaie:
a,b,c,d,e sont 5 termes consécutifs d'unse suite géométrique. Donc, si je note q, la raison de la suite et u(0), le terme initial, alors:
a=u(0).qn
b=u(0).qn+1
c=u(0).qn+2
d=u(0).qn+3
e=u(0).qn+4
Donc je peux réécrire les deux équations de la façon suivante:
u(0).qn + u(0).qn+1 + u(0).qn+2 = 7
u(0).qn+2 + u(0).qn+3 + u(0).qn+4 = 847
D'où:
(1) u(0).qn (1+ q + q²) = 7
(2) u(0).q².qn (1+ q + q²) = 847
On fait le quotient (2) / (1) et il vient:
q²= 847/7 <=> q = 11 ou q =-11
1er cas q=11:
En réinjectant cette valeur dans (1), on a:
u(0).11n (1+ 11 + 11²) = 7
<=> u(0).11n.133 = 7
<=> u(0) = 7/(133.11n) = 1/(19.11n)
En réinjectant dans les égalités de a,b,c,d,e
a=(1/(19.11n)).11n = 1/19
b=(1/(19.11n)).11n+1 = 11/19
c=(1/(19.11n)).11n+2 = 121/19
d=(1/(19.11n)).11n+3 = 1331/19
e=(1/(19.11n)).11n+4 = 14641/19
D'où a=1/19, b=11/19, c=121/19 d=1331/19 e=14641/19
2eme cas q=-11:
En réinjectant cette valeur dans (1), on a:
u(0).(-11)n (1- 11 + (-11)²) = 7
<=> u(0).(-11)n.111 = 7
<=> u(0) = 7/(111.(-11)n)
En réinjectant dans les égalités de a,b,c,d,e
a=(7/(111.(-11)n)).(-11)n = 7/111
b=(7/(111.(-11)n)).(-11)n+1 = -77/111
c=(7/(111.(-11)n)).(-11)n+2 = 847/111
d=(7/(111.(-11)n)).(-11)n+3 = -9317/111
e=(7/(111.(-11)n)).(-11)n+4 = 102487/111
D'où a=7/111, b=-77/111, c=847/111, d=-9317/111, e=102487/111
Conclusion:
2 solutions:
a=1/19, b=11/19, c=121/19 d=1331/19 e=14641/19
ou
a=7/111, b=-77/111, c=847/111, d=-9317/111, e=102487/111
Ca me semble un peu usinagazesque mais c'est ma réponse (gasp!)
Un+1=q.Un
b=q*a et c=q^2*a et d=q^3*a
donc a(1+q+q^2)=7 et a*q^2*(1+q+q^2)=847
On en déduit q^2=847/7=121
donc q=11 ou q=-11
a=7/133 cas q=11
b=77/133=11/19
c=847/133 = 121/19
d=9317/133 = 1331/19
e=102487/133 = 14641/19
ou a=7/111 cas q=-11
b=-77/111
c=+847/111
d=-9317/111
e=+102487/111
donc 2 solutions !
Bonsoir,
Voici ma solution: les nombres sont a=1/19, b=11/19, c=121/19, d=1331/19 et e=14641/19
Explication:
Soient q la raison de la progression et x la valeur de c. Donc b=x/q et a=x/q2
D'autre part, d=qx et e=q2x.
Dès lors, les conditions a+b+c=7 et c+d+e=847 s'écrivent (après réarrangement):
x(q2+q+1)=7q2 (1)
x(q2+q+1)=847 (2)
En divisant (2) par (1), on trouve q=11.
Ensuite, on remplace q dans (2) et on obtient x=121/19.
On en déduit la valeur de chacun des nombres a, b, c, d et e.
a , b , c , d , e étant 5 termes consécutifs appartenant à une suite géométrique, on a alors :
Les 2 équations deviennent alors :
On multiplie la premiere par -k2 et on additionne les 2 equations, ce qui donne :
1er cas :
Si
alors, en utilisant la 1ere équation, on a
D'oú ;; et
2eme cas :
Si
alors, en utilisant la 1ere équation, on a
D'oú ;; et
Ces 2 suites sont donc solutions de l'énigme.
J'en ai ch*** pour ma première énigme, mais quand j'y repense, elle est facile
Termes consécutifs d'une Suite géométrique donc:
a = u0
b = u0r
c = u0r2
d = u0r3
e = u0r4
a + b + c = 7
et
c + d + e = 847
Donc en remplacant:
u0 + u0r + u0r2 = 7
et
u0r2 + u0r3 + u0r4 = 847
On factorise:
(1) u0(1 + r + r2) = 7
et
(2) u0r2(1 + r + r2) = 847
(2)/(1): r2 = 847/7 = 121
Ca tombe bien !! r = 11
On remplace dans (1) et (2):
et on trouve:
a = 1/19
b = 11/19
c = 121/19
d = 1331/19
e = 14641/19
Voila, sympa des problèmes comme ca
Je suppose que les termes a, b, c, d et e sont triés par rapport à la suite géométrique dont ils sont issus.
Soir r la raison de la suite. On peut écrire b=ar c=br=ar² d=cr=ar³ e=dr4. Les équations deviennent
a+ar+ar²=7 => a(1+r+r²)=7
ar²+ar³+ar4=847 => ar²(1+r+r²)=847
Comme a est clairement différent de zéro et que 1+r+r² n'admet pas de zéro réel, on peut diviser la deuxième équation par la première. On obtient r²=847/7 => r=11 Donc a=7/(1+r+r²)=7/133=1/19.
J'obtiens donc le résultat suivant:
soit k la raison de cette suite geometrique. alors b=ak, c=ak2, d=ak3, e=ak4.
donc a+b+c=a(1+k+k2) et c+d+e=a(k2+k3+k4).
donc a=7/(1+k+k2) et 7k2=121.
donc k=11 ou k=-11.
on a donc: (k=11 et a=1/19) ou (k=-11 et a=7/111).
il n y a donc que deux soutions possibles :
a=1/19 et b=11/19 et c=121/19 et d=1331/19 et e=14641/19;
a=7/111 et b=-11/111 et c=121/11 et d=-1331/11 et e=14641/111.
Une suite géometrique se définit ainsi :
Un+1=k*Un où k est ma raison de la suite.
a, b,c,d,e etant 5 termes consecutifs, on peut tous les exprimer en fonction de a :
b=k*a
c=k*b=k²*a
d=k*c=k3*a
e=k*d=k4*a
On a :
a+b+c=7
a+k*a+k²*a=7
a*(1+k+k²)=7
a=7/(1+k+k²)
De plus, on a :
c+d+e=847
a*k²+a*k3+a*k4=847
d'où : a=847/(k²+k3+k4)
De ces deux égalités on obtient :
a=7/(1+k+k²)=847/(k²+k3+k4)
en passant virant les fractions cela donne :
7*(k²+k3+k4)=847*(1+k+k²)
si on developpe cela donne :
847+847*k+840*k²-7*k3-7*k4
il reste plus qu'à factoriser (ceci est fait avec la calculatrice ) et on obtient :
-7*(k-11)(k+11)(k²+k+1)=0
k or k²+k+1 n'a pas de solution dans (car =-3)
Donc k ne peut prendre que deux valeurs :
+11 et -11
Premier cas : k=11
a=7/(1+11+11²)=1/19
donc
a=1/19
b=11/19
c=121/19
d=1331/19
e=14641/19
Deuxieme cas : k=-11
a=7/111
b=-77/111
c=847/111
d=-9317/111
e=102487/111
Voila je em suis sruement embrouillé avec toutes ces balises mais bon.... :s
Voila je pense que le raisonnement est bon...
Personne peut me dire comment faire pour poster des engimes .... :s
ce sont 5 termes consecutifs d'une suite geometrique donc soit q la raison de cette suite géométrique
de plus:
ce qui nous donne
d'où
d'où q=11 ou q=-11
cas où q=11:
donc a+11a+121a=7 et
cas où q=-11:
a-11a+121a=7
d'où
Salut,
a,b,c,d,e étant les termes consécutifs d'une suite géométrique de raison k, k , k différent de 0, on peut écrire :
b = a.k
c = b.k = a.
d = c.k = a.
e = d.k = a.
En remplaçant b, c, d, et e dans les 2 égalités de l'énoncé on obtient :
a + a.k + a. = a.( 1 + k + ) = 7
a. + a. + a. = a.( 1 + k + ) = 847
On en déduit que = donc k = 11 ou k = -11
Si k = 11 alors
a = 7/133; b = 77/133; c = 847/133; d = 9317/133; e = 102487/133
Si k = -11
a = 7/111; b = -77/111; c = 847/111; d= -9317/111; e = 102487/111
soit une suite géométrique Un telle que Un = Uo*q^(n)
a + b + c = 7
c + d + e = 847
a,b,c,d,e sont consécutifs, donc on a :
b = aq
c = aq²
d = aq^(3)
e = aq^(4)
soit :
a + aq + aq² = 7
aq² + aq^(3) + aq^(4) = 847
847 = 7 * 121, d'où :
121(a + aq + aq²) = aq² + aq^(3) + aq^(4)
<=> 121(a + aq + aq²) = q²(a + aq + aq²)
<=> 121 = q² <=> q = 11
revenons à a + b+ c = 7
<=> a + aq + aq² = 7
<=> a + 11a + 121a = 7
<=> 133a = 7
<=> a = 7/133
b = 11a = 77/133
c = 121a = 847/133
d = 11c = 9317/133
e = 11d = 102487/133
vérifiaction :
c + d + e = (847 + 9317 + 102487)/133
c + d + e = 112651/133 = 847
donc :
S = {(7/133, 77/133, 847/133, 9317/133, 102487/133)}
Voilà bravo à tous pour vos réponses,
Il y avait donc deux solutions possibles.
Vous avez eu droit à un poisson si vous aviez oublié une solution ou pour ericbfd si votre démonstration contenait des incohérences...
A plus pour une prochaine énigme...
J'ai commis la même erreur que je corrige aux gens sur l' ! J'ai oublié une racine négative... En plus ça donne une très jolie suite alternée. Dommage de perdre un point sur une erreur aussi bête! Mais finalement je préfère encore ça qu'une faute de frappe au moment de recopier les solutions...
Isis
On peut malheureusement pas faire du 100% de bonnes réponses...Ou sinon on s'appelle machine()...C'est pas grave tu te rattraperas dans d'autres topics...
A plus
Même pas machine à mon avis. Ils sont plutôt rapides en calcul, mais l'intelligence leur manquera toujours!
Je suis déçu car j'ai proposé les 2 solutions correctes. Clemclem peux-tu préciser oú est l'incohérence ou bien tout est incohérent?
Oui ericbfd, tu as les bonnes solutions finales , mais il était demandé une rédaction claire et précise de la méthode suivie pour y arriver.
C'est là, je pense que le problème se trouve. Je pense que tu t'es probablement trompé en recopiant ton brouillon.
Tu écris
a = Un
b = k*Un = ka(pas de problème, k est clairement la raison de la suite)
c = ka² (Et là, on ne peut plus être d'accord)
Ce devrait être c = k².a
Pareil dans ce qui suit:
Tu écris : d = ka³ au lieu de d = k³a
...
Tu arrives à un système faux.
Et puis tu retombes sur tes pieds en tirant k = +/-11
avec k=11 et a = 1/19 par exemple, si tu remplaces k et a par leurs valeurs dans
a+ka+ka²=7 ou dans ka²+ka³+ka²=847, cela n'est pas correct.
Donc tu as les réponses finales correctes, mais le développement pour y arriver (et qui était demandé) est faux.
OK maintenant je vois. Quelle erreur stupide! Je me suis effectivement trompé en recopiant mon brouillon.
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