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Enigme de clemclem 10**

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
15-12-04 à 12:15

Bonjour à tous,

Voici l'énigme du mercredi de votre cher clemclem...(:D) :

Soit a , b , c , d , e 5 termes consécutifs appartenant à une suite géométrique tels que :
a + b + c = 7
c + d + e = 847

(a , b , c , d , e sont des nombres réels)

Déterminer les valeurs que peuvent prendre a , b , c , d , e avec une rédaction claire et précise

Les points de cette énigme ne seront attribués que si les réponses et la démonstration sont exactes.


Bonne chance à vous tous.

Clotûre Samedi midi.

Posté par Korpakyman9 (invité)re : Enigme de clemclem 10** 15-12-04 à 14:34

gagnéBonjour clem clem et merci pour cette enigme
Soit u(n) la suite géométrique a laquelle appartiennent a, b, c, d, e. On a :
u(n+1) = q*un avec q raison appartenant a .
L'énoncé nous dit que a b c d e sont des termes consécutifs de cette suite d'où
b = aq
c = aq²
d = aq3
e = aq4
De plus :
a+b+c = 7 et c+d+e = 847
En remplaçant les termes en foction de a et de q on a alors :
a+aq+aq² = 7
aq²+aq3+aq4 = 847
Je me propose de résoudre le système ci dessus :
a = 7/(1+q+q²) donc en remplçant dans la deuxième égalité du système :
[7*(q²+q3+q4)]/(1+q+q²) = 847
[7*q²*(1+q+q²)]/(1+q+q²) = 847 d'où :
7*q² = 847
q² = 121
q = 11 ou q = -11

CAS OU Q = 11 :
On a vu que a = 7/(1+q+q²)
a = 7/(1+11+121)
a = 7/133 = 1/19
b = aq b = 11/19
c = bq c = 121/19
d = cq d = 1331/19
e = dq e = 14641/19

CAS OU Q = -11
a = 7/(1+q+q²) a = 7/111
b = aq b = -77/111
c = bq c = 847/111
d = cq d = -9317/111
e = dq e = 102487/111

Voila il y a deux solutions à ton énigme qui sont :
a = 1/19
b = 11/19
c = 121/19
d = 1331/19
e = 14641/19

et

a = 7/111
b = -77/111
c = 847/111
d = -9317/111
e = 102487/111

Posté par mikemikemike (invité)re : Enigme de clemclem 10** 15-12-04 à 15:00

gagnésoit q la raison de la suite géométrique et a le premier terme
a
b=aq
c=q2a
d=q3a
e=q4a
a+b+c=7 \Longleftrightarrow a+qa+q2a=7 \Longleftrightarrow a(1+q+q2) = 7 (1)
c+d+e=847 \Longleftrightarrow q2a+q3a+q4a = 847 \Longleftrightarrow aq2(1+q+q2) = 847(2)
\frac{(2)}{(1)} \Longrightarrowq2 = \frac{847}{7} = 121 \Longleftrightarrow q = 11 ou q = -11
q = 11 \Longrightarrow a=\frac{7}{133} b=\frac{77}{133} c=\frac{847}{133} d=\frac{9317}{133} e=\frac{102487}{133}
q=-11 \Longrightarrow a=\frac{7}{111} b=\frac{-77}{111} c=\frac{847}{111} d=\frac{-9317}{111} e=\frac{102487}{111}

Posté par
Ksilver
re : Enigme de clemclem 10** 15-12-04 à 18:00

gagnéalors on apelle K la raison de cette suit gemometrique.

par definition B=AK
C=AK²
D=AK^3
E=AK^4

donc comme A+B+C=7, A+AK+AK²=7
et comme C+D+E=847, Ak²+Ak^3+AK^4 = 847
et donc K²(A+AK+AK²)=847
K²=847/7=121

2 cas possilbe, K=11 ou K=-11

cas k=11
A+AK+AK²=7
donc A+11A+121A=7, 133A=7
donc :

a=7/133
b=77/133
C=847/133
D=9317/133
e=102487/133


(on obtien B,c,d,e en multipliant par K a chaque fois, cad 11)

cas K=-11
A+AK+AK²=7
donc : A-11A+121A=7
111A=7
et donc :

A= 7/111
B= -77/111
c =+847/111
D= -9317/111
E= 102487/111


on a donc 2 sollution possible, soit a vaut 7/111 et la raison de la suite est -11, sois a vaut 7/133 et la raison de la suite est 11 (les valeur de a,b,c,d,e sont detailler plus haut)

Posté par gilbert (invité)re : Enigme de clemclem 10** 15-12-04 à 18:43

gagnéLa somme des n termes d'une progression géométrique de premier terme a et de raison q est égale :
S= a (1-q3)/1-q
Si je traduit a + b + c = 7, j'obtiens : a (1-q3)/1-q = 7  (1)
Si je traduit c + d + e = 847, j'obtiens c (1-q3)/1-q = 847. (2)
Or c= (a*q)*q= a q2.
Si je fais le rapport (2)/(1), j'obtiens q2=121, ce qui donne q= + et - 11
1) si q= +11
En remplçant dans (1), j'obtiens a(1330)/10 = 7, soit a=1/19
Dans ce cas, avec une raison de +11,
a=1/19, b=11/19, c= 121/19, d=1331/19 et e= 14641/19
2)si q= -11
En remplçant dans (1), j'obtiens a(1332)/12 = 7, soit a=7/111
Dans ce cas, avec une raison de -11,
a=7/111, b=-77/111, c= 847/111, d=-9317/111 et e= 102487/111


Posté par daniel12345 (invité)Enigme de clemclem 10 15-12-04 à 19:11


on pose (1)  u(1+q+q2)=7
           (2)   u(q2 +q3+q4)=847
               d'ou uq2(1+q+q2)=847
le rapport (2)/(1) donne q2=121=112 d'ou q= 11 ou -11

    visiblement q doit etre egal a -11
  ce qui donne avec (1)  u(1-11+121)=7  d'ou u=7/111

on obtient a=7/111 b=-77/111 c=847/111

               d= -9317/111  e=102487/111








Posté par
franz
re : Enigme de clemclem 10** 15-12-04 à 19:29

gagnéa,b,c,d et e étant des termes consécutifs d'une suite géométrique on peut écrire :
\array{ccl$b & = & a r\\c & = & a r^2 \\ d & = & a r^3 \\ e & = & a r^4}
r est la raison de la suite géométrique.

Donc
7 = a+b+c = a(1+r+r^2)                                        (1)
847 =c+d+e = a(r^2+r^3+r^4) = ar^2(1+r+r^2)               (2)

En effectuant le quotient de (2) par (1) on obtient
\frac {c+d+e}{a+b+c}=r^2=\frac {847}{7} = 121 = 11^2

r \in \{-11 , 11}

1° cas r=11                                                       2° cas r=-11


                        d'après (1)        
a=\frac 7 {1+r+r^2} = \frac 7 {133} = \frac 1 {19}                                              a=\frac 7 {1+r+r^2} = \frac 7 {111}

Il existe deux solutions

 \large \left| {\array{ccc$ \large a & = & \frac 1 {19} \\ \vspace{5}\\ b & = & \frac {11} {19} \\ \vspace{5} \\ c & = & \frac {121} {19} \\ \vspace{5} \\ d & = & \frac {1331} {19} \\ \vspace{5} \\ e & = & \frac {14641} {19}} }                                                   \| \large\array{ccc$ a & = & \frac 7 {111} \\ \vspace{5} \\ b & = & -\frac {77} {111}\\ \vspace{5} \\ c & = & \frac {847} {111} \\ \vspace{5} \\ d & = & -\frac {9317} {111} \\ \vspace{5} \\ e & = & \frac {102487} {111}}

Posté par pietro (invité)Enigme de clemclem 10 15-12-04 à 20:01

Soit r la raison de la suite :
a+a.r+a.r²=7
et    a.r²+a.r3+a.r4=847
donc a(1+r+r²)=7
et a.r²(1+r+r²)=847
en divisant mb à mb, on a r²=847/7=121
1)r=11 a=1/19, b=11/19, c=121/19, d=1331/19, e=14641/19
2)r=-11 a=7/111, b=-77/111, c=847/111, d=-9317/111, e=102487/111


Posté par
Nofutur2
re : Enigme de clemclem 10** 15-12-04 à 20:50

gagnéJe considére q la raison de la progression.
a+b+c =7 a (1-q3)/(1-q) =7
c+d+e = 847 aq2 (1-q3)/(1-q) =847
Si je divise membre à membre, cela donne q2=121.

A. Première solution : q= +11
donc a(1-113)/1-11 =7, ce qui donne, a = 1/19.
En partant de a et en multipliant par la raison +11 :
a= 1/19
b= 11/19
c= 121/19
d= 1331/19
e= 14641/19

B. Deuxième solution : q= -11
donc a[1 - (-11)3]/[1- (-11)] =7, ce qui donne a= 7/111
En partant de a et en multipliant par la raison - 11 :
a= 7/111
b= -77/111
c= 847/111
d= -9317/111
e= 102487/111

En résumé il existe deux quintés(a,b,c,d,e) "solutions", correspondant à une raison de +11 et de -11.

Posté par jetset (invité)re : Enigme de clemclem 10** 15-12-04 à 21:06

gagnéBon, je sens que je vais encore me planter en recopiant mais je reessaie:
a,b,c,d,e sont 5 termes consécutifs d'unse suite géométrique. Donc, si je note q, la raison de la suite et u(0), le terme initial, alors:
a=u(0).qn
b=u(0).qn+1
c=u(0).qn+2
d=u(0).qn+3
e=u(0).qn+4

Donc je peux réécrire les deux équations de la façon suivante:
u(0).qn + u(0).qn+1 + u(0).qn+2 = 7
u(0).qn+2 + u(0).qn+3 + u(0).qn+4 = 847

D'où:
(1) u(0).qn (1+ q + q²) = 7
(2) u(0).q².qn (1+ q + q²) = 847

On fait le quotient (2) / (1) et il vient:

q²= 847/7 <=> q = 11 ou q =-11

1er cas q=11:
En réinjectant cette valeur dans (1), on a:
u(0).11n (1+ 11 + 11²) = 7
<=> u(0).11n.133 = 7
<=> u(0) = 7/(133.11n) = 1/(19.11n)

En réinjectant dans les égalités de a,b,c,d,e
a=(1/(19.11n)).11n = 1/19
b=(1/(19.11n)).11n+1 = 11/19
c=(1/(19.11n)).11n+2 = 121/19
d=(1/(19.11n)).11n+3 = 1331/19
e=(1/(19.11n)).11n+4 = 14641/19

D'où a=1/19, b=11/19, c=121/19 d=1331/19 e=14641/19



2eme cas q=-11:
En réinjectant cette valeur dans (1), on a:
u(0).(-11)n (1- 11 + (-11)²) = 7
<=> u(0).(-11)n.111 = 7
<=> u(0) = 7/(111.(-11)n)

En réinjectant dans les égalités de a,b,c,d,e
a=(7/(111.(-11)n)).(-11)n = 7/111
b=(7/(111.(-11)n)).(-11)n+1 = -77/111
c=(7/(111.(-11)n)).(-11)n+2 = 847/111
d=(7/(111.(-11)n)).(-11)n+3 = -9317/111
e=(7/(111.(-11)n)).(-11)n+4 = 102487/111

D'où a=7/111, b=-77/111, c=847/111, d=-9317/111, e=102487/111


Conclusion:
2 solutions:
a=1/19, b=11/19, c=121/19 d=1331/19 e=14641/19
ou
a=7/111, b=-77/111, c=847/111, d=-9317/111, e=102487/111

Ca me semble un peu usinagazesque mais c'est ma réponse (gasp!)

Posté par ametist (invité)comme çà j ai revu ce que c était qu une suite geo 15-12-04 à 21:20

gagnéUn+1=q.Un
b=q*a et c=q^2*a et d=q^3*a
donc a(1+q+q^2)=7 et a*q^2*(1+q+q^2)=847
On en déduit q^2=847/7=121
donc q=11 ou q=-11
a=7/133 cas q=11
b=77/133=11/19
c=847/133 = 121/19
d=9317/133 = 1331/19
e=102487/133 = 14641/19

ou a=7/111 cas q=-11
b=-77/111
c=+847/111
d=-9317/111
e=+102487/111

donc 2 solutions !

Posté par
Ptit_belge
Enigme de clemclem 10 15-12-04 à 23:07

perduBonsoir,

Voici ma solution: les nombres sont a=1/19, b=11/19, c=121/19, d=1331/19 et e=14641/19

Explication:

Soient q la raison de la progression et x la valeur de c. Donc b=x/q et a=x/q2
D'autre part, d=qx et e=q2x.

Dès lors, les conditions a+b+c=7 et c+d+e=847 s'écrivent (après réarrangement):

x(q2+q+1)=7q2 (1)
x(q2+q+1)=847 (2)

En divisant (2) par (1), on trouve q=11.
Ensuite, on remplace q dans (2) et on obtient x=121/19.
On en déduit la valeur de chacun des nombres a, b, c, d et e.

Posté par ericbfd (invité)re : Enigme de clemclem 10** 16-12-04 à 00:57

perdua , b , c , d , e étant 5 termes consécutifs appartenant à une suite géométrique, on a alors :

a = u_n
b = u_{n+1} = k*u_n = ka
c = u__{n+2} = ka^2
d = u__{n+3} = ka^3
e = u__{n+4} = ka^4

Les 2 équations deviennent alors :
a + ka + ka^2 = 7
ka^2 + ka^3 + ka^4 = 847

On multiplie la premiere par -k2 et on additionne les 2 equations, ce qui donne :

7k^2 = 847 \Longrightarrow k = \pm 11

1er cas :
Si k = 11
alors, en utilisant la 1ere équation, on a a = \frac{7}{1+11+121} = \frac{1}{19}
D'oú b = \frac{11}{19};c = \frac{121}{19};d = \frac{1331}{19} et e = \frac{14641}{19}

2eme cas :
Si k = -11
alors, en utilisant la 1ere équation, on a a = \frac{7}{1-11+121} = \frac{7}{111}
D'oú b = \frac{-77}{111};c = \frac{847}{111};d = \frac{-9317}{111} et e = \frac{102487}{111}

Ces 2 suites sont donc solutions de l'énigme.




Posté par Fabien (invité)re : Enigme de clemclem 10** 16-12-04 à 00:58

J'en ai ch*** pour ma première énigme, mais quand j'y repense, elle est facile

Termes consécutifs d'une Suite géométrique donc:
a = u0
b = u0r
c = u0r2
d = u0r3
e = u0r4

a + b + c = 7
et
c + d + e = 847

Donc en remplacant:
u0 + u0r + u0r2 = 7
et
u0r2 + u0r3 + u0r4 = 847

On factorise:
(1) u0(1 + r + r2) = 7
et
(2) u0r2(1 + r + r2) = 847

(2)/(1): r2 = 847/7 = 121

Ca tombe bien !! r = 11

On remplace dans (1) et (2):

et on trouve:

a = 1/19
b = 11/19
c = 121/19
d = 1331/19
e = 14641/19

Voila, sympa des problèmes comme ca

Posté par
isisstruiss
re : Enigme de clemclem 10** 16-12-04 à 09:20

perduJe suppose que les termes a, b, c, d et e sont triés par rapport à la suite géométrique dont ils sont issus.

Soir r la raison de la suite. On peut écrire b=ar c=br=ar² d=cr=ar³ e=dr4. Les équations deviennent
a+ar+ar²=7 => a(1+r+r²)=7
ar²+ar³+ar4=847 => ar²(1+r+r²)=847
Comme a est clairement différent de zéro et que 1+r+r² n'admet pas de zéro réel, on peut diviser la deuxième équation par la première. On obtient r²=847/7 => r=11 Donc a=7/(1+r+r²)=7/133=1/19.

J'obtiens donc le résultat suivant:
a=\frac{1}{19} \quad b=\frac{11}{19} \quad c=\frac{11^2}{19} \quad d=\frac{11^3}{19} \quad e=\frac{11^4}{19}

Posté par
noluck
re : Enigme de clemclem 10** 16-12-04 à 11:20

gagnésoit k la raison de cette suite geometrique. alors b=ak, c=ak2, d=ak3, e=ak4.
donc a+b+c=a(1+k+k2) et c+d+e=a(k2+k3+k4).
donc a=7/(1+k+k2) et 7k2=121.
donc k=11 ou k=-11.
on a donc: (k=11 et a=1/19) ou (k=-11 et a=7/111).
il n y a donc que deux soutions possibles :
a=1/19 et b=11/19 et c=121/19 et d=1331/19 et e=14641/19;
a=7/111 et b=-11/111 et c=121/11 et d=-1331/11 et e=14641/111.

Posté par CastorFantome (invité)re : Enigme de clemclem 10** 16-12-04 à 19:37

gagnéUne suite géometrique se définit ainsi :

Un+1=k*Un où k est ma raison de la suite.
a, b,c,d,e etant 5 termes consecutifs, on peut tous les exprimer en fonction de a :
b=k*a
c=k*b=k²*a
d=k*c=k3*a
e=k*d=k4*a

On a :
a+b+c=7
a+k*a+k²*a=7
a*(1+k+k²)=7
a=7/(1+k+k²)

De plus, on a :
c+d+e=847
a*k²+a*k3+a*k4=847
d'où : a=847/(k²+k3+k4)

De ces deux égalités on obtient :
a=7/(1+k+k²)=847/(k²+k3+k4)
en passant virant les fractions cela donne :

7*(k²+k3+k4)=847*(1+k+k²)

si on developpe cela donne :
847+847*k+840*k²-7*k3-7*k4

il reste plus qu'à factoriser (ceci est fait avec la calculatrice ) et on obtient :
-7*(k-11)(k+11)(k²+k+1)=0
k or k²+k+1 n'a pas de solution dans (car =-3)
Donc k ne peut prendre que deux valeurs :
+11 et -11

Premier cas : k=11
a=7/(1+11+11²)=1/19

donc
a=1/19
b=11/19
c=121/19
d=1331/19
e=14641/19

Deuxieme cas : k=-11
a=7/111
b=-77/111
c=847/111
d=-9317/111
e=102487/111

Voila je em suis sruement embrouillé avec toutes ces balises mais bon.... :s

Voila je pense que le raisonnement est bon...
Personne peut me dire comment faire pour poster des engimes .... :s

Posté par MPSI-1 (invité)re : Enigme de clemclem 10** 17-12-04 à 15:41

gagnéce sont 5 termes consecutifs d'une suite geometrique donc soit q la raison de cette suite géométrique
a+b+c=7 \Longleftrightarrow a+a \times q+a \times q^2=7
a+b+c=7 \Longleftrightarrow a= \frac{7}{1+q+q^2}

de plus:

c+d+e=847 \Longleftrightarrow c= \frac{847}{1+q+q^2}

ce qui nous donne a= \frac{7}{1+q+q^2} = \frac{847}{q^2+q^3+q^4}
d'où \frac{7}{847} = \frac{1+q+q^2}{q^2+q^3+q^4} = \frac{1}{q^2}

q^2= \frac{847}{7}

d'où q=11 ou q=-11

cas où q=11:
donc a+11a+121a=7 et a= \frac{1}{19}

a= \frac{1}{19};b= \frac{11}{19};c= \frac{121}{19};d= \frac{1331}{19};e= \frac{14641}{19}

cas où q=-11:
a-11a+121a=7
d'où a= \frac{7}{111}

a= \frac{7}{111};b= \frac{-77}{111};c= \frac{847}{111};d= \frac{-9317}{111};e= \frac{102487}{111}

Posté par
Lopez
re : Enigme de clemclem 10** 17-12-04 à 16:27

gagnéSalut,

a,b,c,d,e étant les termes consécutifs d'une suite géométrique de raison k, k , k différent de 0, on peut écrire :
b = a.k
c = b.k = a.k^2
d = c.k = a.k^3
e = d.k = a.k^4
En remplaçant b, c, d, et e dans les 2 égalités de l'énoncé on obtient :
a + a.k + a.k^2 = a.( 1 + k + k^2) = 7
a.k^2 + a.k^3 + a.k^4 = a.k^2( 1 + k + k^2) = 847
On en déduit que k^2 = \frac{847}{7} donc k = 11 ou k = -11

Si k = 11 alors
a = 7/133; b = 77/133; c = 847/133; d = 9317/133; e = 102487/133

Si k = -11
a = 7/111; b = -77/111; c = 847/111; d= -9317/111; e = 102487/111

Posté par animithra (invité)re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 10:41

perdusoit une suite géométrique Un telle que Un = Uo*q^(n)

a + b + c = 7
c + d + e = 847

a,b,c,d,e sont consécutifs, donc on a :

b = aq
c = aq²
d = aq^(3)
e = aq^(4)

soit :

a + aq + aq² = 7
aq² + aq^(3) + aq^(4) = 847

847 = 7 * 121, d'où :

121(a + aq + aq²) = aq² + aq^(3) + aq^(4)

<=> 121(a + aq + aq²) = q²(a + aq + aq²)
<=> 121 = q² <=> q = 11

revenons à a + b+ c = 7

<=> a + aq + aq² = 7
<=> a + 11a + 121a = 7
<=> 133a = 7
<=> a = 7/133

b = 11a = 77/133
c = 121a = 847/133
d = 11c = 9317/133
e = 11d = 102487/133

vérifiaction :

c + d + e = (847 + 9317 + 102487)/133
c + d + e = 112651/133 = 847

donc :

S = {(7/133, 77/133, 847/133, 9317/133, 102487/133)}

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 13:54

Voilà bravo à tous pour vos réponses,

Il y avait donc deux solutions possibles.

Vous avez eu droit à un poisson si vous aviez oublié une solution ou pour ericbfd si votre démonstration contenait des incohérences...

A plus pour une prochaine énigme...

Posté par
isisstruiss
re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 14:42

perdu J'ai commis la même erreur que je corrige aux gens sur l' ! J'ai oublié une racine négative... En plus ça donne une très jolie suite alternée. Dommage de perdre un point sur une erreur aussi bête! Mais finalement je préfère encore ça qu'une faute de frappe au moment de recopier les solutions...

Isis

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 14:51

On peut malheureusement pas faire du 100% de bonnes réponses...Ou sinon on s'appelle machine()...C'est pas grave tu te rattraperas dans d'autres topics...

A plus

Posté par
isisstruiss
re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 16:38

perduMême pas machine à mon avis. Ils sont plutôt rapides en calcul, mais l'intelligence leur manquera toujours!

Posté par ericbfd (invité)re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 18:14

perduJe suis déçu car j'ai proposé les 2 solutions correctes. Clemclem peux-tu préciser oú est l'incohérence ou bien tout est incohérent?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 18:33

Oui ericbfd, tu as les bonnes solutions finales , mais il était demandé une rédaction claire et précise de la méthode suivie pour y arriver.  

C'est là, je pense que le problème se trouve. Je pense que tu t'es probablement trompé en recopiant ton brouillon.

Tu écris
a = Un
b = k*Un = ka(pas de problème, k est clairement la raison de la suite)
c = ka² (Et là, on ne peut plus être d'accord)

Ce devrait être c = k².a

Pareil dans ce qui suit:
Tu écris : d = ka³ au lieu de d = k³a
...

Tu arrives à un système faux.
Et puis tu retombes sur tes pieds en tirant k = +/-11

avec k=11 et a = 1/19 par exemple, si tu remplaces k et a par leurs valeurs dans
a+ka+ka²=7 ou dans ka²+ka³+ka²=847, cela n'est pas correct.

Donc tu as les réponses finales correctes, mais le développement pour y arriver (et qui était demandé) est faux.  



Posté par ericbfd (invité)re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 18:40

perduOK maintenant je vois. Quelle erreur stupide! Je me suis effectivement trompé en recopiant mon brouillon.

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : Enigme de clemclem 10** 18-12-04 à 19:03

Voilà J-P m'a pris de vitesse mais c'est exactement cela que je voulais dire ericbfd...

A plus

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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