Bonjour à tous,
C'est le retour de clemclem .J'ai dû m'absenter pour la BAC blanc.Voici le retour de mes énigmes.
Voici l'énigme :
Soit (C) un cercle de centre O et de rayon .A et C sont deux points du cercle.B est un point tel que ABC soit rectangle en B et que AB = 6 et BC=2.B est situé à l'intérieur du cercle.
Déterminer la valeur exacte de OB.
Vous expliquerez rapidement votre calcul.
Bonne chance à tous
Clotûre Vendredi soir
A plus
On a
AB=6 et BC=2
ABC rectangle en B donc AC²=AB²+BC²=6²+2²=40
Donc AC=40
Dans le triangle ACO isocèle en O car AO=CO=50
Soit H le pied de la hauteur issue de O
Dans un triangle isocèle la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane
Donc
Dans le triangle HCO rectangle en O
on a
donc
Dans le triangle OCB
D'après le théorème de Al Kashi, on a
et donc :
Donc
Matthieu
Mon idée est d'utiliser Pythagore sur le triangle OBB' conformément à ma figure, H étant le milieu de AC et BB' perpendiculaire à OH.
Pour celà je calcule les longueurs h et x par les propriétés des triangles rectangles appliqués à ABC. Je trouve
Ensuite je cherche OH par le triangle rectangle OHA.
Il ne me manque plus que les longueurs BB' et OB':
On peut enfin appliquer Pythagore sur le triangle OBB':
Isis
Je pense avoir été clair dans mes informations mais je tiens quand même a envoyer une figure pour que ca soit encore plus claire
Si ça peu aider
Matthieu
Selon le théorème de pythagore :
AC²=AB²+BC²=36+4=40
AC=racine de 40 (je sais pas comment afficher les racines carrés)
Bon ce calcul sert à rien, je vais expliquer à ma manière :
Soit un triangle isocèle AOC, AO=racine de 50, OC=racine de 50, AC=racine de 40.
Bon je sais pas expliquer en fait mais la réponse est :
racine carré de 50-2=5.071067812env.
Ce n'est surement pas la réponse et je me rend compte qu'il faut que je revoi mes cours de géométrie...
j'ai calculé AC =
j'ai calculé dans le triangle ACB rectangle en B
j'ai utilisé les formules de Al kashi pour calculer
et j'ai trouvé =45°
j'ai utilsé de nouveau Al kashi avec le triangle ABO pour trouver BO :
BO2 = AB2+AO2-2ABAOcos(A3)
BO2 = 36 + 50 - 2(6)()()
BO2 = 86 - 60 = 26
BO =
si AB est le périmetre et que C est un point du cercle alors ABC est rectangle en B et OB est égale a 50
i) Pythagore dans ABC, d'où AC==
ii) IA=IB=IC=ID=
rayon du cercle de diamètre [AC] dans lequel est inscrit le triangle ABC rectangle en B.
iii) Utilisation de la formule d'Al-Kashi dans BIC:
D'où
iv) Encore Al-Kashi mais dans ABO cette fois:
D'où
Or ====
Et finalement, =
Conclusion: OB =
NB: Bon, ce n'est pas vraiment élégant et il y a quantité d'autres manières,
par exemple on pouvait passer par ° (avec étapes intermédiaires donnant des valeurs approchées =beurk= ou beaucoup de trigonométrie)
ou encore utiliser des arctan (mais je n'en suis pas fan...)
m'enfin...
1) par Pythagore : AC = 2.
2) Dans le triangle OAC, soit = . Par Pythagore généralisé, on a cos = . On tire sin = 2..
3) Dans le triangle rectangle ABC, soit = . On calcule cos = 3., d'où on tire sin = .
4) Dans le triangle OAB, = -.
Par Pythagore généralisé et la formule de trigo connue de Kid Paddle : cos(-) = cos.cos + sin.sin
......
Si je me place dans le repère orthonormé de centre B et d'axes dirigés vers C et A.
Dans ce repère, on a C(2,0), A(0,6) et O(X,Y)
J'écris que OC2 = OA2
(X -2)2 + Y2 = X 2+ (Y-6)2
Ce qui donne X=3*Y -8
J'écris que OC2 = 50
J'obtiens une équation du second degré de solutions :
Y = 1, donc X= -5, et
Y=5, donc X=7.
Ce second couple de solution ne convient pas car, compte tenu des valeurs, on constate que les points A, B et C sont dans le même quart de cercle donc X doit être négatif.
On a donc OB2 = 12 + (-5)2 = 26
OB =26
On calcule facilement que AC = 40 et que la hauteur issue de O du triangle OAC est égale à40.
On a :
cos (BAC) = (36/40)
sin (BAC) = (4/40)
et
cos (OAC) = ( 40)/(2 *50) =(1/5)
sin (OAC) = ( 40)/( 50) = (4/5)
On a donc en utilisant la formule de soustraction des cosinus cos (OAB) = (36/40)*(1/5) +(4/40)*(4/5) = (2)/2
En utilisant la formule des côtés dans le triangle AOB, on obtient :
OB2 = 50 + 36 - 2*6*50*(2)/2 = 86 - (6*5*2) = 26
OB = 26
Dans un repère (B, vect BC/2, vect BA/6), les coordonnées de A et B sont C(2,0), A(0,6).
Je pose O(x,y) ;
Comme OA = OC,
On a donc :
(x -2) 2+ y2 = x 2+ (y-6)2
Ce qui donne x=3*y -8
J'écris que OC2 = 50 et j'obtiens :
y 2- 6*y + 5 = 0
j'en déduis les couples solutions (x,y) = (-5,1) et (7,5).
La solution (7,5) ne convient pas car elle donnerait un point B extérieur au cercle (OB2> 50).
La seule solution est donc (-5,1).
On a donc OB2 = 12 + (-5)2 = 26
OB = 26
La valeur exacte de OB est de .
Ayant trouvé la longueur de AC à l'aide de Pythagore, j'ai tout d'abord trouvé la valeur de l'angle OAC, en utilisant le triangle isocèle OAC. L'angle vaut cos-1.
Ensuite, j'ai calculé la valeur de l'angle BAC à l'aide de la loi des sinus. Sa valeur est de sin-1. En soustrayant les deux valeurs trouvées, on obtient 45°, qui est la mesure de l'angle OAB.
Finalement, à l'aide de la loi des cosinus, on trouve la longueur de OB, qui est de .
bonsoir,
la valeur de OB est
pour le trouver il suffit de prouver que l'angle BAO est = à 45°
on a : AB = 6 ; BC = 2 donc AC =
appelons D le prolongement de AO sur le cercle C .
AD = 2
sin(CAD) = 1/
cos(cad) = 2/
sin(CAB) = 3/
cos(CAB) = 1/
sin(BAD) = sin(CAD-CAB) et apres developpement et remplacement par les valeurs je vous jure que l'on trouve /2
donc BAD = /4
maintenant on va calculer OB a partir du triangle OAB
on trouve
OB = 5,099
Bonjour a tous,
donc selon la formule de Al Kaschi : OB² = 0C² + BC² - 2 * OB * OC *cos ( OCB )
De plus on a et puisque d'apres le theoreme de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle A, on a :
Le triangle OAC est isocele en O donc en notant OH la hauteur issue de O on a : AH = HC =
d'où dans le triangle OHC, et . En effet les angles ACO et ACH sont egaux puisque H appartient au segment [AC].
Or sin ( OCB ) = sin ( ACB - ACO ) = ( d'apres : sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b) )
D'où cos ( OCB ) =
On peut alors appliquer la formule de Al Kaschi : = 26
Par consequent, OB =
REMARQUE : Reponse sans unité, ce qui est une tres mauvaise habitude mais bon aucune unité dans l'enoncé donc comment faire..... Pensez aux unités, beaucoup de professeurs comptent les resultats faux si ceux ci ne sont pas donnés avec des unités. Donc prenons de bonnes habitudes en nous amusant.. Donc j'espere que ce petit message rendra les posteurs d'enigmes plus rigoureux avec les unites de leurs enonces.. merci a vous..
Bonnes mathématiques...
Miaouw
ABC est rectangle en B donc
En prenant un repère orthonormé tel que
vérifie
Sans restreindre la réalité on peut prendre
vérifie
Par le même type de calcul, on arrive à
Comme B est dans le cercle, et donc
Je calcule AC avec Pythagore AC2 = BC2 + BA2 donc AC = racine de 40 = 2rac10
Je cherche l'angle OCA : cosOCA = rac10/rac50 et je fait acos du résultat.
Je cherche l'angle BCA : sinBCA = BA/2rac10 et je fais asin du résultat.
Je cherche l'angle BCO = BCA - OCA
Puis, dans le triangle BOC, OB carré = BC carré + OC carré - 2*BC*OC*cosBCO
je remplace par mes résultats et je trouve OB carré = 26, donc OB = rac26
donc approximativement OB = 5,1
Dis-donc, cette énigme ressemble drôlement à un problème de géométrie... qui m'a obligée à revoir le programme de première que j'ai suivi il y a plus de 30 ans... dur !!!
Bonjour,
Merci pour ce problème intéressant!
Voici ma réponse: OB=26
Explication (je crains qu'une figure ne passe pas, je mets du texte):
On trace les triangles AOC et ABC.
On définit les angles suivants:
= angle AOC
= angle CAO= angle ACO (le triangle AOC est isocèle)
= angle CAB
= angle BAO= - (1)
La longueur cherchée peut être calculée en employant la formule de Pythagore généralisée:
OB2=AB2+OA2-2 OA OB cos
Il faut donc connaître cos! Voici comment le déterminer
Le côté AC, qui mesure 210, est une corde de la circonférence de centre O.
On en déduit que sin(/2)=1/5
Puisque le triangle AOC est isocèle, on a +2=180°.
Donc =90°-/2, cos=sin(/2) et sin=cos(/2)=2/5
Vu (1), on peut écrire cos= coscos + sinsin
Or, tg=1/3 => cos=3/10 et sin=1/10
En remplaçant, on trouve cos=1/2 (donc vaut 45°, ce qui est remarquable mais sans intérêt ici )
Finalement, on trouve OB2=26, d'où OB=26
Bonjour
Ona :
cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)
AC=2*sqrt(10) par Pythagore.
On a : cos ACB = BC/AC=2/(2*sqrt(10))=1/sqrt(10)
(Car ABC triangle rectangle en B)
Par Al-Kashi =>
cos ACO = m/n avec m=[(2*sqrt(10))²+(sqrt(50))²-(sqrt(50))²]
et n= [2*(2*sqrt(10))*(sqrt(50))]
Donc cos ACO = 1/sqrt(5)
Donc cos(arccos(1/sqrt(10))-arccos(1/sqrt(5))) = ((sqrt(50))²+2²-OB²)/(2*sqrt(50)*2)
Or cos(arccos(1/sqrt(10)))=1/sqrt(10)
cos(arccos(1/sqrt(5)))=1/sqrt(5)
sin(arccos(1/sqrt(10)))=3/sqrt(10)
et sin(arccos(1/sqrt(5))=2/sqrt(5)
Donc cos(arccos(1/sqrt(10))-arccos(1/sqrt(5))) = (1/sqrt(10) )*(1/sqrt(5))+(3/sqrt(10))*(2/sqrt(5)) = 7/sqrt(50)
Donc OB=sqrt(54-4*sqrt(50)*(7/sqrt(50)))=sqrt(26)
Finalement OB=sqrt(26)
Ah j'ai oublié une chose : sqrt(x)= racine de x
Cordialement Yalcin
Ma réponse est:
Quelques explications en se passant des calculs intermédiaires:
Définissons un repère orthonormé centré en O.
Le choix de l'emplacement du point A importe pas, donc prenons le cas particulier où .
C se trouve à l'intersection du cercle centré en O de rayon r et du cercle centré en A de rayon
On peut maintenant calculer les coordonnées du point B. B se situe à l'intersection du cercle centré en A de rayon et du cercle centré en C de rayon .
Comme le triangle ABC a une symétrie centrale de centre O, on peut considérer le cas spécial où et donc
Etape n°1
calculons AC
D'après pythagore AC = racine(40)
Etape n°2
Calculons le cosinus de l'angle CAO
D'après le théorème d'al kashi
cos CAO = 1/racine(5)
Etape n°3
Calculons le cosinus de l'angle CAB
cos CAB = 6/racine(40)
Etape n°4
Calculons la mesure de l'angle BAO
BAO = acos(1/racine(5)) - acos(6/racine(40))
Quand on calcule
cos BAO = cos(acos(1/racine(5)) - acos(6/racine(40)))
cos BAO = cos(acos(1/racine(5)))*cos(acos(6/racine(40))) + sin(acos(1/racine(5)))*sin(acos(6/racine(40)))
On sait que sin(acos(x))= racine(1-x²)
donc on obtient par simplification
cos BAO = racine(2) / 2
soit BAO = 45°(valeur exacte)
Etape n°5
Calculons la valeur exacte de OB
Considérons le triangle OAC
D'après le théorème d'al kashi
OB² = OA² + AB² - 2*OA * AB* cos OAB
OB² = 50 + 36 - 2 * racine(50) * 6 * racine(2)/2
OB² = 26
Soit
OB = racine(26)
Salut,
voici ma réponse: OB= ,
et mes explications sans finesse:
J'appelle H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle AOC,
H' le pied de la hauteur issue de B dans le triangle ABC, et K l'intersection de (OH) avec sa perpendiculaire qui passe par B.
Pour calculer OB, je souhaite appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OBK rectangle en K. Pour cela je dois calculer OK et BK.
Calculs préliminaires:
AC=2 (Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B);
CH=AC/2= (AOC triangle isocèle);
OH=2 (Pythagore dans le triangle OCH rectangle en H);
BH'=6/ (en calculant l'aire du triangle ABC de deux façons).
CH'= / (Pythagore dans le triangle BCH' rectangle en H');
Calcul de OK: OK=OH-HK=OH-BH' (BKHH' est un rectangle)
OK=14/
Calcul de BK: BK=HH'=CH-CH'=4 /
Enfin, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle OBK rectangle en K: OB2=OK2+BK2
OB2=16*2/5 + 14 2/10=26.
salut
Apres a voir construit une figure approximative a main levée je suis abouti au résultat suivant.
Sur mon dessin, O,B,C sont alignés on peut donc en conclure que OB= OC-BC
OB = V50 -2 (V correspond a racine carré)
Donc voila voici mon raisonnement:
C appartenant au cercle est B toujours a 2 cm du cercle, je peux donc dire qu'en ayant deux cercles pour trouver OB il suffit de faire grand cercle - petit cercle:
ce qui me donne: =
Ma réponse est donc:
Petite figure explicative:
voici ma réponse (surement fausse)
C appartient au cercle et B se trouve dans le cercle et en plus BC=2
De plus OC est un rayon donc OC= racine de 50 donc OB= racine de 50-2
Moi je me dit qu'a 0.02 je ne suis pas si loin sinon je trouve que de belles explication ont été donné comme franz, PolytechMars ou encore manpower et j'en passe... Bref que les meilleurs! je ne t'ai pas oublié isisstruiss tu mérites de gagné ce mois-ci
Autre question j'ai remarqué que clemclem avait une forte participation sur ce forum et je remarque qu'elle n'est ni modératrice, ni correctrice ou autre!
Comment cela se fait-il sachant qu'elle a plus de 1900 mesages presque 2000 et elle propose des enigmes??
Merci bien
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