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Enigme de clemclem***

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes 24-10-05 à 18:50

Bonjour à tous,

Voici l'énigme :

Soit Q un polynôme dont les coefficients appartiennent à tels que : Q(0) = 0 et Q(1) = 2.

Parmi les termes Q(4), Q(5), Q(6),...,Q(15) quels sont ceux qui peuvent être des carrés parfaits?

Bonne chance à tous

A plus

Posté par wxc (invité)re : Enigme de clemclem*** 24-10-05 à 18:56

4 c tt

Posté par
Nofutur2re : Enigme de clemclem*** 24-10-05 à 23:01

gagnéComme Q(0)=0, on peut dire que Q(x) est multiple de x.
On sait de plus que,  S(x) = Q(x)-Q(a), s'annule pour x=a donc S(x) = Q(x)-Q(a) est un multiple de (x-a).

J'ai regardé terme après terme si Q(x) pouvait être un carré .

1. Q(4)
Q(4) est divisible par 4. Si Q(4) était un carré, Q(4) serait égal à a2.
Or, Q(4) - Q(1) = Q(4)-2 est divisible par 3.
Q(4) = 3*k+2
On trouve qu'un carré est équivalent à 0 ou 1 modulo 3, donc Q(4) ne peut pas être un carré parfait.

2. Q(5)
Q(5) est divisible par 5. Si Q(5) était un carré, Q(5) serait égal à 25*a2.
Dans ce cas, Q(5) - Q(1) = Q(5)-2= 25*a2-2 serait divisible par 4.
Comme 25 a2 est pair, on en déduit que a est pair, donc on aurait Q(5) - Q(1) = 100*a'2-2= 4*k.
Un multiple de 100 est divisible par 4, mais pas un multiple de 100 moins 2. Donc Q(5) ne peut pas être un carré parfait.

3. Q(6)
Q(6) est divisible par 6. Si Q(6) était un carré, Q(6) serait égal à a2.
Or, Q(6) - Q(1) = Q(6)-2 est divisible par 5.
Q(6) = 5*k+2.
On trouve qu'un carré est équivalent à 0,1 ou 4 modulo 5, donc Q(6) ne peut pas être un carré parfait.

4. Q(7)
Q(7) est divisible par 7. Si Q(7) était un carré, Q(7) serait égal à a2.
Or, Q(7) - Q(1) = Q(7)-2 est divisible par 6.
Q(7) = 6*k+2
On trouve qu'un carré est équivalent à 0,1,3 ou 4 modulo 6, donc Q(7) ne peut pas être un carré parfait.

5. Q(8)
Q(8) est divisible par 8. Si Q(8) était un carré, Q(8) serait égal à a2.
Or, Q(8) - Q(1) = Q(8)-2 est divisible par 7.
Q(8) = 7*k+2
On trouve qu'un carré est équivalent à 0,1,2 ou 4 modulo 7, donc Q(8)  peut être un carré parfait.
Par exemple pour Q(x) = 2*x3, on a Q(8)= 2*(8)3 = 322 = 1024 = (7*146)+2,

On continue de la même manière et on conclut que Q(9), Q(10), Q(11), Q(12), Q(13), et Q(14) ne peuvent pas être des carrés parfaits.

Pour Q(15).
Q(15) est divisible par 15. Si Q(15) était un carré, Q(15) serait égal à a2.
Or, Q(15) - Q(1) = Q(15)-2 est divisible par 14.
Q(15) = 14*k+2
On trouve qu'un carré est équivalent à 0,1,2,4,7,8,9 ou 11 modulo 14, donc Q(15)  peut être un carré parfait.
Par exemple pour Q(x) = x3+x2, on a Q(15)= 153+152 = 3375+225=3600 =602= (14*257)+2.

Dans la liste proposée, les deux seuls cas où Q(x) peut être un carré parfait sont Q(8) et Q(15).

Posté par
borneore : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 02:32

gagnéQ(8) et Q(15) mais je ne l'ai pas trouvé toute seule...

Sérieusement, je préfère une énigme comme la chèvre où je passe mon après-midi à tracer des cercles et à calculer des sinus et des cosinus qu'une énigme dont je trouve la solution "toute cuite". Bref, plutôt excel que google

ps Manquerait plus que ce soit faux !!!!

Posté par
piepalmre : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 08:08

gagnéPour tout k , n^k=1 (modulo n-1) donc Q(n)=Q(1)=2 (modulo n-1)
Q(n) ne pourra être un carré que si 2 est un résidu quadratique modulo n-1
Pour 3<n<16, ce n'est le cas que pour n-1=7 ou 14 donc n=8 ou 15
On vérifie que le polynôme Q(x)=x^3+x^2 répond bien aux conditions Q(0)=0 Q(1)=2 et Q(8)=576=24^2 , Q(15)=3600=60^2

Nota:
- la solution est la même si l'on ne suppose pas Q(0)=0...
- on a aussi Q(3)=36=6^2
-les résidus quadratiques sont modulo:
4: 0,1
5: 0,1,4
6: 0,1,3,4
7: 0,1,2,4
8: 0,1,4
9: 0,1,4,7
10: 0,1,4,5,6,9
11: 0,1,3,4,5,9
12: 0,1,4,9
13: 0,1,3,4,9,10,12
14: 0,1,2,7,8,9,11
15: 0,1,4,6,9,10

Posté par
Nofutur2re : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 14:53

gagnéVoici un petit tableur excel résumant le problème.
Il s'agit des restes possibles des premiers carrés par une division par 3,4,5,6,....17.
Q(a) ne peut être un carré que si le nombre 2 apparaît dans la colonne correspondante.
On voit qu'il apparaît pour :
- G(8) (division par 7)
- G(15) (division par 14)
- G(18) (division par 17).

..et ainsi de suite...


Enigme de clemclem

Posté par olive (invité)re : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 16:24

je tente le coup : le problème est indéterminé. il exsite des polynomes où il 'y a pas de carrés parfaits Ex: Q1(x) = x² +x.
Il existe des polynômes où l'on trouve des carrés parfaits :Q2(x) = 2x et Q3(x) =2x3  Q2(8) = 16 et Q3(8) = 2^10 = (2^5)^2. Il existe aussi des polyômes n'ayant pas de carrés parfaits pour x variant de 4 à 15 Q4(x) = 2x^4

Posté par
manpowerre : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 16:47

gagnéBonjour,

J'aurais volontiers mis une étoile de plus (et au vu du nombre actuel de réponses, je ne suis pas le seul!).

J'ai essayé pas mal de trucs et utilisé beaucoup de papier (pense aux arbres clemclem!) mais je n'ai pas réussi à éviter le cas par cas.

Une première piste m'a permis de trouver un polynôme de degré 1 et de montrer que pour un polynôme de degré 2, c'est impossible (quelquesoit la valeur entière de k, Q(k) ne peut pas être un carré parfait). Mais à partir du degré 3, les équations obtenues deviennent plus dures à gérer...
Je livre tout de même cette piste. Les hypothèses se traduisent par l'existence de 3 polynômes R,S,T de degré n-1 (où n est le degré de Q) tel que:
Q=xR
Q=(x-1)S+2
Q=(x-k)T+a^2 (où k=4,5,6,...,15 et a^2 le carré parfait).
Si quelqu(un a une idée pour poursuivre cette voie...

Sinon, reste donc le cas par cas, à la dure...

Généralités:
Je pose Q(x)=\bigsum_{i=0}^n a_ix^i
On cherche un polynôme Q (de degré n) tel que, pour k entier fixé dans [4,15], il existe un entier a vérifiant Q(k)=a^2
0$ (P_1) Q(0)=0 entraîne \green a_0=0
0$ (P_2) Q(1)=2 entraîne \green \bigsum_{i=1}^n a_ix^i=2
0$ (P_3) Q(k)=a^2 entraîne \green \bigsum_{i=1}^n a_ik^i=a^2

De 0$ (P_3), on tire que \green \rm a^2 est un multiple de k (lemme de divisibilité de Gauss)
(donc a^2 est de la forme k^2m^2, avec m entier)

D'autre part, Q(k)-Q(1)=\bigsum_{i=0}^n a_i(k^i-1)=n^2-2
(c'est là l'élément clé...)
Or, pour tout n, a^n-b^n est factorisable (ou divisible) par (a-b), a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}..+b^{n-1} (car a=b est une racine)
Avec, Q(k)-Q(1)=\bigsum_{i=0}^n a_i(k^i-1^i)=n^2-2, on en déduit que \green \rm Q(k) est divisible par k-1
En résumé, le problème posé admet une solution si 2$ \red \rm k^2m^2 \equiv 0 [k-1]

Cas Q(4):
D'après ce qui précède, a^2 est à la fois un carré et un multiple de 4 donc de la forme 4^2m^2 (m entier) ou plus simplement quitte à multiplier m par 2, a^2=4m^2
On sait également que a^2-2 est divisible par 3.
Ce qui nous conduit à \blue 4m^2 \equiv 2 [3]
-si m \equiv 0 [3], 4m^2 \equiv 0 [3]: impossible
-si m \equiv 1 [3], 4m^2 \equiv 1 [3]: impossible
-si m \equiv 2 [3], 4m^2 \equiv 1 [3]: impossible
Conclusion: Pas de solution pour la cas Q(4).

Cas Q(5):
De même, a^2 est à la fois un carré et un multiple de 5 donc de la forme 5^2m^2 (m entier)
On sait également que a^2-2 est divisible par 4.
Ce qui nous conduit à \blue 25m^2 \equiv 2 [4]
-si m \equiv 0 [4], 25m^2 \equiv 0 [4]: impossible
-si m \equiv 1 [4], 25m^2 \equiv 1 [4]: impossible
-si m \equiv 2 [4], 25m^2 \equiv 0 [4]: impossible
-si m \equiv 3 [4], 25m^2 \equiv 1 [4]: impossible
Conclusion: Pas de solution pour la cas Q(5).

Cas Q(6),Q(7): Impossible (de manière analogue)

Cas Q(8):
Encore une fois, a^2 est à la fois un carré et un multiple de 8 donc de la forme 8^2m^2 (m entier) ou plus simplement quitte à multiplier m par 2, a^2=16m^2
On sait également que a^2-2 est divisible par 7.
Ce qui nous conduit à \blue 16m^2 \equiv 2 [7]
-si m \equiv 0 [7], 16m^2 \equiv 0 [7]: impossible
-si m \equiv 1 [7], 16m^2 \equiv 2 [7]: Possible
Ainsi pour m=1, a^2=16. on cherche donc des coefficients (a_i)_{1\le i\le n}, tels que Q(8)=\bigsum_{i=1}^n a_i8^i=16 sous la condition \bigsum_{i=1}^n a_i=2.
Le cas le plus simple est un polynôme de degré 1 (n=1), avec a_0=0 et a_1=2 i.e. Q(X)=2X (mais il en existe une infinité d'autres).

Conclusion: 3$ \rm \red Q(8) peut etre un carre.
Par exemple, 3$ \rm \red le polynome Q(X)=2X convient (Q(8)=16=4²)

Cas Q(9),Q(10), Q(11), Q(12), Q(13), Q(14): Impossible (de manière analogue)

Cas Q(15):
Encore une fois, a^2 est à la fois un carré et un multiple de 15 donc de la forme 15^2m^2 (m entier)
On sait également que a^2-2 est divisible par 14.
Ce qui nous conduit à \blue 225m^2 \equiv 2 [14]
-si m \equiv 0 [14], 225m^2 \equiv 0 [14]: impossible
-si m \equiv 1 [14], 225m^2 \equiv 1 [14]: impossible
-si m \equiv 2 [14], 225m^2 \equiv 4 [14]: impossible
-si m \equiv 3 [14], 225m^2 \equiv 9 [14]: impossible
-si m \equiv 4 [14], 225m^2 \equiv 2 [14]: Possible
Ainsi pour m=4, a^2=15^2\times\4^2=3600. on cherche donc des coefficients (a_i)_{1\le i\le n}, tels que Q(15)=\bigsum_{i=1}^n a_i15^i=3600 sous la condition \bigsum_{i=1}^n a_i=2.
En utilisant la décomposition 3600=15^2\times 16, on peut ramener la recherche à Q(15)=15^2\bigsum_{i=1}^n a_i15^{i-2}=15^2\times16.
Soit Q(15)=\bigsum_{i=2}^n a_i15^{i-2}=16
Le cas le plus simple est un polynôme de degré 3 (n=3), avec a_0=0, a_1=0 (obligatoire), a_2=0 et a_3=1 i.e. Q(X)=X^3+X^2 (avec, ici encore, une infinité d'autres solutions).

Conclusion: 3$ \rm \red Q(15) peut etre un carre.
Par exemple, 3$ \rm \red le polynome Q(X)=X^3+X^2 convient (Q(15)=3600=60²)

CONCLUSION (Finale, Ouf!): 3$ \rm \red Seuls Q(8) et Q(15) peuvent etre des carres parfaits

N.B.: Je n'ai pas eu le courage d'aller au-delà de 15, mais je pense qu'un petit programme étudiant la divisibilité permettrait de répondre à la question (la même méthode s'applique à tous les cas). Mais encore une fois, j'ai eu la flemme...

Enfin, merci pour l'énigme (heureusement que ce sont les vacances...)

Posté par sof (invité)re : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 18:13

aucun de ces termes ne peut etre un carré parfait.

Posté par hophip (invité)re : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 18:22

perdu745412m$
364535


745vbjrt fcguhsrturthcv fyh

Posté par hophip (invité)re : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 18:22

perdu745412m$
364535


745vbjrt fcguhsrturthcv fyh

Posté par
caylusre : Enigme de clemclem*** 25-10-05 à 21:01

gagnéBonsoir,

Je n'ai pas beaucoup cherché mais

cela fonctionne pour Q(8) et Q(15)

Posté par philoux (invité)re : Enigme de clemclem*** 26-10-05 à 11:35

gagnéBonjour,

Réponse proposée : 8 et 15 (puis 18...)

Méthode dont je suis pas fier car la fin est du tâtonnement :

Q(1)=2 => Q(x)=2+(x-1)P(x)

Q(0)=0 => 0=2-P(0)=> P(0)=2 => P(x)=2+xR(x)

Q(x)=2+(x-1)(2+xR(x))=2+2(x-1)+x(x-1)R(x) = 2x+x(x-1)R(x)

Q(x)=x( 2+(x-1)R(x) )

mais arrivé ici je n'ai pas su aller plus loin... : je suis revenu à Q(x)=2+(x-1)P(x)

Q(x)=p² => 2+(x-1)P(x)=p²

(x-1)P(x)=p²-2

P(x) est à coef € Z puisque Q(x) l'est => P(x€Z) € Z => (x-1) divise p²-2

J'ai donc utililisé excel en recherchant les valeurs de p²-2 et retenu les valeurs de x tels (x-1) divise p²-2 (avec x variant de 4 à 18)

le tableau excel des modulos est ci-joint : on y voit, pour p variant de 0 à 1000, que les valeurs présentant des diviseurs sont 7, 14 et 17... => x-1=7,14,17... => x=8,15,18...

Je n'ai cependant pas démontré l'exhaustivité des solutions en m'assurant que pour des valeurs plus grandes que p=1000, je n'aurais pas d'autres solutions.

Sans excel, je n'aurai pas abouti (en supposant que ce soit bon, d'ailleurs... )

J'attends impatiemment des résolutions "propres" pour combler mes lacunes et ...

Merci pour l'énigme (qui méritait, selon moi, plus de 2 étoiles),

Philoux


Enigme de clemclem

Posté par levrainico (invité)re: Enigme de clemclem 27-10-05 à 19:05

perdubonsoir,
avant que l'énigme ne soit close, je vais donner une réponse, sans grande conviction.
Si je me trompe, ca laissera une chance à Borneo de passer sur le podium
Donc j'ai envie de dire qu'aucun ne peut etre un carré parfait...

je sens le arriver
Allez, a+
et merci clemclem pour cette enigme

Posté par luna77550 (invité)re : Enigme de clemclem*** 27-10-05 à 22:28

gagnébonsoir je pense que les reponse sont
pour Q(8) et Q(15)
surement que Q(0)= (0+0)/0
Q(1)=(1²+1)/1
donc Q (8²+8)/8=9=3²
Q(15)=(15²+15)/15=16=4²

Posté par luna77550 (invité)re : Enigme de clemclem*** 27-10-05 à 22:34

gagnébonsoir je retente ma chance

ou sinon
Q(0)=0+0=0
Q(1)=1+1=2
donc seul Q(8)=8+8=16=4²

Posté par Babou14 (invité)re : Enigme de clemclem*** 27-10-05 à 23:24

Seuls Q(8) et Q(15) peuvent être des carrés parfaits: Ainsi si Q=2X, Q(8)=16=4² et si Q=X3+X², Q(15)=3600=60²

Dans les autres cas, on observe qu'un carré n'est jamais congru à 2 modulo (n-1), or l'hypothèse Q(1)=2 donne aussi Q(n)=2 mod (n-1), donc Q(n) serait un carré congru à 2 modulo (n-1), absurde.

Posté par riwane (invité)re : Enigme de clemclem*** 28-10-05 à 09:58

perdu15

Posté par riwane (invité)re : Enigme de clemclem*** 28-10-05 à 10:03

perduQ(4)

Posté par riwane (invité)re : Enigme de clemclem*** 28-10-05 à 10:04

perduQ(15)

Posté par bel_jad5 (invité)hi 28-10-05 à 13:53

gagnéon a le polynome pt s ecrire sous la forme p(x)=x((x-1)q(x)+2)
on vt que ce nombre soit carré parfait par suite n²
q(x)=(n²-2x)/(x(x-1)) est un entier avec x appartien a {4,5...15}
avec les modulos(3,5,7,11,13) on montre que les seuls cas possibles sont le 8 et le 15
on prend par exemple p(x)=2x verifie pr le 8
on prend par exemple p(x)=x(107(x-1)+2) pr le 15
NB:g ps le temps pr faire une demonstration detaillée,et on pt meme eliminé les nombres de la forme 4k+1(5,9,13) sans passer par les modulos

Posté par missmaths (invité)re : Enigme de clemclem*** 28-10-05 à 17:03

perduQ6, Q4, Q15

Posté par missmaths (invité)non pas de cghall 28-10-05 à 17:04

perduzdkhedkj jdhjd









(b,bknhkhlmùà

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Enigme de clemclem*** 29-10-05 à 21:14

Bravo à tous

A plus

Posté par
borneore : Enigme de clemclem*** 31-10-05 à 03:02

gagnéTu es trop gentil, Levrainico... mais

"A vaincre sans péril on triomphe sans gloire."

Corneille, Le Cid.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 42:27:46.

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