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énigme maths
Bonjour à tous ,
J'aurais besoin de votre aide pour résoudre cette énigme mathématique
On positionne dans un repère orthonormé du plan des pièces comme illustré ci-contre.
Les pièces sont placées sur des points de coordonnées entières .
On les numérote ensuite partant de la pièce positionnée en
(0;1)( ce sont les coordonnées de la première pièce numéroté 1).
Déterminer les coordonnées de la pièce numéro 2020. Indiquer le numéro de la pièce de
située au point de coordonnées (2004 ;2020)
Je vous remercie à l'avance 
Bonjour,
la figure est indispensable !!
extrait de 
la FAQ du forum :Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?
de même que tes traces de recherches et essais personnels :
déterminer les coordonnées des premières pièces et essayer de trouver une règle
(penser à des suites, en particulier pour celles qui sont le long des axes ou sur des droites identifiables)
Voici les images que j'ai , je m'excuse pour la qualité , c'est les seules que j'ai
J'ai pas de traces , je ne sais pas par où commencer ni ce que je peux faire.
"J'ai pas de traces"
des traces de ce que tu as essayé de chercher !
pas de traces qui seraient déja présentes sans rien faire !
même d'essais infructueux ou sans suite
"je ne sais pas par où commencer ni ce que je peux faire."
ce que je t'ai conseillé de faire !!!
ceci est une piste à suivre.
déterminer les coordonnées des premières pièces et essayer de trouver une règle
(penser à des suites, en particulier pour celles qui sont le long des axes ou sur des droites identifiables)
parmi "sur des droites identifiables" tu as par exemple toutes les pièces qui sont sur cette droite là :
comment varie le numéro des pièces de cette ligne là ?
comment varie leurs coordonnées ?
qu'ajoute-t-on pour passer d'une pièce à la suivant sur cette droite là ?
en terme de suites comment pourrait-on traduire ça ?
c'est ça des "pistes de recherches"
(et que tu aurais pu prendre l'initiative de chercher par toi même)
D'après ce que j'ai fait , dans chaque ligne le numéro des pièces augmente à chaque fois en ajoutant un chiffre impair , par exemple la ligne souligné , pour passer de la pièce n°1 à la pièce n°2 on ajoute 1 et de la pièce n°2 à la pièce n°5 on ajoute 3 puis on ajoute 5 ,7,11, etc. Sauf , pour la ligne sur l'axe des ordonnées pour passer d'une pièce à une autre on ajoute des chiffres pairs , de la n°1 à la n°3, on ajoute 2 puis de la pièce 3 à la 7 , on ajoute 4 et ainsi de suite ,+6,+8,+10,etc.
Pour les cordonnées , à chaque fois on ajoute ou on enlève 1
Par exemple sur la ligne souligné en rouge , les coordonnées du n°1 (0;1) pour la pièce n°2 (-1;2) , pièce n° 5 (-2;3), etc
Voilà mes recherches
donc si on prend comme base des calculs les pièces les plus à gauche
le numéro de la pièce obéit à une suite Sn qui est la somme des nombres impairs
"les nombres impairs" c'est une suite connue !
(arithmétique ? géométrique ? la raison ? le premier terme ?)
et donc on sait en calculer la somme des n premiers termes.
S_0 = 1 : pièce 1 coordonnées (0; 1)
S_1= 1+1 : pièce 2 coordonnées (-1; 2)
S_2 = 1+1+3 : pièce 5 coordonnées (-2; 3)
S_3 = 1+1+3+5 : pièce 10 coordonnées (-3; 4)
etc
S_n = 1+1+3+ ... + ?? : pièce ?? coordonnées (-n; n+1)
(formule de Sn en fonction explicite de n à déterminer, cours sur les suites)
à partir de cette base on peut compter vers la droite pour les autres pièces de la même ligne (de même ordonnée)
et ceci permettra de trouver le numéro d'une pièce sur le point de coordonnée connue
soit par exemple le point de cordonnées (1; 4) (sans regarder)
donc sur la 4-1 = 3ème ligne de pièces
S_3 = 1 + 1+3+5 = 10 est le numéro de la première pièce de cette ligne, de coordonnées (-3; 4)
la pièce que l'on cherche est (1; 4)
pour passer de -3 à +1 on a ajouté 4
donc le numéro de la pièce est 10+ 4 = 14 (on peut vérifier !)
on peut faire pareil pour toutes les coordonnées qui sont dans le "triangle" la pointe en bas
limité par les droites y = ??? et y = ???
ce qui donne la condition ?? ≤ x ≤ ??
si les coordonnées du point satisfont à cette inégalité, alors le calcul marche comme ci-dessus
sinon il n'y a aucune pièce à ces coordonnées là.
en sens inverse trouver les coordonnées de la pièce N, il s'agit de chercher quel est le n avec Sn ≤ N < Sn+1
(une inéquation à résoudre)
ça donne l'ordonnée y = n+1 et le numéro de la pièce de gauche de cette ligne là
etc
Alors en ce qui concerne la suite des nombres impairs est une suite arithmétique
S_n = 1+1+3+ ... + (2n-1) : pièce n coordonnées (-n; n+1)
Pour la suite je n'ai pas trop compris , ce n'est pas grave merci comme même
Mathafou a marqué d'un trait rouge la 'diagonale' de gauche.
Ca ne t'inspire pas.
Peut-être la diagonale de droite ?
pièce n coordonnées (-n; n+1)
faux
c'est pièce S_n coordonnées (-n; n+1)
l'exercice portant sur les suites, il s'agit donc d'étudier cette suite Sn
et en particulier de démontrer une formule qui donne Sn en fonction de n sans avoir à calculer la somme un par un
deux méthodes
Sn = 1 + [1+3+5+...+(2n-1)]
on reconnait dans les crochets la somme des termes d'une suite arithmétique de 1er terme 1 et de raison ??)
le cours donne une formule pour cette somme
ou le démontrer directement (c'est comme ça qu'on démontre la formule de cours)
on écrit deux fois la suite, une fois à l'endroit, une fois à l'envers, et on fait la somme :
Sn = 1 + [ 1 + 3 + ... +(2n-3)+(2n-1)]
Sn = 1 + [(2n-1)+(2n-3) + ... + 3 + 1 ]
----------------------------------------------------------
2Sn = 2 + [ (??) + (??) + ... + (??) + (??) ]ou "par récurrence" (mais je ne pense pas que ce soit au programme de seconde !) à partir d'une conjecture, d'une formule devinée
pour imaginer cette formule devinée, on peut s'intéresser à la pièce précédente : elle est à droite de la ligne d'avant.
que remarques tu sur cette "diagonale" de droite citée par ty59847 ? ...
c'est quoi ces nombres là 1, 4, 9, 16, ... ?
et on ajoute 1 pour avoir Sn
on reconnait dans les crochets la somme des termes d'une suite arithmétique de 1er terme 1 et de raison 2*
Sn = 1 + [ 1 + 3 + ... +(2n-3)+(2n-1)]
Sn = 1 + [(2n-1)+(2n-3) + ... + 3 + 1 ]
----------------------------------------------------------=2+(n*2n)/2
2Sn = 2 + [ (2n) + (2n) + ... + (2n) + (2n) ]
Vu que je suis en 1ere j'ai déjà vu les suites arithmétiques par récurrence , est ce que il y a une façon pour trouver la formule à deviner
La diagonales citée par ty59847 , c'est des carrées.
combien y a-t-il de "2n" a additionner ?
ça fait combien ?
ou si tu as vu en cours
la somme 1 + 3 + 5 + ... (2n-1)
somme d'une suite arithmétique de 1e terme 1 , de raison 2 et combien de terme)
= formule de cours directe
la formule à deviner
La diagonales citée par ty59847 , c'est des carrées.
c'est à dire ? lesquels précisément ?
les carrés de l'ordonnée y !
et donc la formule à deviner c'est
pour la diagonale montante à droite : numéro de pièce = y²
et pour la diagonale de gauche : un de plus que la pièce de la ligne d'avant (y-1 ) à droite : (y-1)²
soit pour la pièce sur cette diagonale, de coordonnées (x=-y+1; y) : (y-1)² + 1 = x²+1
mais ce sont des formules devinées, des conjectures
la démonstration (la plus courte), c'est les sommes de suite arithmétiques !
combien y a-t-il de "2n" a additionner ? il y'en a 4
ça fait combien ? donc ça fait 8n
Ducoup comment je peux faire pour trouver les cordonnées d'un point ?
non
il y en n
(plein sont "cachés" dans les "..." !!)
par exemple n = 7 :
1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
7 termes, le premier 1, le dernier 2n-1 = 2*7-1 = 13
Alors si c'est un grand nombre , comme 1000 et plus , on ne peut pas faire tous les calculs
Et à partir de quoi je peux trouver les coordonnées d'un point ?
si, bien sur qu'on fait les calculs !!
d'après toi à quoi sert une formule ??
on vient de prouver (enfin quand tu auras simplifié 2Sn = 2 + n*2n !!)
que quel que soit n, Sn = 1 + n²
ce qui veut dire que le numéro de la pièce aux coordonnées (-n; n+1) est égal è 1+n²
quel que soit n
et que tant que l'ordonnée est la même , on passe d'une pièce d'abscisse x à celle d'abscisse x+1 en ajoutant 1 au numéro de pièce (évident !)
avec ça il est facile d'obtenir le numéro de la pièce aux coordonnées (x; y) quelles qu'elles soient ! (du moment qu'elles sont dans le 'triangle' des deux droites limites)
exemple :
quel est le numéro de la pièce aux coordonnées (5; 20) ?
n est donc 19 (y = n+1=20)
la pièce le plus à gauche de la ligne d'ordonnée 20 est donc la pièce numéro S19 = 1+19² = 362
son abscisse est -n = -19
pour aller de -19 à +5 on se déplace horizontalement vers la droite de 5-(-19) = 24
la pièce qui est en (5; 20) est donc la pièce 362+24 = 386
tu peux , (si tu n'est pas convaincu par ce qu'on a fait jusqu'ici ...) faire le même calcul avec une pièce connue de la figure
par exemple la pièce en (-1; 4), n = 4-3 etc ...
en sens inverse on fait les calculs dans l'autre sens ...
chercher l'ordonnée y sachant que y est la plus grande valeur avec n = y-1 et Sn = 1+n² = 1+(y-1)² <= numéro donné de la pièce
par exemple la pièce 246 :
246 - 1 = 245, le plus grand carré <= 245 est 15² (racine carrée de 245 = 15.65...)
l'ordonnée y = n+1 = 15+1 = 16
le numéro de la pièce à gauche de cette ligne est S15 = 1+15² = 226, et son abscisse x = -n = -15
pour aller de 226 à 246, on s'est déplacé en abscisses vers la droite de 246-226 = 20
donc l'abscisse de la pièce 246 est -15+20 = 5
Tout ça me semble bien compliqué.
Avec l'indice que j'ai donné hier, on trouve en 5 secondes où se trouve la pièce n°2020. (sans calculatrice bien sûr)
Pour le n° de la pièce en colonne 2004, ligne 2020, je tente un calcul de tête : la pièce n°4080385.
il semble bien plus logique de suivre les pièces
1
puis 2, 3, 4
puis 5, 6, 7, 8, 9
etc
plutôt que
1
puis 4, 3, 2
puis 9, 8, 7, 6, 5
etc
bref de se déplacer selon les x croissants plutôt que l'inverse .
et chercher le carré d'avant ou chercher le carré d'après, c'est pareil.
n°2020. (sans calculatrice bien sûr)
mouais , tout le monde ne connait pas par coeur les carrés jusqu'à 45² = 2025
ni n'est capable d'extraire une racine carrée de tête . 
Ty59847
Tout ça me semble bien compliqué.
Avec l'indice que j'ai donné hier, on trouve en 5 secondes où se trouve la pièce n°2020. (sans calculatrice bien sûr)
Pour le n° de la pièce en colonne 2004, ligne 2020, je tente un calcul de tête : la pièce n°4080385
Tu peux mexpliquer comment tu a fais ?
pareil, à très peu de chose près.
je laisse ty59847 expliquer le détail de ses calculs et pas un résumé
résumé de mes calculs précédents c'est à dire sans aucune explications :
quel est le numéro de la pièce aux coordonnées (5; 20) ?
1+19² = 362
5-(-19) = 24
la pièce qui est en (5; 20) est donc la pièce 362+24 = 386
la pièce 246 ?
1+15² = 226
y =16
x = -15+246-226 =5
Alors j'ai essayé avec la methode citée par mathafou , pour trouver le n° de la pièce aux coordonnées (2004;2020)
On cherche le numéro de la pièce aux coordonnées (2004; 2020)
n est donc = 2019 (y = n+1=2020)
la 1ere pièce de la ligne d'ordonnée 2020 est donc la pièce numéro S2019 = 1+2019² = 4076362
son abscisse est -n donc -2019
pour aller de -2019 à +2004 on se déplace horizontalement vers la droite de 2004-(-2019) = 4023
Donc la pièce qui est en (2004; 2020) est donc la pièce 4076362+4023 = 4080385
On trouve le même résultat trouvée par tiy59847
Maintenant que je peux trouver le numéro d'une pièce grâce aux cordonnées , Ducoup à l'inverse , pour trouver les coordonnées d'une pièce , est ce que je dois faire l'inverse ou trouver une autre formule ?
Tu me demandes de simplifier la formule
2Sn = 2 + n*2n =2+2n2 donc
Sn=1+n2
simplifier la formule
oui c'est la fin de la démonstration de Sn = 1+n²
pour trouver les coordonnées d'une pièce , est ce que je dois faire l'inverse ou trouver une autre formule ?
j'ai aussi donné un exemple
on cherche sur quelle ligne elle est (son ordonnée) c'est à dire le plus grand Sn inférieur ou égal à ce numéro
(avec la même formule Sn = 1+n², donc quel est le plus grand n avec 1+n² 
numéro de la pièce)
etc.
Dans son message du 26 janvier 17h53, mathafou a dessiné un trait rouge, et on cherchait les valeurs des nombres sur ce trait rouge.
Un autre trait, plus facile à analyser, c'est le 'symétrique'.
Le trait qui passe par 1, 4, 9, 16 ...
1, 4, 9, 16, on reconnaît une suite connue : 1, 2², 3², 4² etc.
A priori, l'exercice ne demande pas une démonstration précise, il demande juste un résultat.
On peut donc annoncer sans trop de justification que les termes suivants sur cette ligne seront 5², 6² , n² etc
n² est en ligne n et en colonne n-1 ... le plus dur est fait, on sait placer un nombre sur chaque ligne. Et attention aux limites, n² est bien en colonne n-1, et pas en colonne n , attention aux décalages d'une unité, c'est presque ça le plus difficile, en tout cas de mon point de vue.
Pour savoir où se situe le nombre 2020 ( quelle ligne, puis quelle colonne), on va donc chercher quels carrés encadrent 2020.
2020 est entre 44² et 45² ; 45² vaut 2025.
45² est sur la ligne n°45, colonne n°44;
2020 est 5 cases avant, il est sur la ligne n°45, colonne n°39.
Pour le nombre en ligne 2020, colonne 2004 ;
On sait qu'en ligne 2020, colonne 2019, on a le nombre 2020².
Le nombre cherché est donc 2020²-15.
A priori, l'exercice ne demande pas une démonstration précise, il demande juste un résultat.
On peut donc annoncer sans trop de justification que les termes suivants sur cette ligne seront 5², 6² , n² etc
le démontrer n'est pas plus difficile, c'est exactement la même que les n²+1 de la diagonale de gauche : somme des termes d'une suite arithmétique de raison 2
une fois qu'on a encadré entre deux carrés (que ce soit l'ordonnée ou l'abscisse selon P = y² ou P = 1+x²),
c'est pareil au signe près :
on se déplace horizontalement soit vers la gauche (si on part de droite, en vert) ou vers la droite (si on part de gauche, en rouge)
Faut-il ou pas démontrer que les nombres sur le trait vert sont les carrés des entiers ?
Je ne sais pas.
L'étape n°1 est de constater que ce sont les carrés des nombres entiers. Si on n'a pas vu ça sur le dessin , on galère.
Quand on l'a constaté sur le dessin, on le démontre (ce n'est pas compliqué) si on pense que c'est attendu par le correcteur.
Ou même, on fait l'exercice comme je l'ai fait. Et si on a encore du temps et du courage, on ajoute en bas de sa copie :
J'ai considéré que les nombres de la forme n² étaient aux emplacements (n,n-1), et je vais maintenant (tenter de) démontrer ce point là .... ...
Ainsi, on a répondu à la question, et en plus, on finit en justifiant les points litigieux.
Oui , je me doute bien que ce n'est que la même démonstration que celle faite pour les points de la ligne rouge. Ce sont évidemment les mêmes calculs.
Mais j'ai zappé tout ça, je suis passé directement du tout 1er dessin avec le trait rouge ... à ma réponse.
Quand on voit 1 ,2, 5, 10, 17, sur le trait rouge, il ne se produit aucun déclic. Quand on voit 1,4,9,16, sur le trait symétrique, il se produit un déclic.
Et quand grâce à ce déclic, on sait que les calculs doivent nous emmener à n² ou à n²+1 ... ça aide.
remarque que je disais déja
...à partir d'une conjecture, d'une formule devinée
pour imaginer cette formule devinée, on peut s'intéresser à la pièce précédente : elle est à droite de la ligne d'avant.
que remarques tu sur cette "diagonale" de droite citée par ty59847 ? ...
c'est quoi ces nombres là 1, 4, 9, 16, ... ?
et on ajoute 1 pour avoir Sn
J'avais vu la question :' Si ty59847 pouvait expliquer '... je n'ai pas lu tout le reste.
Calcul de tête : 45², comment je calcule : 45²-5²= (45-5)(45+5) = 40*50
Donc 45²= 40*50+5²
Et plus généralement : (10n+5)² = 100n(n+1)+25
Application de a²-b²=(a-b)(a+b)
2020² = (20 *101)² = 400*101²
Et 101²=(100+1)²=100² +2*100+1² = 10201 : application de (a+b)²= ...
Quand on multiplie par 4, bonne nouvelle, il n'y a pas de retenue, le calcul est facile, 40804
Quand on multiplie par 100, c'est facile aussi ...
Finalement, pour calculer 2020² de tête, il suffit de connaître l'identité remarquable (a+b)²= a²+2ab+b², et de l'appliquer à (100+1)²
je n'ai jamais dit que c'était difficile de calculer de tête pour quelqu'un habitué aux astuces de calcul mental !
mais "tout le monde ne ... pas..."
(c'est à dire peu d'élèves sont de nos jours capable de faire du calcul mental)
bon, du calcul mental écrit alors ...
Merci beaucoup à vous deux , là je me rends compte que ce n'est pas si difficile que ça , il fallait juste un peu de logique , je vous remercie encore !
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