Bonjour,

multiplions les nombres de 1 à 10 :

Le 1 ne changera pas le dernier chiffre.

5*2 = 10, donc oublions le 2 et le 5.

Oublions aussi le 10 qui rajoute un 0 à la fin.

Donc, il reste : 3*4*6*7*8

3*4 = 12 donc ça finit par 2

3*4*6 finit donc par : 2*6=12 donc par 2

3*4*6*7 finit par : 2*7 = 14 donc par 4

3*4*6*7*8 finit par 4*8=32 donc par 2.

Donc le produit des entiers de 1 à 10 finit par 2.

C'est donc la même chose pour les entiers de 11 à 20.

De même pour les entiers de 21 à 30.

etc ...

Donc pour le produit des 100 entiers, ça va finir par : 2*2*2*...*2 = 2^10 = 1024.

Conclusion : c'est le chiffre 4.

Bonjour,

j'aimerais bien savoir comment un élève de 5e est supposé trouver ça  

Je crois m'être trompé quelque part en plus ...

Bah oui, j'ai oublié le 9 !!!

Pour les entiers de 1 à 10, nous en étions à 2.

2*9 = 18, donc ça va finir par 8.

Ensuite, il faut trouver le chiffre des unités de 8¹⁰.

8² finit par 4

8³ finit par 2

8⁴ finit par 6

8⁵ finit par 8

8⁶ finit par 4

8⁷ finit par 2

8⁸ finit par 6

8⁹ finit par 8

8¹⁰ finit par 4

Conclusion : c'est le 4

Le dernier chiffre est bien 4, mais pour des collégiens je trouve ça dur

Bonsoir

Tu n'as pas oublié le 9 ?

Moi, je trouvais 8 pour le produit des entiers de 1 à 10

alors comment faut il lui expliquer

daccord mais ça ce n'est pas dans le programme de 5ème

bonsoir Kévin

Mon explication reste abordable, mais il faut peut-etre le détailler davantage pour comprendre comment ça fonctionne.

alexleasandy, je pense que l'intérêt de cet exo pour un élève de 5e (comme pour tout le monde d'ailleurs   ) réside dans la recherche de la solution, pas dans la solution elle-même.

Le prof ne pense pas que les élèves trouveront, ou peut-être juste un ou deux dans la classe.

C'était la question subsidiaire du concours Kangourou 2004  

Ah ok !

Donc c'est infaisable sans être surdoué !

Le prof veut voir combien d'élèves ont des parents susceptibles d'aider leur rejeton en maths

bonjour
je ne suis pas certain qu'il faille 'oublier' le 2 et le 5; par exemple 32 x 35 = 1470, qui doit influer sur le dernier chiffre significatif différent de zéro
dix chiffres 1 : c'est comme si on multipliait par 1 : pas de changement
dix chiffres 9 : c'est comme si on multipliait cinq fois par 81 donc par 1 : pas de changement
dix chiffres 2 et dix chiffres 8; 8 * 2 = 16; en multipliant par 6 la finale 6 reste 6; donc avec ses chiffres c'est comme si on multipliait par 6
dix chiffres 3 et dix chiffres 7 : 3 x 7 = 21; c'est comme si on multipliait 5 fois par 1 : pas de changement
dix chiffres 4 et dix chiffres 6 : c'est comme si on multipliait dix fois par 4 ou cinq fois par 6; donc comme si on multipliait par 6
avec les chiffres 1, 9, 2, 8, 3, 7, 4, 6 : c'est comme si on multipliait par 1, puis par 1, puis par 6, puis par 1, puis par 6, donc comme si on multipliait par 6

avec les nombres terminés par 0
en laissant les 0 de côté, c'est comme si on multipliait par 1 puis 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10
1 x 10, 3 x 7 : c'est comme si on multipliait par 1; pas de changement
2 x 8, 4 x 6 : c'est comme si on multipliait par 6
9 c'est comme si on multipliait par 9
5 c'est comme si on divisait par 2 (5 = 10/2)
avec tous les nombres sauf ceux terminés par 5, c'est comme si on multipliait par 6 puis par 1, par 6, par 9 et qu'on divisait par 2; donc comme si on multipliait par 4 puis qu'on divise par 2
on a tant multiplié de nombres pairs qu'on peut diviser par 2 de sorte que le résultat reste pair
avec tous les nombres, sauf ceux terminés par 5, le résultat est donc ...4 / 2 = ...2 (A)

avec les nombres terminés par 5
on peut multiplier par leur dix doubles puis diviser dix fois par 2, c'est-à-dire par 1024
les dix doubles sont 10 30 50 70 90 110 130 150 170 190
30 x 70 et 130 x 170 c'est comme si on multipliait par 100 : pas de changement
idems pour 10 x 110 et 90 x 190
pour 50 et 150, c'est comme si on multipliait par 100 et par 300 et qu'on divisait chaque fois par 2
en multipliant par 100 et 300, c'est comme si on multipliait par 3; avec le chiffre cité en (A) cela fait 6; puis on divise par deux fois par 2 : on a tant multiplié de nombres pairs que le résultat sera encore pair : ...6 divisé par 4 donne ...4
4 est le dernier chiffre différent de zéro du produit des nombres de 1 à 100 sauf ceux qui sont terminés par 5, ces dix nombres ayant été remplacés par leurs doubles; il faut donc diviser ce produit dix foix par 2 (par 1024)

on a multiplié quarante nombres terminés par 2, 4, 6, 8; on a pour l'instant divisé une plus deux fois par 2; on peut encore diviser dix fois par 2 et obtenir encore un chiffre pair au résultat
c'est comme si on divisait un nombre terminé par 4 par un autre nombre terminé par 4 pour avoir un quotient qui se termine par un chiffre pair : ...4 / ...4 donne ...6
la réponse est donc 6

En effet, je suis allé un peu vite en oubliant le 2 et le 5 !

J'ai refait mes calculs je trouve 4 pour ma part..

Bonjour,

En écrivant un petit logiciel qui calcule le produit des n premiers entiers, garde le dernier chiffre différent de 0, multiplie par (n+1), garde le dernier chiffre différent de 0...

je trouve 8, pour ma part.

D'un autre coté, je ne pense pas que ce soit du niveau de la classe de 5ème.

J'ai refait mes calculs et je trouve 4 (j'avais un bug sur la recherche du dernier nombre, il faut en garder plus d'un si on adopte la voie logicielle "bourrin" à cause des multiplications par 5)