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x {-5,1 ; -3 ; +3 ; +5,1}

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Merci d'avoir participé. Mais c'est partiellement faux...

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Une méthode de recherche de valeurs approchées me donne comme racines ( merci excel)
-3 et 3 (valeurs exactes)
-5.0990195 et 5.0990195(valeurs approchées)
Il est surprenant de constater que ces deux dernières valeurs sont indépendantes de la valeur de K

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On obtient après divers bricolages l'équation

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Parfait.

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Merci pour ta remarque. Si tu essaies de résoudre exactement l'équation (valeurs exactes de +- 5,1...) l'explication de l'indépendance par rapport à K de ces deux solutions deviendra claire.

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pour ma réponse, utilisation d'une méthode graphique :

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Donc en posant (avec ), on obtient l'équation:

  

Reste à discuter suivant les valeurs de

Avec , on a un discriminant nul et les  4 solutions pour déjà trouvées.

Les solutions sont là pour tout

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Joli graphique ! En réalité c'était plutôt une réponse exacte qui était attendue, puisque qu'il n'est pas exact par exemple que -5,1 est une solution du problème. Les réponses approximatives sont cependant bien celles que tu as données.

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Exact, on trouve en fait 2 solutions (qui sont ) pour et 6 solutions (dont ces deux-là) sinon. Je publierai les réponses détaillées dans quelques jours.

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oui:

- 2 solutions si

- 4 solutions si

- 6 solutions pour sauf pour où il n'y en a que 4 :

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Puisque la question d'origine n'est qu'un cas particulier de la question subsidiaire, je décide de résoudre la question subsidiaire, la question d'origine en découlera.

On remarque tout d'abord que f est paire, donc si x₀ est solution, alors -x₀ sera également solution. Nous réduisons donc l'étude au domaine .

On pose
On pose

On remarque que
Donc (E) équivaut, en substituant, à :



En développant, on trouve que c'est équivalent à trouver les racines du polynôme suivant, qu'on notera :



Et là, soit on sait résoudre les équations du troisième degré de façon générale, soit on tâtonne, soit on observe la courbe associée à ce polynôme, en tout cas on doit remarquer que 5 est "visiblement" racine de P, ce qu'on vérifie en calculant. Puis on factorise par et on détermine le second polynôme du second degré par identification :



(On voit déjà à ce stade qu'il y aura nécessairement une ou plusieurs solutions qui ne dépendront pas de K car est solution et ne dépend pas de K).

Le discriminant d du second polynôme égale .

Or d n'est positif que si .

Si alors (E) équivaut à .
Supposons que .

Alors on trouve deux racines à P : et

On rappelle que (E) équivaut à .

* Si alors soit qu'on notera .

* Si alors on a ce qui n'a de sens que si ce qui n'a de sens que si .
Donc si et , alors qu'on notera .

* Si alors on a ce qui n'a de sens, de même, que si . En ajoutant cette dernière condition, on a qu'on notera .

En regroupant toutes ces informations et en ramenant l'étude à D, on conclue ainsi, en appelant l'ensemble des solutions :

Si alors
Si   alors

Ce qui explique pourquoi sont invariablement solutions quelle que soit la valeur de K.

Et en particulier, si (question d'origine)

Alors donc P admet une racine double atteinte en (c'est-à-dire que ) et alors soit sur D' ce qui nous donne les 4 solutions suivantes : sur D.


Représentation de la courbe représentative de la fonction f où

Pour finir, en guise d'ouverture, il semblerait que tende vers lorsque tend vers ... À voir.

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La seconde valeur remarquable s'obtient aussi par le calcul:

   avec tes notations, lorsque , on a plus que 2 solutions pour l'équation lorsque , c'est à dire:

   qui a pour solution

Ces deux solutions en sont alors et

qui donnent 4 solutions pour :

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J'aurais du écrire:

   avec tes notations, lorsque , on a plus...

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sans tatonner,
sans utiliser  de courbe
P(X)=A(X)-kB(X)
avec B(X)=X(X-5)
il est intuitif de regarder si les zéros du polynôme B ne sont pas zéros de A
on trouve ainsi  que  A(5)=B(5)=0=>P(5)=0