Bonjour,

Ca ressemble au Monty Hall problem

Bonjour,

Je tente:

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On sait que la probabilité est 50/50
*le fait que l'animateur propose un autre choix peut laisser supposer
que l'autre est inférieur...
*la somme ronde de 100 000€ sent le maxi en effet  200 000???
Je garde A

Bonjour.

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Je garde ce choix car "un tiens vaut mieux que deux tu l'auras"...

Bonjour,

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Je prends la somme B. Au pire 50 000 € ça se prend !

Bonjour!

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On sait que
Il y a donc deux possibilités:
1.
2.

Je suis tenté par le fait de dire que :
On a 1 chance sur 2 d'obtenir soit 50 000 soit 200 000; si l'on répète cette expérience plusieurs fois, cela peut donner quelque chose comme une moyenne de 125 000.

(alors en fait quand je suis arrivé là tout était clair mais plus maintenant)

Du coup je dirais que comme 125 000 c'est plus grand que la somme de départ, je prendrais le double...

salut

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notons G la variable aléatoire égale au gain du joueur

E(G) = (1/2)(50 000 + 200 000) = 125 000

avec 100 000 je suis proche de mon espérance de gain donc je conserve ma somme

bonjour

les réponses données sont pleines de bons sens.
Si l'on calcule l'espérance de gains en changeant pour B, en appelant x la somme A,

E = (1/2)*(1/2)*x (si pas de chance) + (1/2) (2x) (avec de la chance ) = 1,25x.
Les mathématiques montrent qu'il faut changer pour B si l'on trouve que le bonus de
0,25x  est bon à prendre. Par contre le "bon sens" me dit qu'il n'y a pas de raison de changer. Voyez-vous pourquoi?

Le problème de Monty Hall est différent car la probabilité de gagner en changeant est le double

Bonsoir,
j'ai la vague impression qu'il y a une arnaque.
Je vais essayer de regarder ça de plus près.

Sinon il y a une raison simple pour ne pas changer, c'est l'utilité de la somme.

Mettons que l'on me propose un jeu :
il y a une probabilité de 0,9 pour que je perde 20 000€ et une probabilité de 0,1 pour que je gagne 200 000€.
L'espérance du jeu est 20 000€, c'est vraiment intéressant.
Sauf que si je perd 20 000€ je n'ai plus de quoi vivre, alors que je peux très bien vivre sans avoir 200 000€ de plus.

ici ce n'est pas tout à fait la même chose :

tu as gagné S et on te propose de rejouer pour gagner S/2 ou 2S

dans tout les cas tu va gagner S/2, S ou  2S

il y a quatre cas :

S est minimal et je garde donc je gagne S
S est minimal et je change donc je gagne 2S
S est maximal et je garde donc je gagne S
S est maximal et je change donc je gagne S/2

en moyenne je gagne 4,5S/4 = 1,125S

entre S et 1,125S y a pas photo je garde S

Bonjour,

En reprenant le raisonnement de carpediem :

Bonjour Carpediem et Ryan

Le raisonnement de Carpediem m'intéresse et suivant qu'on est joueur ou pas, ou suivant qu'un gain de 12,5% est appréciable ou pas, on choisira B ou A respectivement.

Maintenant, que nous dit le »bon sens »?
Puisque vous choisissez une somme  A ou B au hasard, comment est-il possible qu'il soit plus avantageux d'en choisir une pour prendre l'autre ensuite?
Vous auriez pu choisir la somme B aussi bien et le même raisonnement vous aurait conduit  à préférer A dans un second temps à 25% en plus (pour moi) et à 12,5% en plus suivant les calculs de Carpediem.
Le « bon sens » nous dit que cela ne fait aucune différence de changer de somme alors que le calcul de l'espérance nous dit que cela en fait une!
Pensez-vous alors qu'il n'y a pas d'avantage à changer de somme?

Bonsoir,

C'est assez intéressant comme question, on peut s'en poser pleins des comme ça je pense... Et je ne pense pas avoir le recul pour répondre d'une façon idéale, mais je vais quand même essayer.
Je pense que dans ce cas, le hasard est assez prévisible pour ne plus vraiment l'être, c'est à dire qu'on a uniquement 2 événements ( aller, 4 en fonction de comment on raisonne ) ce qui permet de se donner une idée de quel est le meilleur choix. En revanche, si il y aurait une multitude de choix, le hasard sera plus difficile à prévoir; et lorsque je parle de hasard je parle du cas où l'on ait répété les événements un nombre de fois suffisants pour avoir des statistiques "concrètes" (une moyenne relative au hasard n'est peut-être pas si concrète que ça)...
Après, je n'ai pas traité cette situation comme je l'aurais fait dans la vie de tous les jours, de 1 parce que je n'ai aucune idée de ce que représente une somme d'argent, et de 2 car cela n'a aucune raison intéressante de le faire.

Je pense que pour le coup, et en particulier dans ce cas, la notion de "bon sens" est juste à bannir, voici un exemple un peu plus extrême afin de me justifier ( et d'abuser un peu de votre définition, désolé haha ) : vous avez le choix entre 100 boutons différents dans une pièce, et vous en avez un seul qui empêchera à tout jamais la porte de la salle de se fermer; les autres permettes de ré-ouvrir la porte étant donné que vous êtes bloqué dans la salle - vous le savez-. Votre futur est-il alors aléatoire? Dans les faits: oui, dans la réalité vous pouvez être presque sûr de pouvoir sortir.
Par conséquent, je pense qu'il faudrait appliquer le même raisonnement à toutes les situations possibles, et ne pas uniquement se fier à "l'écran" de l'aléatoire et de regarder un peu derrière pour voir comment cela fonctionne.

Bon j'ai beaucoup écrit mais je pense que je changerais d'avis dans dix minutes, mais tant pis !

J'ai hâte de voir ta réponse pour le coup Carpediem, tu dois sûrement ( sans le bon sens : obligatoirement ) être plus informé que moi sur le sujet.

Bonne soirée

maintenant puisque l'espérance de gain en changeant est 1,25S le bon sens peut faire dire : je change ...

mais est-ce du bon sens d'espérer 25% de plus avec autant de chance d'avoir la moitié que le double ?

Bonjour,
Intéressant
Deux remarques :
- A mon avis, connaître le montant de A ne change rien.
Que ce soit 10 € ou 100 000 € pour A n'a pas d'influence sur l'événement B = 2A .
Donc, si on a décidé de ne pas changer sans connaître A , aucune raison de changer après en avoir pris connaissance.
Mais nous sommes des êtres influençables par l'appât d'un gain plus important ; et nous pouvons ne pas être cohérent.
- Le bon sens me dit que seul le choix final de A ou B est important.
Ce qui a pu se passer avant ne change rien aux montants (sauf si l'animateur est un tricheur ).
Il faut faire un choix. Une fois ce choix fait et définitif, la probabilité de gagner le maximum est 1/2 .
Finalement, changer ou pas de choix ne changerait rien ?

bonjour Carpediem

Bonjour Sylvieg

Oui je pense également que la somme (100 000) est anecdotique.
D'ailleurs, j'ai pris x comme somme de A. De même ta remarque sur A ou B indifféremment, je la fais mienne.
Par contre, la probabilité 1/2 est à prouver encore que le"bon sens" l'indique.
Mais si tu connais l'énigme de Monty Hall, la probabilité de gagner est 2/3, alors que le "bon sens " non incite à prendre 1/2.

ming :je suis bien d'accord mais ce que je fais c'est calculer des espérances conditionnelles :

on me donne une somme s _{^{dont la valeur importe peu effectivement}}
on me dit qu'elle est la moitié ou le double de l'autre somme et que je peux changer

en changeant mon espérance de gain est (1 + 1/2)s/2 = 1,25s


mais bien entendu je ne sais pas si elle est le max ou le min mais :

mon espérance de gain sachant qu'elle est le max est (s + s/2)/2 = 0,75s

mon espérance de gain sachant qu'elle est le min est (s + 2s)/2 = 1,5s

et puisqu'il y a équiprobabilité de ces deux espérances mon espérance de gain est (0,75 + 1,5)s/2 = 1,125s

enfin il me semble ...


peut-être essayer de faire une simulation sur tableur : on pose s  = 1

on choisit au hasard t = s/2 ou t = 2s (l'autre somme)
on choisit au hasard de garder s ou de changer



mon espérance de gain est donc (s + 2s + s + s/2)/4 = 1,125s

donc je garde toujours s


enfin ce me semble-t-il ...

Bonjour,
On constate qu'à la "majorité" les îliens gardent A.
Je pense que si A =25 000 €  je choisirais de changer car B =50 000€
"présenterait "mieux que B=12 500 € .

Pour ceux qui suivent le MUR sur TF1 (nul n'est parfait),le choix du
contrat est un sacré problème....

Bonjour Carpediem

On peut considérer le problème de la façon suivante:

A contient x et B, 2x ou A contient 2x et B, x puisque A et B jouent le même rôle.
Dans ce cas un changement chanceux donne un gain de x sinon le gain est -x.
tout est symétrique.

L'espérance d'un changement de somme est
E_AB= 1/2(2x + x) = 1.5 x
Sans changement:
E_A= 1/2(x + 2x) = 1.5 x
Bien entendu,  la situation est parfaitement symétrique.

Il n'y a donc pas d'avantage à changer conformément au "bon sens".

Je pense qu'il y a une erreur dans mon raisonnement initial de l'espérance, ainsi que dans
le tien.

oui je ne suis pas sur de mon raisonnement ...

la seule chose que je sais c'est que j'ai s en main et que je peux éventuellement changer pour la moitié ou le double

si je ne change pas je garde s
si je change mon espérance de gain est 1,25s

ce sont des proba conditionnelles bien sur

et je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement : ta somme est s = x et elle n'est pas x ou 2x un coup sur deux

elle est s et soit on a 2s soit on a s/2 par changement

et ton changement d'échelle (considérer que c'est s ou que c'est 2s me semble faux : considérer qu'on a toujours x et 2x ou 2x et x)

bonsoir Carpediem

pas du tout !!

on a x et on aura soit 2x soit x/2 ...

il ne faut pas changer de référentiel !!!

le référentiel est la somme que tu as ... et non pas ce qu'elle peut représenter par rapport à l'autre somme ...

Bonjour Carpediem

Je voudrais savoir si tu es d'accord que l'on peut choisir au départ indifféremment X =  A ou B et que le gain, en changeant ensuite est nul.
Si oui, alors appelons x la somme  dans X, p la probabilité trouver dans la seconde x/2 et (1 - p)  de trouver 2x .

Le gain en changeant est nul, donc:
x - px/2 - (1-p)2x =0  ce qui fait p = 2/3

Conclusion : en changeant de somme, la répartition de probabilité n'est pas (1/2, 1/2) mais (2/3,1/3), x/2 est deux fois plus probable que 2x., ce qui est contre intuitif.

salut ming

je ne sais pas pourquoi tu changes autant de notations qui embrouille plus qu'autre chose

on une somme s fixe connue : s = 100 000 (par exemple)

on peut en changer sachant que l'autre somme est soit la moitié s/2 soit le double 2s

après il se peut très bien qu'il n'y ait pas équiprobabilité entre ces deux sommes ...

mais je ne comprends pas pourquoi tu affirmes que le gain en changeant est nul

ou alors est-ce toi qui t'impose cette condition (ou plutôt le maître du jeu pour ne pas perdre de l'argent par exemple) alors ok si tu veux ...

mais je ne comprends pas d'où viennent ces moins ...

en fait on peut même considérer la situation générale :


je pense même qu'au final c'est la situation exacte et l'espérance de gain est (en prenant a = 1/2)

2E = s + ps/2 + (1 - p)2s = 3s - 1 ,5ps donc E = 1,5s - 0,75ps

et c'est ce que j'avais déjà du au dessus car en prenant p = 1/2 on retrouve 1,125s

Bonjour, je vais essayer d'avancer une explication de pourquoi la probabilité que A > B (p = P(A > B)) ne soit pas égale à celle que A < B (1-p). Comme l'a montré Ming plus haut, l'intuition (il n'y a pas de raison que B soit meilleur ou moins bien que A) mène à p=2/3.

Les concours dans le monde réel ne sont jamais à gain illimités sinon l'espérance de gain est infinie et si c'est le cas alors on a toujours intérêt à changer d'avis si on reçoit un gain limité.

Je regarde ici le cas où on a tiré uniformément un gain, mis ce gain dans une enveloppe, sa moitié dans une autre et nommé l'une A et l'autre B de manière équiprobable.

Soit M le gain maximal possible de ce concours, si 2A > M alors choisir B mène toujours à une perte (B = s/2). En revanche si 2A <= M alors comme montré plus haut l'espérance de gain est positive (E(B) = 5s/4).

Mais on ne connait pas M. Soit q la probabilité que le gain maximal  soit supérieur à 2A (q = P(M>=2A)). On a E(B) = q5s/4 + (1-q)s/2 = s(3q+2)/4. On gagne en moyenne à changer si q > 2/3. On perd en dessous.

Il y a deux hypothèses que j'ai faites, le gain est choisi selon une loi uniforme dans [0,M] et le nommage des enveloppes est indépendant de leur contenu. La seconde était implicite mais la première n'est pas obligatoire. En règle générale, on a intérêt à changer si A est inférieur à l'espérance de gain du concours.

Salut Carpediem

Hello,

Ça fait x années que je n'ai plus posté sur le forum, mais le paradoxe des deux enveloppes c'est vraiment un super sujet (la page wiki française sur le sujet a été un vrai champ de bataille pendant plusieurs années, j'ai l'impression que ça c'est un peu calmé...).

A la lecture des posts précédents, je suis plutôt d'accord avec ming : les deux enveloppes jouent des rôles symétriques, l'espérance de gain pour chacun est donc la même. Et donc l'espérance de gain en changeant d'enveloppe est nulle.

Le jeu pour lequel on a intérêt à changer est la version asymétrique du problème : on donne au candidat une enveloppe qui contient un montant S, puis on met soit S/2 soit 2S dans une autre enveloppe. Ce dernier jeu est bien différent de celui de l'énoncé, et changer systématiquement d'enveloppe est dans ce cas une stratégie gagnante.

Par contre il me semble que pour ces deux jeu la probabilité que l'autre enveloppe contienne plus/moins est toujours (1/2, 1/2), le problème de raisonnement est ailleurs (mais je ne saurais dire où exactement...)

moi je ne comprends plus rien avec le pb initial !!! et vos changements d'enveloppes ... et autres ...


deux sommes a et b inconnues et on sait que l'une est le double de l'autre

je choisis la somme inconnue a qui vaut s

donc b = s/2 ou b = 2s

question : est-il intéressant de changer ?


alors oui que je choisisse a ou b ça n'a pas d'importance mais quand j'ai choisis une enveloppe x la somme est connue et vaut s

j'ai donc toujours le choix entre s/2 et 2s sans savoir si j'ai choisi s (et que l'autre contient s/2) ou s (et que l'autre contient 2s)


PS : mes propos sont sans certitude ... mais je ne suis pas convaincu et ne comprend pas ce que vous faites ... avec toutes vos lettres .... désolé !!

Une idée : changer d'enveloppe revient à croire qu'il existe un loi uniforme sur R^*+.
Et on sait que c'est faux.

Je n'ai utilisé qu'une lettre, je ne me sens donc pas concerné

En désaccord sur quoi ? Effectivement la formule est malheureuse, mais l'exemple est parlant.

Penses-tu que, si on joue tous les deux à ce jeu, et que de mon côté je ne change jamais d'enveloppe alors que toi tu changes à chaque fois, nos espérance de gain sont différentes ?
Sachant que : les deux enveloppes sont indistinguables à l'origine, et que donc les deux stratégies sont strictement équivalentes à choisir une enveloppe au hasard.

Et comme ça a déjà été signalé dans le topic, une autre façon de voir le problème est simplement d'appeler D la différence entre les deux sommes et de calculer l'espérance associée à un changement d'enveloppe:



Cette version est juste et conforme à l'intuition que les enveloppes sont équivalentes.
D'ailleurs, si elles ne le sont pas, d'où viendrait l'asymétrie ? Sachant que révéler le montant n'a effectivement aucun impact, et qu'aucun des calculs d'espérance proposés ici ne supposent que le montant est connu de toute façon.

en fait pour être plus précis le pb est :

Disons que je vois un problème dans le choix de la valeur dans l'enveloppe.
Il est fait au hasard, et, j'imagine, avec équiprobabilité.
Or il est impossible de choisir une valeur dans R^*+ avec équiprobabilité.
On peut en déduire que les raisonnements ci-dessus n'ont aucun sens.

tout est dit ici :

Effectivement, je voulais écrire :



Mon problème c'est que c'est faux, je sais que c'est faux, mais je serais incapable de dire précisément pourquoi c'est faux.

Bonjour à tous,
17/06 question
24/06 on grenouille encore...
Imaginons qu'il faille répondre dans la foulée dans la vraie vie
Moi c'est fait.

Bonjour,

Je reprend les notations de l'énoncé, c'est à dire A la somme proposée au départ et B la somme lorsque l'on change

Bonjour

Pour plus de renseignements:

merci

étonnant que si l'on a plus d'une enveloppe  (dernier paragraphe) il faut par contre changer ...