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Enigmo 112 : les trois îles

Posté par
jamo Moderateur
28-05-09 à 19:07

Bonjour,

pour finir ce mois de mai, une petite énigme géométrique !

Les trois îles A, B et C sont les sommets d'un triangle dont les côtés ont pour mesures des nombres entiers de kilomètres.
De plus, la mesure de l'angle en B est le double de celle de l'angle en C (le dessin ci-dessous ne respecte pas cette condition).

Question : quelles sont les longueurs des trois côtés du triangle ABC ?
Vous me donnerez les trois longueurs AB, AC et BC.


Remarque importante : si le problème admet une solution, alors il en existe bien entendu une infinité (triangles semblables). Je veux donc la solution avec les plus petites valeurs possibles.

Merci de ne pas essayer de détourner l'énoncé en jouant sur les mots afin de lui faire perdre son intérêt. Car je sens bien que certains seraient capables de me répondre : (0;0;0) !

Bonne recherche !

Enigmo 112 : les trois îles

Posté par
pythamede
re : Enigmo 112 : les trois îles 28-05-09 à 20:08

perduAB=75, AC=120, BC=117

Pas sûr que ce soit les plus petits nombre possibles ! On verra bien !

Posté par
pythamede
re : Enigmo 112 : les trois îles 28-05-09 à 20:10

perduOui, je sais qu'on  n'en tiendra pas compte, mais je viens de m'apercevoir qu'on pouvait simplifier...
Tant pis !

AB=25, AC=40, BC=39

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 112 : les trois îles 28-05-09 à 20:16

perduJe trouve AB=6, AC=4 et BC=5.

Posté par
13or
re : Enigmo 112 : les trois îles 28-05-09 à 20:56

gagnéBonsoir jamo!

AB=4, AC=6 et BC=5

Merci pour l'énigmo!

Posté par
manpower
re : Enigmo 112 : les trois îles 28-05-09 à 20:57

gagnéBonsoir,

Cool de la géométrie... (au départ cela semble ardu comme problème mais finalement pas tant que ça...)

La formule d'Al-Kashi nous impose un cosinus fractionnaire,
en prenant par exemple cosC=3/4 j'ai trouvé assez rapidement une solution qui convient: a=BC=5cm, b=AC=6cm et c=AB=4cm

Ce qui me chagrine, c'est qu'en prenant cosC=2/3, le triplet (7,12,9) convient aussi (mais le triangle n'est pas semblable au précédent).
Sans avoir tout testé, vu les dimensions très raisonnable obtenues, je devine que d'autres quotients autorisent des dimensions entières...
La recherche exhaustive doit être assez longue (avec C=x,B=2x,A=180-3x donc peut-être via la formule des sinus a/sinA=b/sinB=c/sinC combinée à Al-Kashi et de la trigo) mais je n'ai ni le temps ni le courage.

En misant sur le fait qu'il n'y a pas plus petit (après de très rapides essais sous Cabri), je propose donc:
AB=4, BC=5 et AC=6 avec C=cos-1(3/4)41,4°  (soit sinC=7/2)
Enigmo 112 : les trois îles
Merci pour l'Enigmo (très intéressante).

Posté par
master_och
re : Enigmo 112 : les trois îles 28-05-09 à 22:19

perduBonsoir

en prenant pour valeur de l'angle en C = cos-1(2/3) je trouve AB=9 Km   AC=12 Km    BC=7 Km.

merci pour l'énigme

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 112 : les trois îles 28-05-09 à 23:04

gagnéBonsoir,

Il me semble que le plus petit triangle convenant est tel que :

AB=4 ; AC=6 et BC=5

(le cosinus de l'angle en C vaut alors 3/4)

Cordialement,

MM

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 112 : les trois îles 29-05-09 à 04:36

perduBonjour Jamo,

ma réponse: 4$ \rm AB=1156km AC=2074km BC=2565km

x étant l'angle C (le plus petit) voilà la valeur exacte des cosinus:

  \rm \cos(x) = \frac{61}{68} \hat{C}=26,22588393 degres

  \rm \cos(2x) = \frac{1409}{2312} \hat{B}=52,45176786 degres

  \rm \cos(3x) = \frac{15433}{78608} \hat{A}=101,3223482 degres

Posté par
veleda
re : Enigmo 112 : les trois îles 29-05-09 à 10:05

gagnébonjour,jamo
merci pour cet enigmo trigonométrique
je trouve
AB=4km
BC=5km
AC=6km

cos(C)=\frac{3}{4}
j'espère ne pas avoir fait d'étourderies
bonne journée

Posté par
dhalte
re : Enigmo 112 : les trois îles 29-05-09 à 10:11

gagnéBonjour

AB=4
BC=5
CA=6

en traçant la bissectrice de 3$\hat B, on fait apparaitre un triangle isocèle et un nouvel angle 3$2\gamma

On recommence le processus pour obtenir une suite géométrique de segments 3$a_{n+1}=a_n\frac1{2\cos(\gamma)}

En sommant les termes impairs, on obtient b
En sommant les termes pairs, on obtient c

Et finalement
3$b=2\cos(\gamma)\times c
3$a=(4\cos^2(\gamma)-1)\times c

3$\cos(\gamma) est donc rationnel
pour obtenir les valeurs minimales de a, b, c il convient de choisir le dénominateur de 3$\cos(\gamma) le plus petit. Après élimination de valeurs particulières qui énerveraient Jamo (triangles aplatis), on choisit 3$\cos(\gamma)=\frac34, ce qui amène à prendre c=4, b=6, a=5

Enigmo 112 : les trois îles

Posté par
ilhtennis
re : Enigmo 112 : les trois îles 29-05-09 à 13:03

perdubonjour,
j'ai une solution mais je ne sais pas si c'est la bonne
triangle rectangle d'angles 30°,60° et 90°
(C=30, B=60)
on prend AB=3, AC=4 et d'après Pythagore BC=racine(16+9)=5

Posté par
lolo248
re : Enigmo 112 : les trois îles 29-05-09 à 13:21

gagnéLe plus petit triplet de longueurs entières possibles est:
AB = 4 km
AC = 6 km
CB = 5 km


On a alors par Al Kashi :

cos B = \frac{1}{8}   donc \widehat{B} \approx 82,8°

cos C = \frac{3}{4} donc \widehat{C} \approx 41,4°

Toutefois, il faut démontré que l'angle B est EXACTEMENT le double de l'angle C :

On sait que cos (2x) = cos² x - sin² x = cos² x - (1- cos² x) = 2(cos x)² -1

Or, 2(cos c)² -1 = 2(3/4)² -1 = 1/8 = cos b

Donc, cos b = cos (2c)
donc \widehat{B} = 2 \times \widehat{C}

Posté par
gloubi
re : Enigmo 112 : les trois îles 29-05-09 à 14:47

gagnéBonjour,

Jolie Enigmo !
Ma réponse: AB = 4 km, AC = 6 km, BC = 5 km.

A+, pour de nouvelles aventures !  

Posté par
torio
re : Enigmo 112 : les trois îles 29-05-09 à 17:24

gagnéAB = 4 km
AC = 6 km
BC = 5 km


A+
Torio

Posté par
LeDino
4 6 5 29-05-09 à 17:55

gagnéBonjour,

Je propose AB=4, AC=6, BC=5.

Merci pour l'énigme.

Posté par
dpi
les 3 iles 29-05-09 à 19:13

gagnéPas de polémiques mais avec les tables de trigo et les décimales d'angle je pense qu'un nombre entier de km devient un nombre extrêmement proche de...
BREF
Ma solution vers angle C =41°41 donc B + 82°82 et A = 55°77
je trouve AB = 4 Km  AC =6 Km  BC= 5 Km

Posté par
carpediem
re : Enigmo 112 : les trois îles 30-05-09 à 11:17

gagnésalut

en notant a,b et c les longueurs des côtés opposés à l'angle la formule des sinus nous permet d'avoir:
b=2ccos C
a=c(4cos²C-1) (en développant sin3C)

en éliminant cosC on obtient b²=c²+ac=c(a+c)

or a,b et c sont entiers donc

a=BC=5
b=AC=6
c=AB=4

Enigmo 112 : les trois îles

Posté par
carpediem
re : Enigmo 112 : les trois îles 30-05-09 à 11:20

gagnéce qui nous permet de remaarquer que le triangle 4-5-6 possède un angle double d'un autre

sauf erreur

Posté par
jamilhaddad
Les trois îles 30-05-09 à 20:53

perdu
Bonjour
Réponse: AC=100000 Km alors BC=115470 Km; AB=57735 Km.

Soit C=30 degrés; B=60 degrés et A=90 degrés.
a=c/sin30=b/sin60
a=1.1547*b avec b entier; et c=a/2
Soit b=100000 alors a=115470 et c=57735

NB: Je n'ai pas rencontré un triangle dont ses angles ont les sinus des fractions décimales.

Posté par
castoriginal
Enigmo 112: les trois îles 30-05-09 à 23:40

gagnéBonsoir,


Une solution est obtenue avec une suite de trois nombres entiers consécutifs.
On applique au triangle quelconque ABC successivement la loi des sinus, puis celle des cosinus.

On trouve ainsi AB= 4 kilomètres
                       AC= 6 kilomètres
                   et BC= 5 kilomètres

l'angle C vaut 41,45 degrés   l'angle B = 82,90° et A = 55,65°

Bien à vous

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 112 : les trois îles 31-05-09 à 09:36

perduBonjour jamo ,

AB = 3 km.
AC = 4 km.
BC = 5 km.

Posté par
Rudi
re : Enigmo 112 : les trois îles 31-05-09 à 20:19

gagnéBonjour

-----Réponse proposée-----
AB = c = 4 ; AC = b = 6 ; BC = a = 5

-----Méthode employée-----
J'ai exprimé, grâce à Al Kashi, cosB et cosC en fonction de a, b et c puis, comme B = 2C, cosB = 2cos²C - 1
j'obtiens une relation peu engageante : ab²(a²-b²+c²) - (a²+b²-c²)²c + 2a²b²c = 0 (1)
Ensuite, mon manque de compétence en arithmétique m'ont orienté vers un tableau excel pour lequel j'ai recherché les triplets vérifiant (1)
Je me suis limité à (65535)^(1/3) comme valeur maximale pour a, b ou c et trouve 16 triplets (fig.1)

Je ne suis pas parvenu à traiter correctement le problème jusqu'au bout, mais je pense qu'il doit être possible, aritmétique à l'appui, d'exprimer a, b et c en fonction d'un ou plusieurs entiers ( à l'instar des triplets pythagoriens (p²-q²,2pq,p²+q²) )

-----Question sur l'énoncé-----
La formulation de la remarque importante :
"Si le problème admet une solution, alors il en existe bien entendu une infinité (triangles semblables). Je veux donc la solution avec les plus petites valeurs possibles."
laisse-t-elle entendre qu'une solution (kl,km,kn) n'est pas acceptée alors que (l,m,n) est attendue ?
si oui, les solutions (7,12,9) ou (9,20,16) ou (11,30,25)... sont donc valides ?
Autrement dit, faut-il lire "Je veux donc LA solution" ou plutôt "Je veux donc UNE solution" ?

-----Propositions d'énoncés dérivés-----
Bien entendu, on peut envisager non pas un rapport 2, mais un rapport k entre deux angles (voir la solution (3,10,8) avec k=3 en fig.1); on peut aussi rechercher des côtés de nombres premiers, en plus d'être entiers
Cette notion diophantienne des côtés m'inspire les trois énoncés des figures 2, 3 et 4 :
fig.2 : Recherche des angles t tels que les angles (pi/3-t, pi/3, pi/3+t) soient en progression arithmétique et les côtés entiers
fig.3 : Recherche des angles t/k, t, kt tels qu'ils soient en progression géométrique et les côtés entiers
fig.4 : Recherche des angles t1, t2, 180-t1-t2 tels que ces angles, exprimés en degrés, soient entiers et les côtés entiers

Rudy

Enigmo 112 : les trois îles

Enigmo 112 : les trois îles

Posté par
hypatie
re : Enigmo 112 : les trois îles 01-06-09 à 20:11

gagnéBonsoir,

Après quelques tergiversations, j'ai enfin réussi à sortir de ce triangle des Bermudes.

La réponse est AB=4, BC=5 et AC=6
J'essayerai de poster ma démonstration un peu plus tard.

Merci Jamo pour cette énigme.

Posté par
hypatie
re : Enigmo 112 : les trois îles 02-06-09 à 01:00

gagnéBonsoir,
Je ne sais pas faire des beaux dessins, ni utiliser Latex (promis, j'essaye de m'y mettre), mais j'espère que ma démonstration sera suffisamment claire. J'ai un peu résumé certaines étapes.

Posons AB=a, BC=b et AC=c pour simplifier les expressions. L'angle en A est noté (on montre facilement que </3)

La bissectrice en B coupe AC en I, ce qui donne un triangle isocèle avec CI=x1.
De même, la bissectrice en I coupe AB en J, ce qui donne un triangle isocèle avec AJ=x2 et l'angle AIJ=.
On se retrouve avec un triangle IJB semblable à ABC et on recommence.

On montre aisément que xi=b/(2cos)i.
Comme c=xi pour i impair et que b=xi pour i pair, on en déduit :
c=b.u/(u2-1) et a=b/(u2-1) avec u=2cos

De là, on trouve que c/a=u, d'où c=2acos
Par ailleurs, b/a=u2-1=(c/a)2-1, donc c2=a2+ab
Or, c2=a2+b2-2abcos2, d'où b=a(1+2cos2)

Prenons maintenant des valeurs entières de a pour calculer b et c.
Pour a=1 ou 2 ou 3, on ne trouve aucune valeur entière pour b.
Pour a=4, on trouve que c=8cos qui doit être entier, donc cos{1/8;1/4;3/8;1/2;5/8;3/4;7/8}
La seule valeur qui donne b entier est cos=3/4. On trouve b=5.
Ensuite on trouve c=6.

Ca correspond à =41,4°.

Merci encore à Jamo pour cette superbe énigme (et toutes les autres).

Enigmo 112 : les trois îles

Posté par
Albertus
re : Enigmo 112 : les trois îles 02-06-09 à 17:41

perduBonjour,
Je propose:
AB=1 ; BC=1 ; AC=2

Posté par
Lilli
re : Enigmo 112 : les trois îles 03-06-09 à 19:47

gagnéBonsoir!

AB= 4 km
AC= 6 km
BC= 5 km


Merci pour l'énigme

Posté par
PtitBH
re : Enigmo 112 : les trois îles 05-06-09 à 02:01

gagnéBonsoir !

Je propose comme solution :
AB = 4
BC = 5
AC = 6

Merci pour l'énigme

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 112 : les trois îles 07-06-09 à 22:03

perduBonjour jamo, bonjour à tous

Bien que je ne sois pas sûr de ma réponse, je propose problème impossible.

Bien à vous tous.

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 112 : les trois îles 07-06-09 à 22:09

perduPS : merci pour l'énigmo.

Posté par
_Michel
re : Enigmo 112 : les trois îles 07-06-09 à 22:42

perduCet exercice est génial! Merci de proposer des enoncés de cette qualité.

La solution que j'ai trouvé est (4; 6; 5).

L'angle en C vaut acos(3/4), et je pense qu'un triangle est solution si et seulement s'il existe un rationnel k strictement compris entre 1/2 et 1 tel que l'angle en C vaut acos(k).

Posté par
hypatie
re : Enigmo 112 : les trois îles 10-06-09 à 14:18

gagnéBonjour,

Je viens de m'apercevoir que dans ma démonstration, j'ai inversé A et B sur mon dessin et que est bien l'angle en C (et non en A)
Mais ça ne change rien à ma réponse.

Posté par
totti1000
re : Enigmo 112 : les trois îles 10-06-09 à 17:43

perduSalut Jamo,
Je propose AB=6, AC=4 et BC=5.

Posté par
evariste
re : Enigmo 112 : les trois îles 17-06-09 à 11:04

gagnéAB = 4 km
AC = 6 km
BC = 5 km

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 112 : les trois îles 18-06-09 à 21:33

Clôture de l'énigme

Je crois qu'il existe plusieurs familles de triangles semblables qui vérifient la propriété demandée.

Mais le triangle avec les plus petites longueurs a pour côtés : 4, 5 et 6. Cela se démontre de plusieurs manières plus ou moins élégantes et faciles.

Mais attention : étant donné que j'avais précise que c'est l'angle en B qui est la double de l'angle en C, la solution est unique : AB=4, AC=6 et BC=5.

Certains ont bien donné ces trois valeurs, mais pas pour les bons côtés ...

Et c'est donc manpower qui remporte le mois de mai.

Cela faisait 1 an qu'il n'avait plus gagné, alors bravo !

Posté par
veleda
re : Enigmo 112 : les trois îles 18-06-09 à 21:49

gagnébonsoir à tous
bravo manpower

Posté par
veleda
re : Enigmo 112 : les trois îles 18-06-09 à 22:23

gagnéet encore merci jamopour tous les enigmos du mois de mai qui furent variés et intéressants

Posté par
13or
re : Enigmo 112 : les trois îles 18-06-09 à 23:52

gagnéBravo manpower!
Merci à jamo pour les énigmos, et salut à tou(te)s les participant(e)s.

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 112 : les trois îles 19-06-09 à 11:00

gagnéBravo ManPower... Félicitations.

Et merci à l'équipe d'organisation.

MM

Posté par
manpower
re : Enigmo 112 : les trois îles 19-06-09 à 20:58

gagnéMerci à tous,

effectivement ça faisait longtemps et je suis évidemment très content...
mais un peu déçu par le dernier poisson du maître Nofutur2 car pour une fois j'étais compétitif au temps !

Enfin, un énorme merci à jamo pour toutes ces délicieux moment de détente.

Posté par
obrecht
re : Enigmo 112 : les trois îles 08-07-09 à 11:05

Bonjour à tous/
La ou les solutions doit ou doivent répondre aux critères suivants: --> Dans un triangle le plus grand côté doit être égal ou plus petit que la somme des deux autres.
La somme des angles d'un triangle est égale à un plat ou deux droits ou 180° ou 200 grades ou à [pi]radian.
J'ai posté une énigme aztèque dans la rubrique détente
Amusez-vous

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 112 : les trois îles 08-07-09 à 12:06

obrecht >> j'ai comme l'impression que tu es venu sortir cette banalité dans le seul but de faire une "pub" pour ton énigme posté dans le forum détente.
D'ailleurs, tu as procédé de même ailleurs.

Merci d'éviter de "polluer" ainsi inutilement les topics pour nous montrer que tu es là.

Posté par
Louisa59
re : Enigmo 112 : les trois îles 08-07-09 à 21:37

Bonsoir

Jamo le "multipost" n'est pas toléré

Je blague hein ! Excuse pour l'incrust

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 80:42:21.
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