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Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde

Posté par
jamo Moderateur
07-07-09 à 17:53

Bonjour,

un peu de géométrie, de la vraie !

Quatre couples se retrouvent autour d'une table ronde pour un repas. Les quatre femmes s'installent en premier en se répartissant un peu n'importe comment autour de la table.
Ensuite, chacun des quatre hommes s'installe entre deux femmes. Mais, désireux de rétablir un peu d'ordre, chaque homme se place exactement à la même distance de ses deux voisines.

Marcel et René, les deux voisins de Paulette, sont situés à 1,35m l'un de l'autre.
Jean-Paul et Arnold, les deux voisins de Denise, sont situés à 1,82m l'un de l'autre.

Question : Quel est le rayon de la table ? (précision au millimètre)

Si jamais vous pensez qu'on ne peut pas résoudre le problème, alors répondez "problème impossible".

Bonne recherche !

Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 18:08

perduBonjour Jamo.
La circonférence est le double de la somme des distances données.
Le rayon est la circonférence divisée par 2 pi, donc la somme divisée par pi : 1,009 m.

Ce serait un peu fort qu'il y ait des 'crabes' qui pensent que le problème est impossible

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 18:44

gagnéJe trouve un rayon de 1,133 m.

Posté par
dpi
les 8 convives 07-07-09 à 19:00

perduLa table est ronde et nous ne sommes pas en physique mais en géométrie donc homme et femmes seront considérés comme des points du cercle et non légèrement excentrés comme tout bon convive sur sa chaise. Nous obtenons un octogone non régulier  pour l'ensemble et deux quadrilatères pour les hommes et les femmes:
je trouve un diamètre de 1 120 ,7 mm

Posté par
LeDino
Vraiment étonnant 07-07-09 à 19:21

gagnéProblème très amusant... En apparence insoluble, mais ayant pourtant bien une solution, et très simple qui plus est !

Le rayon de la table est de 1,133 mètres (1133 millimètres).

Explication :
Si on déplace une seule dame (les trois autres restant fixes), on s'aperçoit que ses deux voisins pivotent du même angle : ils restent donc toujours à même distance.

Mais alors on peut s'intéresser au cas particulier où les quatre dames sont assises en seulement deux points différents. Et dans ce cas, deux messieurs occupent les mêmes places qu'elles, tandis que les deux autres se trouvent sur un diamètre du cercle. Mais alors le triangle qui relie les messieurs est rectangle, et on peut déduire l'hypothénuse par Pythagore :

(2R)² = 1.35² + 1.82²
Et donc R = 1.133 m

Merci pour cette super énigme.

Posté par
13or
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 20:02

gagnéSalut jamo!

Réponse : 1,133 m

Posté par
castoriginal
Enigmo 120: Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 20:06

gagnéBonsoir,

Suivant la figure ci-dessous, on considère les distances entre chaque convive L1,L2,L3,L4 puisque chaque homme se situe à égale distance de ses voisines.
En faisant abstraction des convives, on peut considérer que pour faire le tour de la table, on parcourt un quadrilatère de périmètre 2(1,35m + 1,82m). On peut intervertir le cheminement et l'on obtient un rectangle de côtés 1,35m x 1,82m
Le rayon d'un rectangle inscrit dans un cercle vaut R= (L2+h2))^0,5  
                                                                                           2
soit  R=(18202+13502)^0,5/2

finalement R=1,133m   soit R=1133mm
                                                                                                                                                                            

                                    
                                                                                            

Enigmo 120: Repas autour d'une table ronde

Posté par
jeni231
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 20:56

perdubonsoir,
R:rayon, D:diametre
R=D/2
*D=périmetre
périmetre=1.35*2+1.82*2=6.34

donc D=6.34/
et donc R=3.17/
merci.

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 21:03

gagnéBonsoir jamo

Merci pour cette énigme géométrique, ça change un peu

Pour la résolution j'ai utilisé le théorème d'Al-Kashi, et je trouve un rayon du cercle de R = 1133 millimètres[u][/u]  

Posté par
geo3
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 21:44

gagnéBonjour
Le rayon de la table = 113,3cm
A+

Posté par
veleda
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 22:26

perdubonsoir jamo,
je n'avais pas vu qu'il y avait de nouvelles énigmes.
si u,v,x,y sont les distances qui séparent Marcel,René,J-P et Arnold de leurs voisines féminines le périmètre  p de la table est égal à  2(u+v+x+y)
mais u+v=1,35m et x+y=1,82m=> p=2(1,35+1,82)m=2(3,17m)=2R si R est le rayon de la table donc R=\frac{3,17}{\pi}
R=1,009m à 1mm prés par défaut

merci pour cet énigmo auquel j'espère avoir répondu correctement

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 07-07-09 à 23:22

gagnéBonsoir Jamo

Le rayon de la table vaut, à mon avis, \sqrt{675^2+910^2} en millimètres
C'est à dire environ 1133 millimètres

MM

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 02:12

gagnéBonjour Jamo,

ma réponse: rayon de la table = 1,133 m

Posté par
dhalte
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 07:50

gagnéBonjour
r=\frac12\sqr{1.35^2+1.82^2}\approx1.133

Posté par
Sairus008
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 08:14

perduG crois q le rayon est 1009 mm car 1.35+1.82 est la moitier du perimetre de la table

Posté par
hypatie
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 09:44

perduBonjour,

Je propose R = 1,009 m.

J'ai supposé que les distances données sont définies en faisant le tour de la table, et non à vol d'oiseau.

Si on appelle l1 la distance qui sépare Marcel de ses voisines, l2 la distance qui sépare René de ses voisines, l3 la distance qui sépare Jean-Paul de ses voisines et l4 la distance qui sépare Arnold de ses voisines, on a :
d(Marcel, René) = l1 + l2 = 1,35 m
d(Jean-Paul, Arnold) = l3 + l4 = 1,82 m

Or, le demi tour de table R = l1 + l2 + l3 + l4 = 3,17 m
d'où le résultat.

Merci une fois de plus pour cette énigme sympa.

Posté par
bissextile
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 11:05

perduon appelle x la distance entre marcel et paulette, y la distance entre rené et paulette, z la distance entre jean-paul et denise et w la distance entre denise et arnold

on a donc x+y=135 (en cm)
et w+z= 182

On appelle P le périmètre du cercle

P= 2x + 2y+ 2w + 2z
(car il est égal à la distance entre marcel et paulette plus celle entre marcel et son autre voisine (qui est égal à la première) et cela pour tout les autres)

=>P= 2x + 2(135-x)+ 2w + 2(182-w)
<=>P=634 cm
Or dans un cercle on a P= 2*R*pi
donc R= P/2pi
      = 100.9 cm

Posté par
Maher_91
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 12:06

perdubonjour,
Problème impossible ; Chaque homme(supposé un point) forme avec le voisin de sa voisine un triangle isocèle de sommet O centre de la table (supposé un cercle) avec Ô=\frac{pi}{6}. or on ne peut pas trouver deux triangles isocèles de sommet \frac{pi}{6} et de deux cotés d'extrémité O égaux(deux rayons) mais de base différente.(1.35 et 1.82).
Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde

Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde

Edit jamo : image placée sur le serveur de l'ile, merci d'en faire autant la prochaine fois.

Posté par
Maher_91
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 13:47

perdugrosse erreur   Ô=\frac{2pi}{3} et non Ô=\frac{pi}{6}

Posté par
frapedur57
énigme 08-07-09 à 13:51

perdubonjour,

je trouve un périmèter de 12,68m.
Donc nous avons une table ronde donc son périmètre vaut
2 x x r = 12.68 m

Isolons 'r':

r =( 12.68 / 2 ) /
r = 6.34 /
r = 2.018 m à 1mm près.

En espérant que ce soit la bonne réponse.

Posté par
daxtero
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 14:11

perdu1009 mm

Posté par
lolo248
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 15:46

perduLe rayon de la table est environ 1,145 m

Posté par
LeDino
Explication en image... 08-07-09 à 15:59

gagnéL'explication en image...

Les dames sont notées D1, D2, D3, D4.
Les messieurs sont notés H1, H2, H3, H4.

Explication en image...

Posté par
torio
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 08-07-09 à 18:39

perdu1009 mm
= (1350+1820)*2/(2Pi)

J'ai considéré la distance "courbe" ( arc de cercle) qui
sépare deux personnes.

Posté par
Rudi
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 09-07-09 à 10:04

gagnéBonjour,

======== Réponse proposée ========

R = 1,133 m

Sauf erreur de raisonnement ou de calcul...

========= Méthode suivie ==========

Soit O le centre du cercle de rayon R recherché

Nommons les 4 points de l'énoncé par M pour Marcel, R pour René, P pour Paulette, J pour Jean-Paul, A pour Arnold et D pour Denise
Nommons les 4 angles a, b, c et d comme :
a = (OM, OP)
b = (OR, OP)
c = (OJ, OD)
d = (OA, OD)

On a alors 2(a+b+c+d) = 2pi soit (a+b)/2 = pi/2 - (c+d)/2

Exprimons la longueurs des cordes D=MR et L=AJ sous-tendues respectivement par les angles a+b et c+d :
D = 2Rsin((a+b)/2) d'où sin((a+b)/2) = D/2R
L = 2Rsin((c+d)/2) d'où sin((c+d)/2) = L/2R

de (a+b)/2 = pi/2 - (c+d)/2 on tire sin((a+b)/2) = sin(pi/2 - (c+d)/2) = cos((c+d)/2)

Elevons au carré :  sin²((a+b)/2) = cos²((c+d)/2) = 1 - sin²((c+d)/2) soit D²/4R² = 1 - L²/4R²

R = racine(D²+L²)/2 = 1,133 m

======== Remarque : valeurs entières de R ========

En prenant deux distances cathètes issues des triplets pythagoriciens non primitifs, par exemple D = 1,20 m et L = 1,60 m, on pouvait obtenir un rayon entier de valeur R = 1 m

======== Extension d'énoncé, poursuite de recherche =========

Avec les données de l'énoncé, déterminer la distance maximale entre deux femmes quelconques

( si je ne me suis pas trompé, cette distance ne peut excéder 1,083 m )

Rudy

Posté par
gagou2713
challenge 10-07-09 à 12:43

perduLe rayon de la table est 1m45

Posté par
jehanx
Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 10-07-09 à 18:05

perduSemble impossible sans un élément supplémentaire : la distance entre
2 voisins (Paulette-Marcel par exemple).

Posté par
cloraz01
reponse 11-07-09 à 23:32

perdule rayon est3.17/pi soit 1.009042

Posté par
pacou
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 15-07-09 à 09:45

perduBonjour, Jamo

Je propose un rayon de 1009 mm au mm près pour une circonférence de 6,34 m.

Merci pour l'énigmo.

Posté par
Kacs
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 15-07-09 à 17:49

gagnéLe rayon de la table est d'exactement 5 \sqrt{51349} \textrm{ mm}, soit environ 1133 mm.

Posté par
Tyvan
réponse à l'Eskimo n°120 16-07-09 à 02:45

perdu1009 mm, si "sont situés à 1,35m" signifie que les deux personnes délimitent un arc de cercle de 1,35m avec la table.

Si "sont situés à 1,35m" signifie que la distance (au sens cartésien sqrt((xa-xb)2+(ya-yb)2)) entre les deux est de 1,35m, alors je trouve un rayon de 1133 mm, mais ma méthode est incomplète et je ne suis pas sûr qu'il n'existe qu'une seule solution.

Si quelqu'un a une idée de calcul dans le cas des distances cartésiennes, elle est la bien venue.

A plus

Posté par
XJerem
reponse 16-07-09 à 15:51

perdula réponse est:

rayon = 2019mm

Posté par
1emeu
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 16-07-09 à 16:35

perduBonsoir,

ma réponse est "problème impossible" :
les distances entre Marcel et René et entre Jean-Paul et Arnold doivent être les mêmes

Merci pour l'énigme,

1emeu

Posté par
kiko21
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 17-07-09 à 10:44

perduBonjour,

le rayon de la table est de5$ \fbox{2,266 m

Pour la résolution, il suffit d'imaginer un gâteau avec 8 parts identiques deux à deux. On regroupe 4 parts différentes pour avoir la moitié du gâteau ce qui fait apparaitre un triangle rectangle de côtés 1,35m et 1,82m. On calcule alors l'hypoténuse qui correspond au diamètre.

Merci et A+, KiKo21.

Posté par
chouchoupu
reponse enigme 18-07-09 à 10:19

perduLe périmètre d'un cercle = 2*pi*rayon.
donc le rayon = périmètre/(2*pi)

Or le périmètre de la table ronde est :

1.35+1.82+1.35+1.82=6.34cm

rayon = 6.34/2*pi=2.17/pi= 0.69 cm = 6.9 mm

Posté par
integral
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 18-07-09 à 18:33

gagnéBonjour, le rayon de la table est 1,133 m au mm près
(c'est à dire \frac{\sqrt{1,35^2+1,82^2}}{2}).
Merci pour cette énigme

Posté par
manpower
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 18-07-09 à 21:23

perduBonsoir,

en considérant que la plus courte distance est la ligne droite (ici une corde), sinon le problème est trivial...

je trouve (sauf erreur) une solution unique avec un rayon d'environ 91,4 cm.

Merci jamo pour l'Enigmo.

PS: En fan inconditionnel d'Asterix, j'approuve totalement le choix de l'image.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 19-07-09 à 12:27

perduBonjour,

Ma réponse est 1,009 m

Posté par
evariste
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 19-07-09 à 19:25

gagnéle rayon est de 1,133 m

Posté par
gloubi
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 20-07-09 à 15:52

gagnéBonjour,

La table a pour rayon 1133 mm.

Merci pour l'Enigmo !  

Posté par
toddsalim
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 25-07-09 à 01:25

perduIl s'agit de trouver les zéros de la focntion F définie par :
F(x)=2*(arcsin(1.35/2*x)+arcsin(1.82/2*x))- pi qui n'admet pas de zéro dans \{0} mais seulement si x+

donc je dirai problème impossible à résoudre

Posté par
toddsalim
suite réponse 25-07-09 à 18:18

perduje dirai problème impossible à résoudre si on cherche une valeur exacte mais si on veut approcher la valeur du zéro de la fonction F en utilisant par exemple Maple on trouvera que la solution est: 1.13301588691 cm

Posté par
totti1000
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 26-07-09 à 01:47

gagnéSalut Jamo je propose 1133mm...

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 26-07-09 à 07:53

Clôture de l'énigme

La bonne réponse pour le rayon de la table est : 1133 mm

Beaucoup d'erreurs pour cette énigme !

Tout d'abord, il est dommage de confondre rayon et diamètre pour ceux qui ont utilisé une bonne méthode de résolution.

Ensuite, et j'ai été très étonné, beaucoup d'entre vous ont considéré que quand on parle de distance entre deux points situés sur un cercle, cette distance se mesure sur le cercle et non pas en ligne droite !!
A mon avis, ceux quoi ont fait ça l'ont fait dans le but de simplifier le problème.
J'attends de pied ferme les plaintes, mais je ne vois pas comment vous pourrez justifier ce choix (si j'avais pris une table carrée ou triangulaire, jamais vous n'auriez considéré que la distance se mesurait sur le bord de la table).

J'ai l'impression que certains ont utilisé des méthodes très compliquées pour arriver au résultat. Je livre donc une petite solution qui permettait de justifier que les deux distances que je donnais correspondaient aux côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le diamètre de la table, et cela sans passer par des fonctions compliquées et des calculs de trigo difficiles.

Sur la figure ci-dessous, j'ai noté G1, G2, G3, G4, F1, F2, F3 et F4 les filles et garçons. Pour respecter l'énoncé, deux angles de même couleur ont la même mesure.
Ainsi, on voit aisément que la somme des angles vus par les deux segments en rouge est égale à 180°.
Et donc, si on fait tourner le segment [G2G3] afin d'amener G2 sur G1, on obtient un triangle rectangle dont l'hypoténuse est égale au diamètre de la table.
Un petit coup de Pythagore, une division par 2, et c'est fini !

Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde

Posté par
manpower
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 26-07-09 à 22:36

perduBonsoir,

En fan inconditionnel d'Asterix, merci Ordralphabetix pour ton poisson pas frais (mais mérité)!

Bon, j'ai traité tout en vrac à mon retour de vacances et hop ça commence les boulettes... je ne sais pas bien comment j'ai pu trouvé mon résultat (faux), mais je suis bien d'accord avec les 1133 mm.

Posté par
kiko21
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 05-08-09 à 11:54

perduSalut,

Citation :
Tout d'abord, il est dommage de confondre rayon et diamètre pour ceux qui ont utilisé une bonne méthode de résolution.


Erreur de débutant !!
Bornéo qui va me chambrer...

Merci Jamo et A+, KiKo21.

Posté par
juliet74
re : Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde 31-10-09 à 13:57

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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