Bonjour jamo et merci pour cette énigme;
Je trouve une vitesse v=5.303 km/h
et un diamètre d=625 m.
La démonstration arrive...

Soit V la vitesse du bateau en km/min.
On a CD=V, AD=5V et BD=7V.De plus AB=0.5 etAC=0.5.
Le quadrilatère ABCD est inscrit dans le cercle donc d'après le théorème de Ptolémée,
soit 0.5x7V=0.5V+5VxBC
On en tire BC=0.6 km.
Le théorème d'Al Kashi dans ABC donne AB²=AC²+BC²-2ACxBCcos
avec ==
D'où 0.5²=0.5²+0.6²-2x0.5x0.6cos
Donc cos=0.6.

Al Kashi dans ABD donne AB²=AD²+BD²-2ADxBDcos
D'où 0.5²=(5V)²+(7V)²-2x5Vx7Vx0.6
On en déduit V=0.088388 km/min
ou encore v=5.303 km/h.

On a aussi
Al Kashi dans AOB donne AB²=AO²+BO²-2AOxBOcos(2)
Avec r=AO on a 0.25= 2r²(1-cos(2)
0.25=2r(1-(2cos²-1))
Au final on a r²=
On en tire r = 0.3125
Donc le diamètre du lac est 0.625 km.

Vitesse : 5,303 km/h
Diamètre : 625 m

Merci jamo pour l'énigmo !

faisons court:
vitesse du kayak de dimitri= 5 160 m/h
diamètre du lac =625 m

Bonjour Jamo.
La vitesse de Dimitri est 7,217 km/h (exactement 12,5/3).
Le diamètre du lac est 833 m (exactement 2500/3).

Soit a la vitesse en hectomètres par minute.
Théorème de Ptolémée :
5*7a + 5a = 7a*BC; BC = 8 (en hectomètres).
La hauteur du triangle isocèle ABC est (5²-(8/2)²) = 3; son aire est 12.
Le produit des côtés d'un triangle est égale à quatre fois le produit de son aire par le rayon du cercle qui lui est circonscrit :
200 = 4*12* rayon; rayon = 200/48; diamète = 400/48 = 25/3.

Soit C le point diamétralement opposé à C.
C'A = ((25/3)²-(15/3)²) = 20/3.
C'D = ((25/3)²-(3a/3)²)
Théorème de Ptolémée :
5a*25/3 = a*20/3 + 5*((25/3)²-(3a/3)²)
125a = 20a + 5*(625-9a²)
(105a)² = 25*(625-9a²)
11025a² = 15625-225a²
a² = 15625/10800
a = 125/(60*3)

Bonsoir Jamo,

ma réponse:



si Latex ne marche pas:
   vitesse = 5,303 km/h  diamètre = 625 m

Je trouve une vitesse de 5.303 km/h, et un diamètre de lac de 625m.
Avec ces valeurs, il faut 5.65685 minutes pour aller de A à B (et de A à C). J'ai déduit le rayon du cercle circonscrit au triangle DAB grầce à la loi des sinus: 2R = a*b*c/(2*S), avec S=racine( p * (p-a) * (p-b) * (p-c) ) où p est le demi-périmètre de DAB.

Bonjour,

Voici ma proposition : la vitesse de Dimitri est de 5,303 km/h et le diamètre du lac est de 625 m.

Tout d'abord, pour calculer le diamètre du lac, j'ai utilisé le théorème de Ptolémée : AC.BD = AB.CD + AD.BC
Avec les notations du schéma ci-dessous, ça donne bc = be + ad
D'où a = b(c-e)/d
Or, d'après les temps indiqués, on sait que d = 5e et c = 7e, donc a = 6b/5 = 600 m.
Si on appelle le demi-angle au sommet A, on a sin() = 0,6 donc OA = b/(2cos()) = 312,5, d'où le diamètre de 625 m.

Ensuite, en plaçant le repère d'une façon pratique (A sur l'axe des ordonnées), je cherche le point D(x,y) tel que d = 5e et c = 7e.
Je passe les calculs (je n'ai pas trouvé de méthode géométrique) et j'arrive à y = 0 et x = -312,5 (le triangle AOD est donc isocèle).
Cela donne finalement e = 88,388 m et on trouve une vitesse V = 60e = 5,303 km/h

Bravo une fois encore à Jamo ! C'était vraiment très motivant comme défi.

Bonjour

===== Réponse proposée =====

Vitesse = 5,303 km/h

Diamètre = 625 m


===== Méthode employée =====

Voyant que les coordonnées des points dans le plan donnaient des expressions complexes, je suis passé par les angles

Je positionne les points sur le cercle de centre O et rayon R où A(-R;0), B et C sont définis par les angles x et -x

Pythagore fournit AB²=AA'²+A'B² d'où R = 500/racine(2+2cosx)

x sera l'inconnue du problème, une fois connue x on déterminera le diamètre puis la Vitesse

Maintenant, je peux raisonner dans le cercle unité avec A(-1;0) et je fais une symétrie / Oy pour avoir des angles positifs facilement manipulables
Je pose enfin y l'angle relatif à D

J'exprime les cordes issues de D comme X=Corde(D,X) :
C = 2sin((y-x)/2)
A = 2sin(pi/2-y/2)=2cos(y/2)
B = 2sin((y+x)/2)

J'ai alors le système A=5C et B=7C, je pose z/2=y/2-x/2 et les majuscules sont les moitiés des minuscules
cos(Z+X)=5sin(Z)
sin(Z+2X)=7sin(Z)

Je développe et fais apparaître tan(Z)
tan(Z) = cos(X)/(5+sin(X)) = sin(2X)/(7-cox(2X)) qui fournit sin(X)=3/5 et tan(Z)=1/7 d'où

x=2arcsin(3/5)
y=pi/2



x connu, on déduit R et le diamètre (une pensée à kiko21) et, s'il faut 5 minutes pour aller de D à A = R.racine(2), V = (0,625/2)racine(2)/(1/12) =  5,3033008 km/h

Sauf erreur de calcul ou de raisonnemnt

Joli Problème qui pouvait prendre du temps si l'inconnue était mal choisie

Rudy

Bonjour, Jamo  

J'obtiens une vitesse de 5,303 km/h au m près et un diamètre du lac de 625 m au m près.



et intercepte le même arc de cercle donc

D'après la formule d'Al Kashi:
arccos

arccos

Je fais varier AD de façon à obtenir a₁-a₂ le plus petit possible et j'obtiens:
AD=441,94m
Soit V, la vitesse de Dimitri



D'après le théorème de l'angle inscrit, l'angle au centre:


D'après Al Kashi:












En espérant ne pas m'être plantée dans un calcul!_{ou autre chose}
Merci pour l'énigmo.

Bonjour,

personnellement, je trouve que la vitesse de Dimitri en kayak est de 5,2892 km/h

Le diamètre du lac est de 635,4m

bien à vous

Bonjour
Je trouve 2 solutions plausibles :
1.a)la vitesse de Dimitri = 5,303 km/h  b)le diamètre du lac = 625 m
l'autre serait
[ a)vitesse = 7,071 km/h et b)le diamètre = 833 m ]
A+

vitesse de Dimitri en kayak : 5,303 km/h
diamètre du lac : 625 m

Diamètre du lac : 625 m
Vitesse de Dimitri : 5,303 Km/h

A+
Torio

Bonjour,


Je trouve une vitesse de 5020,724 = 5021 mètres par heure, en utilisant l'arrondi au m/h
Le diamètre du cercle vaut par ailleurs D = 2068,33 = 2068 mètres avec l'arrondi au mètre

En espérant que certains arrondis utilisés n'aient pas faussé trop mes résultats...
Encore merci pour l'énigme

Bonjour,

merci pour cette énigme qui m'a fait travailler les méninges pendant 2 heures...

Je n'ai pas trop revérifié mais vu que je tombe sur des valeurs entières, je me dis que ca doit etre juste :

m
km.h

@+

Bonjour Jamo,

Quelques résultats sur les angles inscrits, l'angle au centre et le théorème d'Al-Kashi permettent d'obtenir ce que tu demandes...

Si je ne me suis pas trompé dans les calculs, on obtiendrait :

Une vitesse d'environ 5,303 km/h (valeur exacte )
et un diamètre de 625 m. (là, cela tombe "juste")

amicalement

MM

Vitesse : 5,303 km/h
Diamètre : 625 m

Alors, le lac a un diamètre d'exactement .

Quant à Dimitri, il se déplace en kayak à exactement , soit environ .

Bonjour,

Je trouve (graphiquement) :
1. Une vitesse de Dimitri en kayak de 5,303 km/h
2. Un diamètre du lac de 625 mètres

J'ai abandonné la résolution analytique avec les équations cartésiennes de cercles...

Merci et à+, KiKo21.

Bonjour,

La vitesse en kayak de Dimitri est de  5,303 km/h.
Le diamètre du lac est de  625 m.


J'ai posé :
alpha le demi angle de A à B,
beta  le demi angle de B à C,
gamma le demi angle de C à D,
delta le demi angle de D à A.
r : rayon
V : vitesse en kayak
Tda, Tdb, Tdc : temps pour les trajets DA, DB et DC.

On obtient 6 équations à 6 inconnues :
alpha + beta + gamma + delta = PI
2alpha + beta = PI

AB = 2.r.sin(alpha) = 500m
DA = 2.r.sin(delta) = V.Tda
DB = 2.r.sin(beta+gamma) = V.Tdb
DC = 2.r.sin(gamma) = V.Tdc

La résolution donne :
tg(alpha) = 4/3
tg(delta) = 1
... le reste en découle.

Merci pour l'énigme.

1. 5,303km/h (merci le théorème des angles inscrits et le théorème d'Al-Kashi qui n'est toutefois pas indispensable)
2. 625m (merci Descartes)

Bonjour,

  Notons la valeur de l'angle géométrique , r le rayon du lac, O son centre et v la vitesse de Dimitri en kayak.
Par le théorème d'AL KASHI dans les triangles ABC et DBC on a .
De plus, d'après le théorème de Ptolémée, soit
On a donc . Enfin, d'après les données de l'énoncé et la première équation, soit numériquement .
  Pour ce qui est du diamètre, sa valeur se calcule facilement (l'angle au centre valant ); On sait que et que
soit numériquement donc le diamètre du lac est d'environ 625 mètres.

Vitesse de Dimitri en Kayak , Diamètre du lac m.

_{Sauf erreur bien entendu}

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Intéressante Enigmo !

1) Vitesse de Dimitri: 5,289 km/h.
2) Diamètre du lac: 635 m.

A+  

Peut-être trop et faut mais je pense avour touvé quelque chose.je n'ai pas pu vous envoyer le raisonnement;car je pense n'avoir pas de logiciel pour cela.
Néanmoin,je trouve:
vitesse=15km/h
diamètre=707.10m

Diamètre = 553m  (553,40)
Vitesse = 4,009 km/h

Al Kashi ... un peu de trigono ...  et un peu de temps en fin de semaine...

Merci pour l'énigme

V_D=5,303km/h
diamètre:741m

angle ABD=angleACD inscrits interceptant même corde et du même côté
pythagore généralisé dans triangle ABD et dans triangle ACD
résolution du système de deux éq en éliminant les cosinus: on trouve v_D

dans triangle ABD
calcul de S par formule de Héron et par S = abc/(4R) où R=rayon cercle circonscrit
ce qui permet de trouver 2R=diamètre

Bonjour,
Voici les réponses que je propose :
1. 5,303 km/h
2. 625 m

Alors, jolie énigme, merci !!!

Dans la suite je raccourci les prénoms par leurs initiales, A, B, C, et D.

Avec le théorème de Ptolémée sur les quadrilatères inscriptibles, en utilisant la formule de Héron et le fait que le rayon du cercle circonscrit est égal à abc/4S (S la surface du triangle ayant pour côtés a, b et c), je trouve :

Le diamètre du lac : 5208.333333... mètres, soit 5208m au mètre près, solution unique.

Ensuite j'ai appelé "x" la distance CD. Donc AD=5x, et, tjs avec les mêmes formules dans le triangle ACD, j'obtiens un polynôme du 4e degré simplifiable en 2nd degré par un changement de variable (x² -> X).
Sauf que je trouve donc deux racines positives (plausibles) pour x. (sûrement qu'il y a deux dispositions possibles autour du lac selon les données de l'énoncé ?! je trouve ça bizarre qd meme).
x = 125m ou alors x = 83.333...m

Ce qui donne pour la vitesse du kayak les solutions : 7.5 km/h ou 4.998km/h pour l'autre disposition.

Si la vitesse du kayak n'a qu'une solution, et si elle se trouve parmi les deux que j'ai trouvées, pouvez-vous me dire pourquoi l'autre n'est pas valable ?

j'ai trouvé l'exercice particulièrement élégant car pas évident de prime abord et en réalité plus simple qu'il n'y parait...
allons-y et voyons si je ne me suis pas trompé...

donc nos 4 jeunes gens sont sur un cercle. les informations nous permettent de mettre des informations sur 2 triangles : ABD et ACD.
Il faut voir ici que les deux triangles ont un côté AD commun donc les angles ABD et ACD interceptant AD sont égaux.
allons voir Al kashi en se souvenant bien sur que v=d/t donc d=v.t :

dans le triangle ABD : AB=500 BD=7v et AD=5v
dans le triangle ACD : AC=500 CD=v  et AD=5v
donc on a :
on met tout du bon côté, on se fiche de la solution négative et on trouve : mètres/minutes
soit km/h = 5.3033 km/h

voila pour la vitesse.

pour le rayon du lac :
revenons dans le traingle ABD
le demi-perimètre p=(a+b+c)/2 et l'aire S=
et le rayon du cercle circonscrit au triangle
dans ce triangle :
p=780.3301m
S=1.0937e+005 m²
d'ou R=312.5000m

voila... merci

Bonjour
1. La vitesse de Dimitri en kayak est:
   88.38835 mètre/mn. Soit 5.303 km/h
2. Le diamètre du lac est 625 mètres.

Bonjour,

Je tente même si j'ai des doutes :

1.

[Précision de 1 m.h^-1=0,001 km.h^-1]

2.

[Valeur exacte, bizarre...]

En tout cas cette énigme m'aura permis de réviser mes cours de maths de 1ère (j'ai fait beaucoup de calculs avec les théorèmes d'Al Kashi, des angles inscrits dans un cercle, de colinéarité...). Merci !

En espérant un , @+

_{Au fait c'est Basile ou Balise ?}

La vitesse du kayak de Dimitri est 5,303 km/h
Le diamètre du lac est 625 m.

Très joli problème !

Bonjour
le diamètre est exactement de 625 mètres
la vitesse est approximativement de 5.303 km/h

Si O est le centre du cercle, on remarque que l'angle AOD est un angle droit.

Clôture de l'énigme

Voici les bonnes réponses :
Vitesse 5,303 km/h
Diamètre = 625 m

J'invite ceux qui n'ont pas donné ces valeurs à revoir leurs réponses, et à localiser leurs erreurs de calcul ou de méthodes.

Bonjour
Voici ma démonstration :
je m'étonne d'être le seul à trouver 2 voir 3 solutions .
|AB| = x = 500m  :  |AC| = z = 500m :  |BC| = y :  |BD| = b  :  |AD| = a :  |CD| = c
O est le centre du cercle ; BAC étant isocèle de sommet A OA ( = rayon ) coupe BC en M milieu  [BC] ( OA est médiarice )
a en 5 minutes => a = 5v
b en 7 minutes => b = 7v
c en 1 minute  => c = v  => a = 5c  et b = 7c
angle BCA = angle BDA =   ( angles inscrits ) et angle CBD = angle DBA =
Dans AMC rectangle en M AC.cos = MC  => cos = y/1000
Al Kashi  dans BDC =>
500² = a² + b² - 2abcos = a² + b² - 2aby/1000  
=> 500² = 25c² + 49c² - 70.y.c²/1000   (*)
Al Kashi  dans BCD et BDA  =>
CD² = c² = y² + b² -2yb.cos  => cos = (y²+b²-c²)/(2yb) = (y² + 49c² - c²)/(14yc) (1)
et c²= a² + 500² - 2.500.b.cos  =>  avec (1)  c² = 25c² + 500² - 5000c.(y² + 49c² - c²)/(14yc)   (**)
-
(*) et (**) donnent 2 équations à 2 inconnues dont les 3 solutions positives sont
y = 600 ; c = 88,3884  ( en 1 minute) => v = 5,303km/h et cos = 0,6 ...  => diamètre 833,3
et 2 autres que personne n'a trouvé
y = 800 ; c = 117,8511  ......
et y = 357.1428  ; c = 71,4285   ......

---> dhalte

Bonsoir,

j'ai reçu un poisson pour une réponse qui ne semble pas être bonne.

Il y a une chose qui me surprend très fort c'est que Gloubi a présenté exactement les 2 mêmes réponses que moi. Y aurait-il une autre solution que celle proposée par la majorité ?

D'autre part, en effectuant le tracé géométrique, à l'échelle, le quadrilatère ABCD est rigoureusement inscriptible dans un cercle de 635,4m de diamètre.

Quid ?

Bien à vous

Bonjour,

je retire mon message précédent, l'erreur vient d'un transfert de données:
nous avons pris BC = 7' au lieu de BD = 7'

Bien à vous

Bonjour
après une nuit de sommeil
en reprenant mon message du 23/08 à 21.33h où j'avais trouvé ( 3 lignes avant la fin )
1) y = 600 et c = 88,3884  ( en 1 minute) => c = v = 5,303km/h et cos = 0,6 => = 53°130  => angle MAC = 36°8698 => si N est le milieu de AC dans le triangle ONA on a NA = 250 et  OA = 250/cos36°8698 = 250/0,8 = 312,5  => diamètre = 625 m  ( et non diamètre 833,3)
*
pour y = 357.1428  ; c = 71,4285  cela ne convient pas car cos= (y²+b²-c²)/(2yb) = (y²-48c²)/(14yc) = 1,04285  > 1
*
par contre
pour y = 800 et c = 117,8511 => c = v = 7,071km/h ,les cos sont < 1 et cos= 0,8 => = 36°,869898  => (le complémentaire ) angle MAC = 53°13  => OA = 250/cos53°13 = 250/0,6 = 426,6667  => diamètre = 833,33 m*
et je ne vois pas pourquoi celle-ci ne pourrait pas convenir ????

A+

Bonjour,

> Rudi

Enigmo 120 : Repas autour d'une table ronde

Re
pour y = BC = 800m et c = 117,85m à l'échelle 100m = 1cm cela donne
A+

geo3 >>

ta figure est fausse
le point D est mal placé
  AC = 5cm
  AD = 5*CD = 5*1,178 = 5,89cm

  donc AD > AC et AOD est bien un angle droit
  ABD = 53,1302 - 8,1302 = 45°
  (et non pas 45 - 8,1302 = 36,8698°)

ta solution correspond à une position différente des 4 amis:
A, B, D et C quand on tourne autour du lac
ce qui est contraire à l'énoncé.

Bonjour
->
Daniel
Grand grand merci
en effet a = AD = 5c = 5*1,178 = 5,89 > AC
que je suis c...
je me doutais que c'était 1 truc comme cela
A+