Bonjour,
je ne sais pas pourquoi les mathématiciens ont l'habitude de mettre en scène des chèvres qui broutent du gazon pour des problèmes de calcul d'aires, mais je compte bien poursuivre ce rituel ...
Dans un pré, on a deux piquets distants de 5 mètres, représentés par les points jaunes dans le dessin ci-dessous. Après chacun de ces piquets, une corde de 5 mètres est attachée, et chaque corde est fixée au collier de la chèvre. Ces deux cordes sont les seules contraintes au déplacement de la chèvre.
On considère bien entendu les piquets et la chèvre comme des points.
Question : quelle surface la chèvre peut-elle brouter au maximum ?
Je veux la réponse en mètres carrés, avec une précision au décimètre carré, donc deux chiffres après la virgule.
Bonne recherche !
Bonjour Jamo
Je trouve une surface de mètres carré, en arrondissant au décimètre carré.
En espérant ne pas m'être trompé, merci pour cette énigme
Bonjour Jamo
Bon, donc, sauf erreur de ma part, la chèvre peut brouter une aire d'environ 30,71 m²
La valeur exacte étant
cordialement,
MM
bonjour,
ma réponse est 33.99 m²
la forme est visiblement une ellipse, j'en connais pas tro sur les ellipses mais j'ai trouvé une formule sur net qui peut me servir ;
R:le plus grand rayon de l'ellipse (ici est obtenu lorsque les 2 cordes sont tendues à fond)(R==4.33m)
r: le plus petit rayon (lorsque on relit l'extrémité d'une corde à l'autre piquet)(r=2.5m)
C:le cercle ayant le rayon le plus grand de l'ellipse
E : l'ellipse.
==33.99 m²
Bonsoir,
il s'agit de calculer l'aire définie par l'intersection de deux disques...
sauf erreur, elle doit valoir 50/3-12,53 soit au maximum environ 30,71 m², à la précision exigée (en espérant qu'il ne faille pas répondre 30,70 car le maximum est légèrement inférieur (30,709) et donc la chèvre ne peut brouter la totalité des 30,71... Bref!)
Merci pour l'Enigmo géométrique (encore!)
Celle-ci s'avère être assez simple, mais je soupçonne Jamo d'en cacher une autre (une suite? une ellipse?)
On a donc 2 cercle d'aire 78.53981634 m² chaqu'un soit un total de 157.0796327 m²
Dont on retranche l'aire de l'oval créer par ces deux cercle soit: 33.50755922m²
Soit un total de 123.5720735m²
Bonjour
========== Réponse proposée ==========
Surface maximale = 30,71 m²
========== Méthode suivie ===========
La surface cherchée est l'intersection des deux contraintes :
- surface accessible si la chèvre était attachée au poteau droit (pid²)
- surface accessible si la chèvre était attachée au poteau gauche (pid²)
dont l'intersection fait apparaître un triangle équilatéral de côté d et de hauteur d.racine(3)/2
Sous la figure ci-dessous, l'aire vaut deux fois ABC passant par A' et B'.
Cherchons S = ACB' = ABCB' - ABC = d².pi/6 - d².racine(3)/4 = d²(pi/6 - racine(3)/4)
Donc, la surface cherchée vaut 4S+2d².racine(3)/4 = (2pi/3 - racine(3)/2)d²
sauf erreur de calcul ou de raisonnement
Rudy
Bonjour,
Voici ma réponse :
La chèvre peut brouter au maximum une surface d'environ 30,71 m².
Démonstration :
La surface que la chèvre peut brouter est rerésentée en jaune sur la figure ci-dessous. Elle est égale à 4 fois la portion jaune foncée. A l'aide d'un intégrale cete portion a pour aire environ 7,68 m² d'où le résultat.
Merci !
Bonjour,
La superficie couverte est l'intersection des 2 disques dont les centres sont les piquets et de rayon 5, soit 15,35 m²
( 100-753 ) / 6 = 30,71 m²
Il s'agit de l'aire de l'intersection entre deux cercles de rayon 5m dont les centres sont distant de 5m.
Alors on s'y jette...
s'il n'y avait qu'une seule corde et qu'un piquet, la chèvre nous ferait un formidable cercle. Hors il y en a 2 donc c'est en fait l'intersection des deux cercles chacun étant centré sur un piquet et de rayon 5. en fait, la surface est symétrique donc on va s'intéresser qu'à un coté.
Donc la portion de cercle qui nous intéresse :
cos(T) = 5/2/5 = 1/2 d'ou T = PI/3.
donc l'aire vue dans le premier cercle vaut (5²/2)*(PI/3 + PI/3) = 5²*PI/3
le triangle que l'on doit soustraire H = 2*b*h/2 = b*h = racine(5²-(5/2)²)*5/2
Donc A/2 = 5²*PI/3 - racine(5²-(5/2)²)*5/2
d'ou A = 2*5²*PI/3 - racine(5²-(5/2)²)*5
on trouve donc A = 30.7092 = 30.71 m²
en espérant ne pas m'être trompé...
Merci
Bonjour,
La surface broutable au maximum est de 30.71 m².
Merci pour l'énigme.
Explication en image :
BONJOUR BONJOUR,
si j ai bien compris la question, on considere le pointC etant la chevre et les points P1 et P2 etant les deux piquets. on sait que P1-P2=5 metres et que C-P1=C-P2=5 metres
donc le triangle C P1 P2 est equilateral donc sont aire est b*h/2= [5*(53/2)]/2 ce qui donne 10,83 metres carré or la chevre peut allé des deux coté des piquets donc on a deux triangles equilateraux qui forment un losange donc on multiplie l aire du triangle qu on vien de trouver par deux ce qui donne une aire total de 21,66 metre carré
donc la chevre peut brouter 21,66 metres carrés d herbe
ps: je ne sais pas vraiment si c est bon car ca me parait un peu trop simple lol
C'est le calcul d'une ellipse: (en mètre)
sont petit rayon = 2.5*3
sont grand rayon = 5
La réponse exacte : *5*2.5*3 68.02 m²
bonjour Jamo,
aire broutée par la chèvre 30,71 m2
aire d'un secteur angulaire 25π/6
aire d'un triangle équilatéral 25√3/4
différence
25π/6-25√3/4=25(2π-3√3)/12
aire broutée
30,7092...
Bonsoir,
on peut dire que notre chevrier n'a pas beaucoup de sens pratique pour donner à sa chèvre un maximum de zone de pacage !
Avec ses deux cordes de 5m attachées au collier de la chèvre, il donne une surface à brouter qui est mathématiquement la lunule comprise entre les deux arcs de cercle de rayons 5m. ( voir tracé rouge sur la figure jointe) La surface vaut 30,7092 m2.
Par contre, avec la même longueur totale de corde (10m) mais avec un anneau en plus attaché au collier de la chèvre, il obtient une surface de broute de plus de deux fois la surface précédente. Voir tracé vert sur la figure jointe qui est une ellipse dont les foyers sont les piquets pour une surface de 68,015m2.
Encore mieux,(voir tracé bleu de la figure) avec le même matériel: une corde de 5m tendue entre les deux piquets avec l'anneau coulissant qui constitue un trolley et l'autre corde de 5m attachée à l'anneau et au collier de la chèvre. On obtient ainsi une surface d'herbe tendre à brouter de 128,54m2.
Bien à vous
Bonsoir,
Si R = 5 cm, en retranchant deux fois l'aire d'un secteur circulaire de rayon R et d'angle 60° à l'aire d'un triangle équilatéral de côté R, on obtient la moitié de la surface S cherchée.
Donc S = 2.[(pi.R²/3)-(R².√3/4)] = [(4pi-3√3)/6].R² 30,71 m²
Bonjour,
j'ai fait une erreur de géométrie en parlant dans mon message précédent de "lunule".
Il s'agit d'une "mandorle" puisque la surface est enclose entre deux arcs convexes; la lunule a une partie concave et l'autre convexe ! Belle image de mandorle ci-dessous
Bien à vous
Bonjour Jamo !
Merci pour l'énigme, c'était bien sympa
Ma réponse, arrondie au décimètre carré près, est 83,07 m2
Sauf erreur, évidemment
F.
Je suis parti du principe que la figure demandée contenait 2 triangles équilatéraux de cotès 5 + 4 "arrondis", c'est-à-dire 2 tiers d'un cercle de rayon 5 (6 triangles équilatéraus de cotès 5 et 6 "arrondis") - 2 triangles équilatéraus de cotès 5. Après c'est juste du calcul.
Je pense que l'on pouvait aussi calculer avec un intégrale, mais c'est plus difficile.
Bonjour Jamo,
La chèvre est attaché à deux cordes de 5 m chacunes, ces deux cordes sont fixées à des piquets distants de 5 mètres.
Avec une seul corde, la chèvre décrit un cercle, avec deux cordes, on aura deux cercles mais une corde l'empêche d'aller plus loin alors que l'autre corde sera détendu, donc on peut imaginer deux cercles de même rayon, l'un passant par le centre de l'autre.
La surface brutée au maximum sera l'aire occupé simultanément par ces deux cercles:
La surface en vert représente le tiers de la surface d'un cercle () et celle en bleu, le tiers de la surface d'un cercle auquel on a soustrait la surface d'un hexagone régulier inscrit dans celui-ci ()
sachant que le rayon est de 5 mètres,
La surface de l'hexagone est équivaut à deux triangles (ou un trapèze)
AN: Je trouve S=30,70924247 m²
et avec une précision au décimètre carré, donc deux chiffres après la virgule, on aura:
s=30,71 m²
Merci pour l'énigme
bonsoir, , je pense a une intersection de 2 cercles ce qui fait une surface de 30,71 m²
merci et a bientôt pour le poisson ou le smiley
La surface accessibles est l'intersection des deux cercles de 5m de rayon centrés respectivement sur chacun des bâtons...
30,70924247 m² ==> 30,71m²
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :