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Niveau 2 *
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Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
jamo Moderateur
08-11-09 à 11:06

Bonjour,

On dispose régulièrement sur un cercle 10 nombres strictement positifs et tous différents.

Ces 10 nombres sont tels que la somme des carrés de deux nombres consécutifs est égale à la somme des carrés des deux nombres qui leur sont diamétralement opposés.

Pour être plus clair, avec les nombres déjà placés sur le cercle, on a : 14²+8²=16²+2²

Question : trouver les six nombres manquants afin que la propriété citée ci-dessus soit vérifiée.
Pour la réponse, vous me donnerez la liste des nombres en partant de celui que vous voulez et en tournant dans le sens que vous voulez.

J'ai mis 2 étoiles pour la difficulté, mais je n'ai aucune idée de la réelle difficulté de cette énigme ...

S'il existe plusieurs solutions, une seule me suffira.

Bonne recherche !

PS : je vous rappelle l'événement du mois prochain : Prochaine énigme le jeudi 26 janvier entre 18h et 20h . Rassurez-vous, la plupart des sudoku que je proposerai seront plus accessibles que celui de l'énigme précédente qui aurait peut-être mérité 3 étoiles, voire 4 étoiles ...

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
integral
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 11:23

gagnéBonjour jamo, je trouve cette solution (à mon avis il y en a d'autres) :
14  8  26  13  49  2  16  22  19  47.

Posté par
dagwa
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 11:27

gagné(re)Bonjour,

je trouve 14-8-26-13-49-2-16-22-19-47 en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre et en partant de 14.

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 11:38

gagnébonjour Jamo

Je propose la série suivante :

14 - 8 - 49 - 13 - 26 - 2 - 16 - 47 - 19 - 22

cordialement

MM

Posté par
manpower
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 11:47

gagnéBonjour,

on commence par chercher des carrés dont la différence vaut 192,
les solutions étant les couples (13;19), (22;26) et (47;49), il ne reste plus qu'à les placer (au choix ou presque)...

Une solution parmi d'autres (dans le sens horaire)14-8-19-22-49-2-16-13-26-47

Merci pour l'Enigmo.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 11:48

gagnéEn tournant dans le sens des aiguilles d'une montre .
14-8-19-22-49-2-16-13-26-47-14-...

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 12:27

gagnéSalut !

Voici ma réponse :

La liste des nombre est : 14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47.

En fait il suffisait de remarquer que la différence des carrés de deux nombres opposés étaient toujours égale à 192. Ex: 16²-8²=14²-2²=192. En décomposant 192 en produit de deux facteurs (a²-b²=(a-b)(a+b)) on obtenait tous les couples possibles. Il y donc d'autres solutions, certaines avec des nombres non entiers et on peut permuter les couples de nombres opposés sur le cercle.

Merci !

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 12:32

gagnéBonjour Jamo.
Dans le sens des aiguilles d'une montre : 14 8 49 22  19 2 16 47 26 13
La différence de deux carrés opposés est toujours 192.
Les nombres sont alternativement les plus grands et les plus petits de leurs couples diamétraux respectifs.
Il y a six solutions.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 12:44

gagnéBonjour Jamo,

En commençant par la case rouge en haut à droite et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, je propose : 26 13 49 puis 22 19 47

Merci pour cette énigme plus reposante que la précédente.

Posté par
jojo43
réponse au probléme la ronde des carrés (enigmo 145) 08-11-09 à 12:57

perduEn partant du nombre 14 et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre on a:
14  8  16  2  14  2  16  8  14  2
        e   d   a         f   c   b          

j'ai fait correspondre les lettres a,b,c,d,e et f à des chiffres pour que l'on puisse comprendre de quel lettre je parle dans les équations.
  

Pour cela on résous les système suivants:

2² + a² = 14² +  b²
8² + e² = 16²+ f²
b² + c² = a² + d²
c² + f² = e²+ d²

Posté par
castoriginal
Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 13:31

gagnéBonjour,
voici une solution

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
geo3
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 14:19

gagnéBonjour
Voici ma solution
8, 14, 22, 19, 47, 16, 2, 26, 13, 49
A.

Posté par
rezoons
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 14:24

perduBonjour ,
pour résoudre cette énigme il suffit juste de trouver des couples d'entiers dont la différence de leurs carré est de 192 et de les positionner a l'opposé du cercle l'un de l'autre.Un petit programme a la calculatrice permet de les trouver. j'obtient comme résultat final:

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
LeDino
A² - B² = 192 08-11-09 à 14:30

gagnéBonjour,

A une permutation près, il se pourrait bien que la solution soit unique (5 paires d'entiers dont la différence des carrés vaut 192...).
Ma réponse :  14 8 19 22 49 2 16 13 26 47

Merci pour l'énigme.

A² - B² = 192

Posté par
Atea
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 14:42

gagnéBonjour,

Une solution : 14;8;19;22;49;2;16;13;26;47

Posté par
caylus
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 14:56

gagnéBonjour Jamo,

Partant de 8 dans le sens horlogique:

8 19 22 49 2 16 13 26 47 14
Merci pour l'énigme.

Posté par
Abelien
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 15:08

gagnébonjour

voici ma réponse, a lire dans le sens des aiguilles d'une montre:
14=>8=>19=>47=>26=>2=>16=>13=>49=>22

Posté par
perle_rarre
challenge 08-11-09 à 16:52

gagnéJe propose la réponse suivante :
14,8,49,13,26,2,16,47,19,22

Posté par
dpi
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 16:57

perduDans le sens des aiguilles:
8 49 22 19 2 16 1 26 13 14

Posté par
dpi
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 17:36

perdufaute de frappe 8 /49 /22/ 19 /2 /16 /47 /et non 1 /26 /13 /14

Posté par
leBreton
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 18:13

perdubonjour

en partant de 14 dans le sens direct je trouve :
14 2 14 2 16 2 14 2 14 8

Posté par
pacou
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 19:53

gagnéBonjour, Jamo


14\ \ 8\ \ \fbox{49}\ \ \fbox{22}\ \ \fbox{19}\ \ 2\ \ 16\ \ \fbox{47}\ \ \fbox{26}\ \ \fbox{13}

Merci pour l'énigmo.

Posté par
pymr
réponse 08-11-09 à 20:30

gagnéles nombres sont les suivant :
8
14
22
19
47
16
2
26
13
49

J'ajouterais, que l'ordre des paire n'a pas d'importance (mais le poids faible et le poids fort de chaque paire doit être alterné). La différence des carrés de chaque paire devant être de 192. Il n'existe pas d'autre paire donc la même énigme mais avec 12 ou 14 nombres n'airais pas de solution.

Posté par
Lilli
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 21:23

gagnéPlutôt facile cette énigme, si j'ai bien compris

Je trouve 14,8,49,13,26,2,16,47,19,22

Merci et bonne soirée

Posté par
Rudi
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 08-11-09 à 23:05

gagnéBonjour

====== réponse proposée ======

14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47

====== méthode suivie ======

8²+x²=16²+y²

(x+y)(x-y)=16²-8²=192=3*2*2*2*2*2*2

en appelant n et p les exposants de 2 on a 192=3.2^n.2^p avec n+p=6 soit 192=3.2^n.2^(6-n)

avec 0 <= n <= 6

d'où 2 systèmes selon la position du 3 :

x+y=3.2^n
x-y=2^(6-n)

et

x+y=2^n
x-y=3.2^(6-n)

soit
x=3.2^(n-1)+2^(5-n) 'courbe rouge plein
y=3.2^(n-1)-2^(5-n) 'courbe rouge pointillés
et
x=2^(n-1)+3.2^(5-n) 'courbe bleue plein
y=2^(n-1)-3.2^(5-n) 'courbe bleue pointillés

Enigmo 145 : La ronde des carrés
Enigmo 145 : La ronde des carrés

il faut des valeurs de x et y entières et positives correspondant aux valeurs de n = 3, 4 ou 5

Le tableau de valeurs de sinequanon fournit les cinq couples :

Enigmo 145 : La ronde des carrés


(2,14) ; (8,16) ; (13,19) ; (22,26) ; (47,49) dont il suffit d'alterner les valeurs pour répondre à l'énoncé et obtenir une des solutions possibles :

14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47

sauf erreur, ce doit être les seuls 5 couples avec des nombres entiers positifs que l'on peut arranger de différentes façons , en alternant.

Rudy

Posté par
torio
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 09-11-09 à 09:14

gagnéSens des aiguilles d'une montre :

14
8
19
22
49
2
16
13
26
47



A+

Torio

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 09-11-09 à 09:47

gagnéBonjour Jamo,

Je propose:
14  8  19  22  49  2  16  13  26  47

c'était bien 2 étoiles...
Cela revenait à rechercher toutes les paires dont la différence des carrés valait 192... puis à combiner dans le bon ordre

Posté par
Francois86
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 09-11-09 à 10:40

gagnéBonjour,
En tournant dans le sens des aiguilles d'une montre et en partant du 14 :

14 8 19 47 26 2 16 13 49 22

Posté par
jolenul
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 09-11-09 à 11:54

gagnéBonjour

je pense à : 14  8  19  22  49  2   16  13  26  47

Pour un poisson ?
A bientôt et merci.

Posté par
borneo
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 09-11-09 à 12:06

gagnéBonjour,

14 8 26 47 19 2 16 22 49 13




Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
shboul
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 09-11-09 à 12:15

gagnéLa solution n'est pas unique... il y a des permutations possibles
on part du 8 et on tourne dans le sens horaire
8 19 22 49 2 16 13 26 47 14
Merci

Posté par
Ugreno
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 09-11-09 à 12:22

gagnéBonjour Jamo,

Voici ma réponse:

14 8 19 47 26 2 16 13 49 22

Merci pour l'Enigmo.

Posté par
ptitjean
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 09-11-09 à 16:22

gagnéBonjour,

Je propose
14 8 19 47 26 2 16 13 49 22

Pour résoudre l'énigme, on peut voir que deux nombres x et y diamétralement opposés sont tel que
(x+y)(y-x)=192=3*26
ce qui donne, en simplifiant par supposant que x et y sont des entiers naturels (ce qui n'es pas le cas dans l'énoncé), 7 possibilités pour les couples (x-y) et (x+y) qui sont:
(1,192), (2,96), (4,48), (8,24), (16,12), (32,6), (64,3)

Reste un simple système de deux équations à deux inconnues, où l'on peut voir qu'il faut que (x+y) et (x-y) soient paires si l'on veut que x et y soient des entiers positifs.

Cela nous donne les couples suivants pour (x,y) : (47,49), (22,26), (8,16), (2,14), (13,19)

Ptitjean

Posté par
eleos
Reponse 09-11-09 à 21:27

gagnéOn peut avoir le cycle:
14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47
(En tournant dans le sens indirect)
Il y a d'autres solutions

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 10-11-09 à 14:15

gagnéBonjour jamo,

14 8 19 22 49 2 16 13 26 47

Posté par
Simpom
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 10-11-09 à 15:03

gagnéMa toute première participation à un challenge !!

Alors dans le sens horaire, en partant du 14 déjà placé :
14, 8, 19, 47, 26, 2, 16, 13, 49, 22

Posté par
alfred15
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 10-11-09 à 15:53

perduBonjour,

ma réponse est la suivante :

Merci


PS : il y en avait plusieurs, par permutation des couples 13-19 et 22-26

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
kemlicz
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 11-11-09 à 22:38

gagnéBonjour
Voir l'image pour ma solution.
-----------------------------------------------------------------
Démonstration :
En fait on remarque que si X et Y sont sur une même diagonale (X > Y)
alors X² - Y² = 192
Il reste donc à résoudre cette équation. La factorisation donne :  
(X - Y)(X + Y) = 192
Il suffit de chercher les diviseurs de 192 :
Si on écrit 192 = 1 x 192, cela revient à résoudre le système X - Y = 1 ; X + Y = 192 : la solution est à virgule.
Les seules solutions entières sont :
  192 = 2 x 96 : on obtient : X = 49 et Y = 47
  192 = 4 x 48 : on obtient : X = 26 et Y = 22
  192 = 6 x 32 : on obtient : X = 19 et Y = 13
Il y a donc 3 couples de solutions pour trois "diamètres à remplir" sachant qu'un diamètre ne peut se remplir que d'une seule façon (Si X²-Y²=192 alors le diamètre est soit (X, Y) soit (Y,X) et ce choix dépend de ce qui est autour de ce diamètre donc il n'y a pas deux possibilités pour chaque couple (X,Y)).
Il y aurait donc (selon moi) 3!=6 solutions entières qui ne sont que des permutations de la première solution.

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
bil-out
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 12-11-09 à 02:04

gagné14   8   26   47   19   2   16   22   49   13

Posté par
gloubi
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 12-11-09 à 13:40

gagnéBonjour,

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Merci pour l'énigme  

Posté par
Poldenys
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 12-11-09 à 18:05

gagnéEnigmo 145

Salut jamo ,
ma proposition

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
thierry45mada
Mada192 13-11-09 à 11:41

gagnéBonjour.

Plutôt que de travailler sur le fait que la somme des carrés de deux nombres adjacents est égale etc... je travaille sur le fait que la différence des carrés de deux nombres opposés est constante, au signe près, et alternée quand on fait le tour du cercle.

C'est à dire, par exemple, que (a0²-a5²)=-(a1²-a6²)=+(a2²-a7²)=-(a3²-a8²)=+(a4²-a9²)

Disons ici que a0=14 et a5=2
Alors a0²-a5²=192

Les paires (x;x+n) de nombres cherchées sont telles que (x+n)²-x²=192
On trouve les paires (47;49), (22;26), (13;19), (8;16) et... (2;14)

Il y a donc un "certain nombre" de solutions, par permutation des paires ainsi trouvées.

Exemple de solution : 14 - 8 - 19 - 22 - 49 - 2 - 16 - 13 - 26 - 47
ou bien : 14 - 8 - 26 - 13 - 49 - 16 - 22 - 19 - 49
etc..

A plus

Posté par
ziousoft
* challenge en cours * 13-11-09 à 16:49

perdu* challenge en cours *

Posté par
dhalte
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 13-11-09 à 22:15

gagnéBonsoir

14 8 19 22 49 2 16 13 26 47


Pour indication, les autres solutions sont

14 8 19 47 26 2 16 13 49 22

14 8 26 13 49 2 16 22 19 47

14 8 26 47 19 2 16 22 49 13

14 8 49 13 26 2 16 47 19 22

14 8 49 22 19 2 16 47 26 13

Posté par
midou71
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 14-11-09 à 12:30

perdubonjour,
   je commence par le numero 14 qui est dans une case bleue:
14  8  14  8  14  2  16  2  16  2  

Posté par
totti1000
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 14-11-09 à 17:05

gagnéBonjour Jamo,
voici ma proposition :
19-47-26-13-49-22.

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
lo5707
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 15-11-09 à 20:54

gagnéBonjour

On met tout ça en équations
On arrive à 3 équations du type : (x+y)(x-y)=192
192 peut se décomposer en 7 produits de 2 naturels.
Ce qui aboutit à 5 couples, interchangeables sur le cercle :
(13;19) (2;14) (8;16) (22;26) (47;49)

Voici une solution :
Enigmo 145 : La ronde des carrés

Dans le sens des aiguilles d'une montre : 14-8-19-47-26-2-16-13-49-22


Merci pour l'énigme

Posté par
Laje
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 16-11-09 à 16:23

gagné14 / 8 / 19 / 22 / 49 / 2 / 16 / 13 / 26 / 47

Posté par
athrun
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 17-11-09 à 19:36

gagnéBonsoir Jamo, merci pour cette énigme.

J'ai fait ça à la bourrin sans technique particulières :-/

Enigmo 145 : La ronde des carrés

Posté par
Tolokoban
re : Enigmo 145 : La ronde des carrés 18-11-09 à 16:23

gagnéDans le sens des aiguilles d'une montre, on a les valeurs de la roue suivantes :
14, 8, a, b, c, 2, 16, d, e, f

Comme la somme des carrés des paires opposées doit être égale, on arrive
à ces contraintes (après simplification du système d'équations) :
a*a = d*d + 192
c*c = f*f + 192
e*e = b*b + 192

Il nous faut donc chercher des carrés tels que si on leur ajoute 192 on a encore des carrés.
La distance entre x au carré et son carré immédiatement suivant est :
(x+1)*(x+1) - x*x = 2x + 1
C'est un nombre impair donc ce ne peut pas être 192 et deux carrés immédiatement consécutifs ne peuvent donc pas convenir.
Les plus proches carrés pouvant convenir auront alors une distance minimale de :
(x+2)*(x+2) - x*x = 4(x + 1)

Le plus grand carré pouvant alors convenir est tel que :
4(x + 1) <= 192
c'est donc x = 47

On peut donc se contenter de calculer les carrés des nombres entiers de 3 à 47 (puisque 2 et déjà utilisé) et on trouve seulement les solutions suivantes :

8*8   = 64   ; 16*16 = 256  = 192 + 64
13*13 = 169  ; 19*19 = 361  = 192 + 169
22*22 = 484  ; 26*26 = 676  = 192 + 484
47*47 = 2209 ; 49*49 = 2401 = 192 + 2209

On est donc sûr qu'il n'existe pas d'autre solution.

Les valeurs à mettre sur la roue dans le sens horaire sont :
14, 8, 19, 47, 26, 2, 16, 13, 49 et 22

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Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
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Temps de réponse moyen : 65:24:36.


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