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Niveau 3 *
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Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * *

Posté par
jamo Moderateur
03-04-08 à 21:41

Bonjour,

la première image ci-dessous représente un "interrupteur aléatoire". Celui-ci est constitué de deux électrodes entre lesquelles on trouve un réseau de trois carrés sur trois. Au sommet de chaque petit carré on trouve un petit trou.
On dispose de cavaliers qui permettent de relier deux petits trous qui sont situés sur une des deux diagonales d'un petit carré.

Enigmo 15 : L\'interrupteur aléatoire

La principe est le suivant : on place en tout 9 cavaliers, un par petit carré, en choisissant au hasard une des deux diagonales à chaque fois.
Si les deux électrodes sont reliées, alors cela ferme le circuit, et la lampe s'allume, comme par exemple sur la deuxième figure.

La question est la suivante : quelle est la probabilité pour que la lampe s'allume ?
Vous donnerez le résultat sous forme de fraction irréductible.

Bon courage !

Enigmo 15 : L\'interrupteur aléatoire

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 03-04-08 à 22:35

gagnéla probabilité que la lampe s'allume est 217/256

Posté par
ITMETIC
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 04-04-08 à 06:50

gagnéBonjour

Voici ma réponse 217/256

Posté par
veleda
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 04-04-08 à 07:08

perdubonjour,
il y a 29dispositions possibles des cavaliers et je n'en trouve que 24réalisant la connexion
d'où:la probabilité pour que la lampe s'allume est égale à24/29soit 1/32
j'espère ne pas avoir fait d'erreur

merci pour cet exercice de dénombrement

Posté par
rogerd
L'interrupteur aléatoire 04-04-08 à 11:46

perduBonjour Jamo;

ça se corse très vite!

Sur les 512 configurations possibles de l'interrupteur, j'en trouve 432 qui laissent passer le courant.

En supposant que ces configurations sont équiprobables, la probabilité pour que la lampe s'éclaire est donc de 432/512.

Sans utiliser de calculatrice, je trouve

la fraction irréductible 27/32.

Posté par
Tolokoban
27/32 04-04-08 à 12:13

perduOn a 512 possibilités pour les cavaliers.
En effet, deux positions sont possible pour chacun des 9 cavaliers,
cela ressemble à un nombre de 9 bits. Donc 9^2 = 512.

Et je trouve 432 positions gagnantes.

Donc la propabilité d'éclairer la lampe est de \fbox{\frac{27}{32}}

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 04-04-08 à 13:55

perdu La probabilité pour que la lampe s'allume est de 432/512, soit 27/32.

Posté par
matovitch
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 04-04-08 à 19:19

perduBonjour à tous!
Il y a 15 chances sur 16 pour que la lampe s'allume.

Posté par
matovitch
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 04-04-08 à 20:32

perdu(re)Bonjour !
Je me suis aperçu de mon erreur (sous la douche )
Il y a 241/256 chances que la lampe s'allume.

Posté par
jugo
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 05-04-08 à 00:22

perduBonjour,

J'ai analysé tous les cas (avec un petit coup d'excel), et j'ai trouvé que la lampe s'allumait dans 432 cas sur les 512 possibles.

La probabilité que la lampe s'allume est donc de 27/32.

Posté par
piepalm
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 05-04-08 à 12:13

perduAprès recensement, je pense qu'il y a 5 chances sur 32 que le courant ne passe pas, donc une probabilité de 27/32 que la lampe s'allume

Posté par
dhalte
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 05-04-08 à 15:17

gagnéBonjour,

il y a 4$ \frac{217}{256} chances que les deux cotés soient connectés.

Une liste des solutions à l'adresse suivante :

Je n'ai pas pu joindre l'image directement, celle-ci faisant 237 ko, 1640 pixels de large.

Les solutions de connexion sont en noir, les autres en rouge.

Deux cas particuliers sont signalés, ils imposent un retour en arrière dans le circuit suivi pour rejoindre les deux électrodes.

Ah : je n'ai pas tenu compte de la probabilité que la lampe soit claquée ou que la pile soit à plat.

Ma méthode pour déterminer les solutions est très algorithmique, alors que les puristes me pardonnent la méthode utilisée, entièrement informatique.
Je suis curieux de savoir s'il existe des approches plus systémiques, par classement par exemple.

Posté par
evariste
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 05-04-08 à 15:47

gagné217/256

Posté par
master_och
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 05-04-08 à 19:59

gagnéBonsoir Jamo

J'ai réolu par programmation, je trouve une probabilité de 217/256.
Le fichier exécutable du programme est ici .

merci bien pour l'énigme .

Posté par
junasp
et la lumière fut ... 07-04-08 à 14:29

perduSalut, voici ma théorie...

tout d'abord il y a 2 façons de poser chaque cavalier et 9 cavaliers en tout
donc 29 possibilités = 512

or je ne vois que 4*8 façons pour poser les cavaliers de façon ce que la lampe ne s'allume pas donc 32

d'où une probabilité de 32/512 = 1/16 ... bizarre mais je ne suis pas sure de moi ^^

bonne journée ...

Posté par
ThierryMasula
Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire 07-04-08 à 18:04

gagnéSur les 512 configurations possibles, 78 ne ferment pas le circuit.
La probabilité que la lampe s'allume est donc de 217/256.

PS: Désolé pour la mauvaise qualité du dessin joint...

Enigmo 15 : L\'interrupteur aléatoire

Posté par
gloubi
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 08-04-08 à 11:48

gagnéBonjour,

Parmi les 512 configurations possible, 434 allument la lampe.
La probabilité que la lampe s'allume est donc 434/512 = 217/256.

Merci pour l'énigme,
gloubi

Posté par
Labo
interrupteur aléatoire * * * 08-04-08 à 13:27

gagnéla lampe s'allumera  avec  la probabilité
1-39/256=217/256 avec un peu de chance!!!

Posté par
kiko21
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 08-04-08 à 19:19

gagnéBonjour,

Je trouve une probabilité pour que la lampe s'allume de 5$ \magenta \fbox{\textrm \frac{217}{256}}

Merci et A+, KiKo21.

Posté par
torio
L'interrupteur aléatoire 08-04-08 à 21:42

perduprob = 27/32  
A+
Torio

Posté par
chocwoman
l'interrupteur 09-04-08 à 14:26

perdubonjour
ma réponse est 87/256.
Il y en effet 174 facons de reliers les 2 électrodes sur les 2^9 facons de placer les cavaliers.
Or 174/2^9 =87/2^8 =87/256.

Posté par
toddsalim
salut 09-04-08 à 15:09

perdusalut

salut

Posté par
depassage
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 11-04-08 à 04:24

perduau pif !

1/2 xd

Posté par
radour
enigme 14 13-04-08 à 16:57

perdu1/16

Posté par
Yankee Zulu
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 13-04-08 à 20:13

perdu1/2

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 19-04-08 à 11:36

Clôture de l'énigme

Ouille !!! En voilà une énigme qu'elle était difficile !!

Sur les 512 possibilités, il y en avait donc 434 qui permettait de fermer le circuit, d'où une probabilité de 434/512 = 217/256.

Beaucoup ont fait une erreur en oubliant les 2 cas particuliers avec "retour en arrière" que dhalte a bien mis en évidence en image (voir ces 2 cas sur l'image ci-dessous, extraite de celle de dhalte). Ainsi, beaucoup n'ont trouvé que 432/512 = 27/32.
J'avais moi-même fait cette erreur au début. Moi aussi j'étais passé par un petit programme informatique, mais ma méthode de recherche ne m'a pas permis de trouver ces 2 cas particuliers.
Je suppose donc que ceux qui ont trouvé ce 27/32 ont fait la même erreur ...

En tout cas, félicitations à ceux qui ont trouvé !

Certains "champions" habituels viennent de chuter sur cette énigme, ce qui laisse encore sa chance à tout le monde de remporter ce mois d'avril ...

Enigmo 15 : L\'interrupteur aléatoire

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 19-04-08 à 11:50

bonjour

énigme traitable uniquement par programmation ou par excel ?

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 19-04-08 à 11:56

Bonne question, je voudrais bien savoir s'il existe une méthode par dénombrement "à la main" ...

Posté par
master_och
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 19-04-08 à 13:04

gagnébelle énigme! j'ai bien aimé .

Posté par
kiko21
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 19-04-08 à 19:15

gagnéBonjour,

> Jamo,

Citation :
Bonne question, je voudrais bien savoir s'il existe une méthode par dénombrement "à la main" ...

Oui, le dessin des 512 possibilités puis le repérage visuel des cas où ça ne marche pas (repérés en grisé)
Enigmo 15 : L\'interrupteur aléatoire
Enigmo 15 : L\'interrupteur aléatoire
78 cas où ça ne marche pas donc (512 - 78) = 434 cas où ça marche soit 434/512 = 217/256.
C'est ce que j'appelle la méthode "rouleau compresseur", tout en finesse !!

A+, KiKo21.

Posté par
rogerd
Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * 19-04-08 à 23:44

perduJe n'ai plus mes papiers sous la main mais je crains bien d'avoir effectivement oublié les deux cas particuliers.
Compliments à dhalte et kiko21 qui les ont mis en évidence!

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 20-04-08 à 09:53

salut kiko21

Bien entendu ma question était de savoir si une méthode autre que :
¤ le dénombrement "manuel",
¤ le programme informatique,
¤ un tableaur
était possible

Si, au lieu de 9 cavaliers, l'énigme avait stipulé ne serait-ce que 16 ou 25 cavaliers, je doute fort que le "à la main" soit humainement possible

D'ailleurs, serait-il possible de déterminer - si elle existe - la formule donnant la probabilité d'allumage en fonction de c = n² , le nombre cavaliers

P = f(n)

on a donc, f(3) = 217/256

y a-t-il des amateurs pour P(n) = f(n)
?

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 20-04-08 à 10:30

Sauf erreur, on aurait également :

P(2) = 1/4

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 20-04-08 à 10:50

Et P(1)=1

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 20-04-08 à 10:55

eh oui

on a donc

P(1) = 1

P(2) = 1/4

P(3) = 217/256


A vous

Posté par
ThierryMasula
Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire 23-04-08 à 20:41

gagnéJ'ai comme un gros doute pour P(2)...

Posté par
gloubi
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 24-04-08 à 09:56

gagnéBonjour,

Tout-à-fait, Thierry. P(2) = 7/8
Enigmo 15 : L\'interrupteur aléatoire

gloubi

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 24-04-08 à 10:36

Bon, la suite semble décroissante ...

Quelqu'un à une idée pour la limite ?

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 24-04-08 à 11:05

merci ThierryMasula et gloubi

on a bien P(2) = 7/8

et donc :

P(1) = 1

P(2) = 7/8

P(3) = 217/256


si on remarque que 217 = 7*31 et 256 = 8*64

ça "sent" les puissances de 2 ( 7 = 2^3 - 1 ; 31 = 2^5 - 1 ; 8 = 2^3 et 256 = 2^8 )

y'aurait-il pas une relation de récurrence du type,

P(k) = P(k-1)* f(k) ?

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 24-04-08 à 11:12

Ceux qui ont trouvé la solution à l'aide d'un petit programme devraient pouvoir facilement le modifier pour obtenir P(4), P(5), ...

Posté par
gloubi
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 24-04-08 à 13:51

gagnéBonjour,

J'intuiterais bien un truc style:

3$\rm P(n+1) = \frac{P(n)(2^{2n+1}-1)}{2^{n^2}2^{{(n+1)}^2}}  

Ou encore:

P(1) = 1

P(2) = (23-1)/23 = 7/8

P(3) = (23-1)*(25-1)/28 = 217/256

P(4) = (23-1)*(25-1)*(27-1)/215 = 27559/32768     

Naan, je rigole.
  

Posté par
dhalte
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 24-04-08 à 13:52

gagnéBonne question, j'essaierai de faire tourner mon "petit" programme ce soir sur les valeurs suivantes et vous tiendrai au courant.

Posté par
dhalte
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 24-04-08 à 22:27

gagné  54722 solutions sur 65536 positions.
  Recherche effectuée en 10 secondes.
  27858752 solutions sur 33554432 positions.
  Recherche effectuée en 2 heures 30.
Bof, ça n'apporte pas grand chose...

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 25-04-08 à 08:23

salut dhalte

tes deux valeurs, c'est pour n=4 et n=5 ?

aux dénominateurs, on reconnait (après simplification pour n=5) les valeurs 2^16 et 2^24

ton "intuition", pour n=4, n'est d'ailleurs pas trop fausse

0,841033935546875
au lieu de
0,834991455078125

quelques "retours en arrière" à ajouter...

Posté par
dhalte
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 25-04-08 à 09:23

gagnéOui, suite aux posts qui précèdent...

Evidemment, le dénominateur est 2^n ! Tes simplifications m'enchantent.

Ce ne sont pas mes intuitions mais celles de Gloubi, dont tu parles. Je n'ai aucune idée de l'existence de relations simples permettant de calculer les valeurs. Et donc ma recherche tendait à "vérifier" si les intuitions de Gloubi s'en trouvaient renforcées par les cas 4 et 5. Ca ne semble pas être le cas. Et je crois que Gloubi n'était qu'à moitié sérieux dans ses conjonctures

Pour ceux qui le souhaiteraient, je tiens mon algo (implantation vb.NET) à disposition.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 25-04-08 à 09:55

gagnéBonjour dhalte et mika,

Evidemment, ce n'était de ma part (le 24 à 13h51) qu'extrapolation fantaisiste.
Je me doutais bien que ce n'était pas si simple. Cela aurait été trop beau!

Posté par
dhalte
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 25-04-08 à 13:51

gagnéMais, nous sommes tous persuadés que les mathématiques recèlent des beautés cachées qui ne se dévoilent qu'à ses amants les plus assidus

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 25-04-08 à 13:53

ohhhhhhhhh joli ! dhalte

Posté par
matovitch
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 30-04-08 à 17:01

perdudhalte >> VB.net, je crois pas que ce soit le top niveau calcul !

Tout ceux qui font du VB sont des sous-programmeurs bien sûr!

Posté par
dhalte
re : Enigmo 15 : L'interrupteur aléatoire * * * 30-04-08 à 18:13

gagnéMerci, matovitch, je prendrai cela pour de l'humour au second degré. J'espère quand même que tu sais de quoi tu parles. Je serais déçu qu'un avis aussi tranché ne soit que de la frime.

Je précise que le langage n'est qu'un outil et que le travail (peut-être peut-on parler de création) réside dans la conception de l'algorithme.

Dans ce cas je laisse aux vrais programmeurs le soin de pisser du code avec le langage qu'il leur plait de vénérer et je me réserve la partie créatrice.

Salutations.

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