Bonjour

au vu des représentations graphiques de y = E(x) et y = (3x²+47)/35



on détecte 4 solutions que l'on va déterminer exactement :

a) E(x) = 2 et x>0
3x²+47=70
x= racine(23/3)

b) E(x) = 8 et x>0
3x²+47=280
x=racine(233/3)

c) E(x) = 9 et x>0
3x²+47=280
x=racine(268/3)

d) E(x) = 10 et x>0
3x²+47=350
x=racine(101)

A moins de ne pas voir le piège de cette 3*, il y a toujours le risque d'erreurs de calcul

Rudy

Bonjour ,
alors la la méthode du calcul pur je ne la connais pas
j'ai donc utliser la méthode bourrin.

de la on en déduit que x>0
ensuite on fait un tableau et on teste pour E(x)=1, pour E(x)=2 etc..

je trouve comme cela 4 solutions:

Je trouve 4 valeurs :(23/3),(233/3),(268/3),(101).

Les valeurs approchées sont 2,7689 ; 8,8129; 9,4516 ; 10,05.

Bonjour !

L'équation proposée admet 4 solutions : , , et .

Cordialement,

r².

Bonjour Jamo

Je dirais qu'il y a 4 solutions :

(23/3)
(223/3)
(268/3)
(101)

explications suivent...

MM

Bonjour,

je tente tous les nombres appartenants à [-((661)-35)/6;-((241)-35)/6[

mais également tous les nombres appartenants à ]((241)+35)/6;((661)+35)/6]

Salut Jamo,
Je propose , , et .

comme on a x-1 < E(x) x
on a
3x²-35x+47 3x²-35E(x)+47 < 3x²-35x+82
et donc si x convient, il doit vérifier 3x²-35x+47 0 ET 3x²-35x+82 > 0
grâce aux études de signe de ces quantités du second degré, cela permet de situer x approximativement dans : ]1,5 ; 3,3[ ]8,4 ; 10,2[
donc E(x) ne peut valoir que 1 ; 2 ; 3 ; 8 ; 9 ou 10
en analysant tous ces cas, on trouve les 4 solutions (le cas 1 débouche sur une impossibilité et le cas 3 donnerait (58/3) qui vaut environ 4,4 ... dont la partie entière ne vaut pas 3)

MM

Bonsoir,

Je trouve quatre solutions réelles, en notant "racine" la racine carrée :

racine(23/3)
racine(233/3)
racine(268/3)
racine(101)

Explication :

On pose x=i+u, où i=E(x) et 0<=u<1.
On développe et résout l'équation en u.
On ne garde que les solutions pour u comprises entre 0 et 1.
Il n'y a que quatre possibilités.

(Re)bonjour !

Voici le procédé que j'ai suivi.

Si est solution de l'équation, alors E.
On doit donc avoir

c'est-à-dire
et
En résolvant ce système d'inéquations, on trouve
ou .
Ainsi, en valeurs approchées,
ou .
Dès lors, les seules valeurs possibles de E sont 1, 2, 3, 8, 9 ou 10.
En remplaçant alors dans l'équation donnée, nous obtenons les équations






La première n'a pas de solution réelle et la troisième admet pour solution .
Comme cette solution ne satisfait pas au système trouvé plus haut, elle n'est pas solution de notre problème.
Les quatre autres équations donnent les solutions fournies dans mon envoi précédent, à savoir
, , et .

Cordialement,

r².

La méthode que j'ai utilisée consiste à encadrer E(x) par (x-1) et x.
On doit donc avoir :
3x²-35x+47 0 et
3x²-35x+820

Les valeurs à tester pour la valeur entière sont 1,2,3,8,9,10...On élimine 1 qui donne un carré négatif et 3 qui donne une solution supérieure à 4.

Bonsoir,

on peut montrer que f(x)=3x²-35E(x)+47 est strictement positive sur .

Sur [2,3[, f(x)=3x²-23 qui s'annule en .

Sur [3,4[, f(x)=3x²-58 qui s'annule en .

Sur [4,5[, f(x)=3x²-93 qui s'annule en .

Sur [5,6[, f(x)=3x²-128 qui s'annule en .

Sur [6,7[, f(x)=3x²-163 qui s'annule en .

Sur [7,8[, f(x)=3x²-198 qui s'annule en .

Sur [8,9[, f(x)=3x²-233 qui s'annule en .

Sur [9,10[, f(x)=3x²-268 qui s'annule en .

Sur [10,11[, f(x)=3x²-303 qui s'annule en .

Sur [11,12[, .

Au-delà de x=12, et il n'y a plus de solutions possibles.

Bonsoir
Je trouve x = (69)/3  ; (699)/3  : 2(201)/3  ; 101
*
j'ai cherché les x > 0  | 3x² + 47 soit un multiple positif de 35 ; cela marche pour 2, 8, 9, 10  * 35  en espérant avoir toutes les racines?
A+

Bonsoir,

sans finesse...
E(x)x<E(x)+1 soit x-1<E(x)x
avec les zéros des deux courbes encadrant notre fonction (3x²-35x+47 et 3x²-35x+82),
on en déduit que les seuls zéros possibles sont d'une part tels que <x0< et d'autre part tels que <x0<,

nous avons donc 6 candidats comme partie entière : n=1,2,3 et 8,9,10  (histoire de ne pas oublier de solution...)

Ensuite, au cas par cas:
n=1: solution imaginaire
n=2: : OK
n=3: de partie entière 4, donc refusée.
n=8: : OK
n=9: : OK
n=10: : OK

D'où finalement 4 solutions réelles : ; ; et

Merci pour l'Enigmo
^{(et pardon pour le manque de rigueur dans mon petit développement (par ailleurs peu élégant))}

salut

après avoir utilisé des outils modernes, mon esclave me montre que les solutions sont entre 2 et 3, 8 et 9 et 10 et 11
on a donc la partie entière de x

(rem sinon on fait "l'étude" de la fonction...)

on trouve (23/3), (233/3) et 101

pardon et entre 9 et 10 on a (268/3)

je regardais les gignols

et n'en voila un de plus....

mais bon si t'es cool, jamo mets moi un

que ça fasse jaser les autres et qu'ils crient à l'injustice

pourquoi tant de haine ??

Bonjour Jamo,

Je propose 4 solutions :








Pour la méthode, je n'en suis pas très fier : j'ai utilisé mon tableur et j'ai conjecturé à donf

Mais, promis, j'essaye de trouver une démonstration !

Bonjour Jamo,

4 racines trouvées par Sine qua none:

V(69/9), V(699/9), V(804/9), V101

Désolé pour la 176 mais je n'ai pas réussi à programmer le problème.

Bonjour.
L'unique solution est la racine carrée positive de 101.

Bonjour, en notant:
x1=(35-661)/6
x2=(35+661)/6
x3=(35-241)/6
x4=(35+241)/6
les solutions de l'équation sont les réels x tels que x[x1,x3[]x4,x2].
J'ai utilisé l'encadrement x-1<E(x)x.
Merci pour cette énigme, ça change des énigmes plus "ludiques" néanmoins intéressantes.

Bonjour,

Je propose 4 valeurs:
23 / 3 ==> ~2,768875
233 / 3 ==> ~8,812869
268 / 3 ==> ~9,451631
303 / 3 ==> ~10,049876

technique rapide:
graphe de 3*X^2+47
graphe de 35 E(x)

intersections pour 35 E(x) = 70, 280, 315 et 350

==> résoudre  3 x² = 35 E(x) - 47  pour ces 4 valeurs de 35 E(x)  (valeurs positives de x...)

Bonne soirée

Bonjour

Quatre solutions
Dans l'intervalle [2;3[ :
Dans l'intervalle [8;9[ :
Dans l'intervalle [9;10[ :
Dans l'intervalle [10;11[ :

Dans chaque intervalle [n;n+1[, le graphe de est un arc de parabole et
f(x)=0 est équivalent à

Pour x<2, on montre que f(x)>-35+47>0
Pour x [11;12[, on montre que f(x)>0
f(x+1)=f(x)+6x-32, donc pour x 12, on a f(x)>f(11)>0
Après, on calcule dans chaque intervalle [n;n+1[ pour n de 2 à 10 , et on ne retient que celles des valeurs qui sont comprises dans [n;n+1[

Bonsoir Jamo

Dans , l'équation a 4 solutions, à savoir:

Merci pour l'énigmo.

Comme promis, voici une démonstration digne de ce nom (du moins, je l'espère).

Tout d'abord, si x0 alors 3x²-35E(x)+47 > 0 donc il n'y a aucune solution négative ou nulle.

Notons E(x) = n > 0. On a donc n x < n+1.

On cherche avec E(x) = n, donc n < n+1

En mettant au carré et en développant, on obtient le système suivant :
3n²-35n+470
3n²-29n+500
dont on cherche les solutions entières.

De la première inéquation, on tire 2n10
De la deuxième, on tire n2 ou n8

En combinant les deux, il reste 4 solutions entières  possibles : n {2;8;9;10}, ce qui donne les 4 valeurs de x sus-mentionnées.

Merci beaucoup pour cette énigme.

Il s'agit de résoudre :

3x² + 47 = 35*E(x)

un graphique montre qu'il ya 4 solutions possibles :

la première est solution de        3x² + 47 = 70
la deuxième est solution de        3x² + 47 = 280
la troisième est solution de       3x² + 47 = 315
et la quatrième est solution de    3x² + 47 = 350

on trouve alors :

1ère solution :  x = (69) / 3 =  2.768874621

2ème solution :  x = (699) / 3 =  8.812869378

3ème solution :  x = 2*(201) / 3 = 9.451631253

4ème solution :  x = 101 = 10.04987562




A+

Torio

Bonjour,

Quatre solutions à cette équation:



Merci pour l'énigme !  

Bonjour,

les quatres réponses exactes sont :
; ; ;

Pour la démo, j'imagine que d'autres vont la donner

Merci pour l'énigme
Ptitjean

Facile pour les racines habituelles,mais pour respecter la valeur entiière,je trouve:

et

une solution :
101

Bonjour,

personnellement,j'ai trouvé 3 solutions:

x=2,768874621   E(x)=2

x=8,812869378   E(x)=8

x=10,04987562   E(x)=10

Le raisonnement est le suivant:
soit l'équation 3x² - 35 E(x) + 47 = 0 qui peut être mise sous la forme 35 E(x)-47=3x²
En donnant à x des valeurs entières successives, on obtient la valeur du premier membre.
On divise cette valeur par trois, puis on en tire la racine carrée. Les valeurs retenues sont celles  qui ont même partie entière.

Bien à vous

Bonjours,

J'ai utilisé simplement la méthode essai erreur puis on s'aperçoit vite que au delà de E(x)=10 il n'y a plus de solution.
Pour E(x)=k => x=sqrt((k*35-47)/3)
Donc:

E(x)=2 => x=sqrt((2*35-47)/3)=2.7688746209727 Ok!
E(x)=3 => x=sqrt((3*35-47)/3)=4.3969686527576 Faux
E(x)=4 => x=sqrt((4*35-47)/3)=5.56776436283 Faux
E(x)=5 => x=sqrt((5*35-47)/3)=6.5319726474218 Faux
E(x)=6 => x=sqrt((6*35-47)/3)=7.371114795832 Faux
E(x)=7 => x=sqrt((7*35-47)/3)=8.124038404636 Faux
E(x)=8 => x=sqrt((8*35-47)/3)=8.8128693776015 Ok!
E(x)=9 => x=sqrt((9*35-47)/3)=9.4516312525052 Ok!
E(x)=10 => x=sqrt((10*35-47)/3)=10.049875621121 Ok!
E(x)=11 => x=sqrt((11*35-47)/3)=10.61445555206 Faux
E(x)=12 => x=sqrt((12*35-47)/3)=11.150485789118 Faux
E(x)=13 => x=sqrt((13*35-47)/3)=11.661903789691 Faux
E(x)=14 => x=sqrt((14*35-47)/3)=12.151817422372 Faux
etc...
On voit que à partir de 10 x calculé ne suit plus E(x)

Les solutions de l'équation sont donc:
2.7688746209727
8.8128693776015
9.4516312525052
10.049875621121

Merci pour l'énigme

Bonjour Jamo,

Je propose les 4 solutions suivantes :

J'ai cherché un moment en voyant bien qu'on avait un "machin" continu par morceaux.
Puis, j'ai fait un tableau de valeurs. Allure générale d'une parabole qui se décale à chaque changement d'entier.
Graphiquement, il y avait des zéros entre 2 et 3, 8 et 9, 9 et 10 et 10 et 11.
Pour x<2 et x>11, l'allure générale montrait bien qu'on tendait vers l'infini. (3x² prépondérant)
J'ai donc réécrit l'équation en remplaçant E(x) par sa valeur.
J'ai donc obtenu 4 équations du type 3x²+b=0. Assez simples donc.
Mes résultats:
(23/3)
(233/3)
(268/3)
(101)
Je ne suis pas très fier de la technique employée, mais bon...
Merci Jamo.

Bonjour Jamo,

Bonjour,
Il y a 4 solutions réelles à l'équation : (23/3) , (233/3) , (268/3) et (101).

Ma méthode consiste à déterminer x en fonction d'un paramètre entier et utiliser des encadrements pour x (à partir de cet encadrement E(x) x < E(x)+1 qui définit la partie entière d'un réél unique entier tel qu'on ait ça) qui donneront des encadrements sur le paramètre entier qui donnera seulement quelques valeurs pour le paramètre entier.

En réécrivant l'équation sous cette forme : 35E(x)-47=3x² on voit que 3x² est un entier strictement positif car le membre de gauche est entier et le membre de droite est positif, strictement car 0 n'est pas solution, donc il existe k1 tel que 3x²=k donc
x=(k/3) x est positif car E(x)(47+1)/35>1>0 et xE(x).

E(x)=(3x²+47)/35=(3x²+12)/35-1 donc E(x)-1=(3x²+12)/35=(k+12)/35 qui est un entier1 car E(x)2 donc il existe n entier non nul tel que k=35n-12 donc x est de la forme ((35n-12)/3)avec n entier non nul.

Maintenant on cherche des encadrements de x :
On a E(x)-1 x-1 donc (3x²+12)/35 x-1  donc on a une inéquation du second degré 3x²-35x+47 0 donc le discriminant est strictement positif donc x  se situe entre les racines qui sont approximativement 1,5 et 10,1 ce n'est pas utile d'être précis ici.
On a même x2 car E(x)2.

On a E(x)+1 > x donc (3x²+12)/35 + 2 > x donc on a une autre inéquation du 2nd degré 3x²-35x+82>0 dont le discriminant est strictement positif donc x ne se situe pas entre les racines qui sont  approximativement 3,2 et 8,4 donc x<3,2 ou x>8,4.

En combinant les 2 intervalles de x on a 2x<3,2 ou 8,4<x10,1
Maintenant on peut encadrer n car x-2<n=E(x)-1x-1
Le 1er intervalle pour x donne 0<n2,2 soit puisque n est entier n=1 ou 2
Le 2e intervalle pour  x donne 6,4<n9,1 soit n=7 8 ou 9
A la calculatrice on regarde combien fait approximativement x=((35n-12)/3) suivant les que n vaut 1,2,7,8 ou 9 pour en déduire facilement les parties entières qui valent respectivement 2,4,8,9 et 10.
Pour n=1 x=(23/3)
     n=2 x=(58/3)
     n=7 x=(233/3)
     n=8 x=(268/3)
     n=9 x=(303/3)=(101)
On remplace dans l'équation de départ x par sa valeur facile avec 3x²=k=35n-12 et E(x) par les valeurs trouvées
on obtient
pour n=1 23-352+47=0
pour n=2 58-354+47=-35 donc pour n=2 x n'est pas solution
pour n=7 233-358+47=0
pour n=8 268-359+47=0
pour n=9 303-3510+47=0
On a ainsi 4 solutions à l'équation.
Merçi pour le problème

les solutions sont x=(23/3)^1/2 et x=(58/3)^1/2

Bonsoir,

Alors voila moi c'que j'en pense :

3x²-35+47 = 0

On calcul le discriminant :
= (-35)² - 4*47*3
    = 1225 - 564
    = 661
Comme >0, alors il y a 2 solutions :

x1 = (35-661)/6

x2 = (35+661)/6

Voila ^^.

3x² - 35E(x) + 47 = 0

a) si x est un relatif: x² - 35/3x + 47/3=0
   E(x) = x            (x - 35/6)² - 1225/36 + 47/3 = 0
                       (x - 35/6)² - 1131/36 = 0
                        x = 35/6 - R(1131/36) ou x = 35/6 + R(1131/36) mais alors x n'est pas entier
La supposition prélimin


                              

message coupé, mince

Racine de 101 marche.
Rapidement, il faut que E(x) = 3k + 1 (cela ne marche qu'à partir de 10)sinon 35E(x) - 47 n'est pas dans la table de 3
de plus x est une racine carrée.

Pour avoir to

Je trouve quatre solutions : , , et

Amusant !

Posons et ainsi notre problème revient à résoudre l'équation .
On a, pour , et donc
(On choisira de tel sorte que , ce qui permettra à notre équation d'admettre au moins une solution)
Dans ce cas notre équation devient:
donc ,
d'ou les solutions de notre équation sont:

Je pose E(x)=k, k est bien sûr entier.

on réécrivant l'équation, on trouve:
x =

comme on a : k x < k + 1
on obtient :
k
< k + 1

ce qui donne un système de deux inéquations:
3k² - 35k + 47 0
3k² -29k + 50 > 0

les solutions entières de ce système sont dans l'ensemble {8, 9, 10}

Après, on fait un étude de chaque cas:
par exemple, si k = 8 +
avec [0,1[
alors l'équation s'écrirait :
3(8+)² - 35.8 + 47 = 0
Il y a une seule solution possible, pour avoir x on rajoute x.

Voici mes solutions vérifiées:

[x] = 8 ==> x =
[x] = 9 ==> x =
[x] = 10 ==> x =

Bonjour,

3 x² - 35 E(x) + 47 = 0

Pas de solution.

3 x² est entier relatif ( = 35 E(x) - 47 )
Donc tout x solution est entier (facile à montrer à partir de 3 x² entier.)

L'équation est alors équivalente, si elle a une solution, à :

3 x² - 35 x + 47 = 0

qui n'a pas de solution entière.

Bruno

Bonjour

Résolvons l'équation 3x²-35E(x)+47=0 dans IR
On suppose que x est solution
E : x |->n où n≤x<n+1
Donc E(x)≤x et x<E(x)+1
<=> E(x)≤x et x-1<E(x)
<=> x-1<E(x)≤x
<=> -35x≤-35E(x)<-35x+35
<=>3x²+47-35x≤3x²+47-35E(x)<3x²+47-35x+35
Par conséquent 3x²-35E(x)+47=0
Donc 3x²+47-35x≤0<3x²+47-35x+35
D'où 3x²+47-35x≤0 et 3x²+82-35x>0

Soit P1 : x |->3x²+47-35x
Calculons le discriminant de ce trinome :
On a alors ∆=b²-4ac avec a=3, b=-35 et c=47
Donc ∆=1225-564=661>0 donc le trinôme a deux racines :
x1=(-b-√∆)/2a=(35-√661)/6
x2=(-b+√∆)/2a=(35+√661)/6
Comme a=3>0, alors 3x²+47-35x≤0 <=> x appartient à [(35-√661)/6;(35+√661)/6]

Soit P2 : x |->3x²+82-35x
Calculons le discriminant de ce trinome :
On a alors ∆=b²-4ac avec a=3, b=-35 et c=82
Donc ∆=1225-984=241>0 donc le trinôme a deux racines :
x1=(-b-√∆)/2a=(82-√241)/6
x2=(-b+√∆)/2a=(82+√241)/6
Comme a=3>0, alors 3x²+82-35x>0 <=> x appartient à ]-inf ;(82-√241)/6[U](82+√241)/6 ;+inf[

3x²+47-35x≤0 et 3x²+82-35x>0
<=>x appartient à [(35-√661)/6;(35+√661)/6] intersection ( ]-inf ;(82-√241)/6[U](82+√241)/6 ;+inf[ )
<=>x appartient à [(35-√661)/6;(35+√661)/6]
Donc 1≤E(x)≤10

Si E(x)=1, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-35+47=0 <=>3x²+12=0 <=>x²=-4, ce qui est exclu pour x réel
Si E(x)=2, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-70+47=0 <=>3x²-23=0 <=>x²=23/3 <=> x=√(23/3) car x>0
Si E(x)=3, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-105+47=0 <=>3x²-58=0 <=>x²=58/3 <=> x=√(58/3) , ce qui est exclu pour E(x)=3
Si E(x)=4, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-140+47=0 <=>3x²-93=0 <=>x²=93/3 <=> x=√(93/3) , ce qui est exclu pour E(x)=4
Si E(x)=5, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-175+47=0 <=>3x²-128=0 <=>x²=128/3 <=> x=√(128/3) , ce qui est exclu pour E(x)=5
Si E(x)=6, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-210+47=0 <=>3x²-163=0 <=>x²=163/3 <=> x=√(163/3) , ce qui est exclu pour E(x)=6
Si E(x)=7, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-245+47=0 <=>3x²-198=0 <=>x²=66 <=> x=√(66) , ce qui est exclu pour E(x)=7
Si E(x)=8, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-280+47=0 <=>3x²-233=0 <=>x²=233/3 <=> x=√(233/3)
Si E(x)=9, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-315+47=0 <=>3x²-268=0 <=>x²=268/3 <=> x=√(268/3) Si E(x)=10, 3x²-35E(x)+47=0 <=>3x²-350+47=0 <=>3x²-303=0 <=>x²=101 <=> x=√(101)

L'ensemble des solution de l'équation est donc {√(23/3) ; √(233/3) ;√(268/3) ;√(101) }

Bonjour,

je trouve quatre valeurs possibles pour x :
(69)/3
(699)/3
2(201)/3
101

Merci pour cette énigme.

Bonjour jamo,

Je trouve pour les parties entières 2 - 8 - 9 - 10 -

Pour 2 x=(69)/3 = 2,76....
Pour 8 x=(699)/3 = 8,81....
Pour 9 x= 2(201)/3 = 9,45....
Pour10 x=101 = 10,04....

Je trouve 4 solutions :