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Enigmo 184 : En voiture Simone

Posté par
jamo Moderateur
12-03-10 à 18:00

Bonjour,

Quand je m'ennuie, je prends ma "Jamo-mobile" et je m'en vais faire quelques tours avec.

Mais attention, ma voiture est munie d'un dispositif qui, dans un virage, permet aux quatre roues de rouler sans glisser, et donc de minimiser l'usure des pneus.
Expliquons tout ceci en détail.

Le dessin ci-dessous montre la voiture en vue de dessus, avec les phares jaunes à l'avant, et les quatre points de contact des roues avec la route : A, B, C et D. Le point G est l'intersection des diagonales du rectangle ABCD.
On prendra AB=1,5m et AD=2,2m.

Lorsqu'on tourne, les deux roues arrières restent fixes, et les deux roues avant s'inclinent, mais pas avec le même angle.
Les deux angles sont tels que les quatre pneus de la voiture roulent sans glisser, c'est-à-dire que les quatre pneus sont tangents aux trajectoires circulaires des points A, B, C et D, qui sont donc en rotation autour d'un seul et même point.

Question : si la roue en A est inclinée de 20°, quelle est l'inclinaison de la roue B et quel est le rayon de la trajectoire du point G ?
Pour la réponse, je veux :
- l'angle d'inclinaison x de la roue B, en degrés avec une précision au centième de degré ;
- le rayon de la trajectoire du point G, en mètres avec une précision au centimètre.

Bonne recherche !

Enigmo 184 : En voiture Simone

Posté par
pierrecarre
Énigme 184 12-03-10 à 18:25

gagnéBonjour !

Voici ma solution :

- l'angle : 16,26°
- le rayon : 6 m 88 cm

Cordialement,

r2.

Posté par
LeDino
Différentiel 12-03-10 à 18:34

gagnéBonjour à toutes et tous.

Ma proposition pour l'angle x au point B est :  16,26°.
Ma proposition pour le rayon au point G est :   6,88m.

Merci pour l'énigme .

Posté par
totti1000
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 18:35

perduSalut Jamo,
je propose un angle d'environ 13,67° et un rayon de 3,77 m.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 18:35

gagnéJe trouve un angle de 16,26° et un rayon de 6,88m.(arrondis bien sûr).

Posté par
LeDino
Explication 12-03-10 à 18:42

gagné
Explication du résultat proposé :

tg(xA) = AD/rD, permet de trouver rD.
tg(xB) = BC/rC, avec rC = rD + DC, permet de trouver xB.
RG² = (BC/2)² + (rD+DC/2)², permet de trouver rG.

Notations :
AD=BC=2.2m
DC=AB=1.5m
xA = angle au point A
xB = angle au point B
rD = rayon de giration au point D
rC = rayon de giration au point C
rG = rayon de giration au point G

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 18:48

gagnéBonjour Jamo


- l'angle d'inclinaison x de la roue B:

    4$\rm 16,26^\circ


- le rayon de la trajectoire du point G:

    4$\rm 6,88 m


merci pour l'énigme

Posté par
caylus
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 19:31

gagnéBonjour Jamo,

l'inclinaison de la roue B est de 16,25° par défaut
le rayon de la trajectoire du point G est 6,88 (m) par défaut.

signé Guy Lux.

Merci pour l'énigmo.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 19:35

gagnéBonjour Jamo,

Je pense que l'angle x=16,26° et que le rayon vaut 6,88 m.

Bonne route !

Posté par
pacou
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 20:11

gagnéBonsoir Jamo

L'angle d'inclinaison de la roue B est 16,26°
Le rayon de la trajectoire du point G est 6,88m

Posté par
dpi
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 20:16

perdubonsoir jamo
sans grande démo l'angle sera de 16 °48 et le rayon de rotation  6 m88

Posté par
geo3
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 23:13

gagnéBonsoir
Je dirais
x = 16,°25 par défaut
et
le rayon de la trajectoire du point G = 6,88 m par défaut

A+

Posté par
veleda
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 12-03-10 à 23:46

gagnébonsoir jamo

inclinaison de la roue B:16°,25 à un centième de degré prés par défaut
rayon de la trajectoire de G:6,88m à un cm prés par défaut

merci pour cet énigmo

Posté par
dpi
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 13-03-10 à 10:05

perduPrécision
avec une table plus précise ,l'angle apparaît à 16°26

Posté par
integral
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 13-03-10 à 16:56

perduBonjour jamo
Je trouve un angle de 11.24 degrés environ
et le rayon de la trajectoire de G est de 6.67 mètres.
Merci pour l'énigme

Posté par
torio
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 13-03-10 à 21:32

gagnéangle x = 16.26°
Rayon de la trajectoire de G = 6.88 m


A+
Torio

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 14-03-10 à 10:47

gagnéBonjour

angle x d'environ 16,257 °
rayon de courbure en G environ 6,88 mètres

enfin il me semble !

MM

Posté par
Louisa59
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 14-03-10 à 13:18

gagnéBonjour jamo

je tente :

Enigmo 184 : En voiture Simone

AD = 2,2 m   et AB = 1,5 m

angle E = angle A

tan Ê = AD/ED

Calcul de ED :

tan 20° = 2,2/ED

tan 20° = 0,363970234

ED = 2,2/0,363970234

ED = 6,044450327

du fait EC = 6,044450327 + 1,5 = 7,544450327

Angle BEC = angle B

Calcul de l'angle BEC :

Tan (BEC) = 2,2 / 7,544450327

Tan (BEC) = 0,291605075

Angle BEC = 16,25695238° = 16,26° (au centième de degrés)

l'angle d'inclinaison x de la roue B, en degrés avec une précision au centième de degré = 16,26°

(au centième de degré).


Calcul de BD :

BD² = AD² + AB²

BD²  = 4,84 + 2,25

BD² = 7,09

BD = 7,09

BD = 2,662705391

d'où GD = BD/2

GD = 1,331352696

après, calcul de l'angle BDA :

Tan(BDA) = 1,5/2,2

Tan(BDA) = 0,681818182

d'où l'angle BDA = 34,28687698°

J' ajoute 90° pour avoir l'angle BDE = 124,28687698°

Calcul de EG :

EG² = ED² + GD² - 2*ED*GD*cos(BDE)

EG² =  36,5353797 + 1,7725 - 2*6,044450323*1,331352696*cos(124,28687698)

EG² =  38,30787976 + (16,09459046 * 0,56336825)

EG² =  38,30787976 + 9,066675484

EG² = 47,37455524

EG = 47,37455524

EG = 6,88291764

EG = 6,88 m au centième

le rayon de la trajectoire du point G, en mètres avec une précision au centimètre.

= 6,88 m (au centimètre)


Voilà voilà !

Ben si je me suis pas trompée avec toutes ces décimales

Merci jamo

Louisa

Posté par
pass
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 14-03-10 à 16:16

perduAvec quelque manipulations sur geogebra  je trouve :
angle x = 13.67°
et le rayon de la trajectoire est 3.77m

Merci pour cette énigme !

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 15-03-10 à 00:07

gagnéangle= 16,26°
rayon= 6,88 m

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 15-03-10 à 13:21

gagnéBonjour,

L'angle d'inclinaison x = 16,2569...16,26°

Le rayon de la trajectoire de G est de 6,8829... 6,88 mètres

Bonne journée

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 15-03-10 à 13:44

gagnéBonjour,

L'angle en B est de 16,26° et le rayon de la trajactoire du point G et de 6,88m.

Démonstration
Soit O = le centre des trajectoires des points A,B,C,D et G.
O est nécessairement sur (CD) et l'angle DOA vaut 20°
Trigonométrie dans le triangle OAD => distance OD=6,04 => distance OC=7,54
Trigonométrie dans le triangle OCB => angle OCB=(angle x)=16,26°
I milieu de [CD]. OI=6,04+1,5/2 et IG=2,2/2 => Pythagore dans OIG => OG=6,88

CQFD

Posté par
Livia_C
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 15-03-10 à 14:14

gagnéBonjour,
16,256°
6,88 metres
Merci pour l'énigme

Posté par
1emeu
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 15-03-10 à 17:18

gagnéBonjour,

voici ma proposition.
L'inclinaison de la roue B est environ :  16.25695236 (16.26 en arrondi au plus près au centieme de degré).
Le rayon de la trajectoire de G est environ 6.882917636 m (6.88m en arrondi au centimètre le plus près).

Merci pour l'énigme,
1emeu

Posté par
Albertus
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 15-03-10 à 18:34

perduBonjour
R=43,25m
Alpha=16,26°
Bonne journée

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 16-03-10 à 09:17

perduBonjour jamo,

L' inclinaison de la roue B = 13,76° .

Le rayon de la trajectoire du point G = 3,77 m .

Posté par
gloubi
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 16-03-10 à 10:05

gagnéBonjour,

Inclinaison de la roue B : 16,26°
Rayon de la trajectoire du point B : 6,88 m, avec la précision demandée.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 16-03-10 à 16:24

gagnéRe-

Citation :

Rayon de la trajectoire du point B

Du point G, bien sûr !

Posté par
Rainbow14
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 16-03-10 à 19:32

gagnéEnigmo 184 : En voiture Simone

Soit O le centre du cercle en question, et \alpha l'angle de la deuxième roue recherché.

Dans ODH, une variante du théorème d'Al Kashi nous dit que : \frac{sin\widehat{DOH}}{DH}=\frac{sin\widehat{OAD}}{DO}
On obtient donc la longueur DO = \frac{sin\widehat{OAD} \times DA}{sin\widehat{DOH}}
d'où : OC = DO + 1,5

tan \widehat{OBC} =\frac{OC}{CB} = \frac{DO+1,5}{CB}

\widehat{OBC}= Arctan \frac{DO+1,5}{CB}

Donc : \alpha = 90 - \widehat{OBC} = 90 - Arctan\frac{DO+1,5}{CB}

Tous calculs fait on obtient : \alpha\approx16,257degrés

Soit H, le pied de la hauteur GH dans le triangle DGC, on donc HG = AD/2 = 1,1
Et ainsi OH = OD + DC/2 = OD + 0,75

Pour le rayon de la trajectoire du point G, On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle OGH rectangle en H:

OG^2 = HG^2 + OH^2
OG = \sqrt{1,1^2 + (\frac{sin\widehat{OAD} \times DA}{sin\widehat{DOH}}+0,75)^2}
OG = \sqrt{1,1^2 + (\frac{sin70 \times DA}{sin20}+0,75)^2}
OG \approx 6,883 m

Et voila le travail

PS: DSL pour la qualité d'image

Posté par
Rainbow14
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 16-03-10 à 19:44

gagnéexcusez moi, je viens de me rendre compte après une deuxième relecture que je me suis trompé au debut , c'est dans le triangle ODA et pas ODH, et c 'est l'angle DOA et pas DOH

merci d'avance de prendre en compte ces modifications qui sont de bonne foi

Posté par
fabipm
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 17-03-10 à 10:31

gagnéBonjour,

Voilà mes résultats :

- l'angle d'inclinaison x de la roue B, en degrés avec une précision au centième de degré = 16,26°
- le rayon de la trajectoire du point G, en mètres avec une précision au centimètre = 6,88m

Posté par
carpissimo
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 18-03-10 à 18:34

gagnéEn prenant "O" pour centre de rayon de la trajectoire on a :

L'angle d'inclinaison x de la roue B, en degrés avec une précision au centième de degré :

OAD = 70°
OD = tan (70°) x 2.20 = 6.0444… m
CBO = arctan (OC/CB)
Avec OC = OD+DC = tan (70°) x 2.2 +1.50
CBO = 73.743…°
Soit :
X= 16.2569…°
X = 16.26°

Le rayon de la trajectoire du point G, en mètres avec une précision au centimètre :

OG = √ ((OD+DC/2)² + (CB/2)²)
= √ ((tan (70°) x 2.20 + 1.50/2)² + (2.20/2)²)
OG = 6.8829… m
Soit :
OG = 6.88 m

Voila pour ma réponse
++

Posté par
evariste
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 19-03-10 à 11:54

gagnéL'angle d'inclinaison x de la roue B est de 16,26 degrés.
Le rayon de la trajectoire du point G est de 6,88 mètres.

Posté par
MaxCorp
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 21-03-10 à 09:34

perdux = 15.52°

Rayon = 3.21m

Posté par
Bibabel
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 24-03-10 à 13:15

perdux = 16,883 degrés
rayon point G = 6,883 mètres

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 184 : En voiture Simone 04-04-10 à 13:14

Clôture de l'énigme

Bravo à ceux qui ont trouvé.

Un peu de Pythagore et de trigo, et le tour était joué.

J'ai eu l'idée de cette énigme en lisant un sujet d'agrégation en mécanique :

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 59:32:20.


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