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Niveau 3 *
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Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires

Posté par
jamo Moderateur
21-03-10 à 16:28

Bonjour,

j'ai entendu parler d'élections "triangulaires" aujourd'hui.

Tout ce que cela m'a inspiré, c'est une énigme qui parle de triangle !
Voici donc une petite énigme assez mathématique, pour satisfaire les amateurs de géométrie une fois de temps en temps.

ABC est un triangle quelconque (non réduit à un point et non aplati).
I est le milieu de [AC] et J est le milieu de [BC].
Soit x un nombre strictement supérieur à 1.
On appelle M le point du segment [AB] défini par : AM=AB/x.
Les droites (AJ) et (IM) se coupent en G.
La droite (CG) coupe le segment [AB] en N.

Question : déterminer, en fonction de x, la valeur du nombre y tel que AN=AB/y.

Vous me donnerez l'expression la plus simple pour y.

La démonstration n'est pas demandée. Mais, pour ceux qui ont le temps et l'envie de le faire, ce serait bien de donner une démonstration, ne serait-ce que les grandes lignes.
Cela permettra de comparer les différentes méthodes utilisées, et de voir laquelle est la plus "élégante".

Bonne recherche !

Enigmo 186 : un dimanche d\'élections triangulaires

Posté par
dpi
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 17:12

gagnéBonjour jamo
Il semblerait que y =x+1

Posté par
LeDino
Bonjour 21-03-10 à 17:20

gagnéBonjour à toutes et tous.

Sous la pression chronométrique, et donc sans vérification...
... je propose :  y = x + 1

Je dirai merci pour l'énigme seulement si j'ai trouvé la bonne réponse ...
Nan je blague... merci pour l'énigme .

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 17:33

gagnéJe trouve y=x+1.
Je me sers de triangles semblables en introduisant l'intersection de IJ et CG.

Posté par
caylus
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 18:44

gagnéBonjour Jamo,
y=1+x  (par analytique).
Merci pour l'énigmo.

Posté par
hhh86
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 19:03

gagnéMa démonstration manque d'élégance, j'ai mis que les grandes lignes. Que du thalès. Je pensais faire de l'analytique mais bon, c'est à utiliser en dernier recours

D'après le théorème de Thalès :
IJ/AM=GJ/GA=GI/GM

Soit C'=(CG) inter (IJ)
D'après le théorème de Thalès :
IC'/MN=IG/MG=C'G/GN

D'après le théorème de Thalès :
JC'/AN=JG/GA=C'G/GN

Donc IC'/MN= JC'/AN
<=>(IJ-JC')/(AM-AN)= JC'/AN
<=>IJxAN= JC'xAM

D'après le théorème de Thalès :
JC'/NB=CJ/CB=CC'/CN
Donc JC'/NB=1/2
D'où JC'=NB/2

Par conséquent ABxAN=NBxAM
ABxAN=(AB-AN)xAM
ABxAN=ABxAM-ANxAM
(AB+AM)xAN=ABxAM
AN=ABxAM/(AB+AM)
1/AN=1/AM+1/AB
AM=AB/X et AN=AB/Y ==> Y=AB/AN=AB(1/AM+1/AB) =AB/AM+1=X+1


DONC Y=X+1

Posté par
pierrecarre
Énigme 186 21-03-10 à 19:03

gagnéBonjour !

Voici ma solution : y = 1+x.

Celle-ci a été obtenue en manipulant des triangles semblables.

Cordialement,

r2.

Posté par
carpediem
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 19:38

gagnésalut

y=x+1....

Posté par
carpediem
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 19:47

gagnéj'utilise le repère (A,B,C) et la colinéarité.....

en posant k=1/x (la notation "AB" désigne le vecteur AB)

AG=aAJ=a/2(AB+AC) et IG=bIM qui conduit à AG=bkAB+(1-b)/2AC permet d'obtenir a=2k/(2k+1) et b=1/(2k+1)

donc AG=k/(2k+1)[AB+AC] donc CG=k/(2k+1)AB-(k+1)/(2k+1)AC

en posant AN=tAB alors CN=tAB-AC

la colinéarité des vecteurs CN et CG conduit à t=1/y=k/(k+1) donc y=x+1

j'ai fait ça sur 5 morceaux de brouillon donc j'espère ne pas m'être trompé !!!....

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 20:17

gagnéBonjour Jamo,

Je pense que la relation est y=x+1 tout simplement.

Je posterai la démonstration un peu plus tard (je ne crois pas que je gagnerai le prix de l'élégance).

Merci encore pour cette énigme géniale.

Posté par
torio
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 20:17

gagnéy = x+1

A+
Torio



Méthode :

Vu la formulation de la question, le réponse ne dépend pas du triangle.
J'ai donc pris un triangle rectangle isocèle de côtés :  1,1 et rac(2).
et utilisé les équations des différentes droites.

x= 1/m   et y = 1/n

on arrive sur  n = m/(m+1)   donc  y = x+1

Enigmo 186 : un dimanche d\'élections triangulaires

Posté par
totti1000
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 21:00

gagnéSalut Jamo,
avec beaucoup de temps perdu, je propose y=x+1.

Posté par
LeDino
Démonstration 21-03-10 à 22:19

gagnéVoici mon approche pour arriver au résultat (y=x+1):

Connaissant mes limites, j'ai vite renoncé à une démonstration de géométrie pure, probablement plus élégante.
J'ai simplement posé le système de coordonnées suivantes :

A (0 ; 0)
B (1 ; 0)
C (u ; v)  avec u et v quelconques.

On en déduit :
M (1/x ; 0)
N (1/y ; 0)
I (u/2 ; v/2)
J (u/2+1/2 ; v/2)

G est à l'intersection de AJ et IM, donc :
(1) AG // AJ
(2) IG // IM

Et CGN sont alignés, donc :
(3) CG // CN

On pose G (XG ; YG). (1) et (2) permettent de trouver XG et YG en fonction de x, u et v.
Ensuite, (3) donne une relation entre y, XG et YG, et donc entre x,y,u et v.
Comme espéré, puisque la relation cherchée est supposée ne pas dépendre de la position de C, u et v s'éliminent et la relation entre x et y apparait.

(1) AG // AJ
XG.(v/2) = YG.(u/2+1/2)
==> XG = YG.(u+1)/v

(2) IG // IM
(XG-u/2).(v/2) + (YG-v/2).(1/x-u/2) = 0
==> YG = v/(x+2)
et  XG = (u+1)/(x+2)

(3) CG // CN
(XG-u).(-v) = (YG-v).(1/y-u)
==> y = x + 1

Posté par
geo3
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 22:23

gagnéBonsoir
Soit Q l'intersection de CN et de IJ
*
AGM est semblable à IGJ => IJ/AM = GI/GM => (AB/2)/(AB/x) = GI/GM  => x/2 = GI/GM
*
IGQ est semblable à MGN => IQ/NM = GI/GM => (AN/2)/NM = x/2 => AN/NM = x => (AB/y)/(AM-AN) = x  => (AB/y)/(AB/x - AB/y) = x  => x/(y-x) = x =>
y = x + 1
qui aurait cru
A+

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 21-03-10 à 23:14

gagnéBonsoir

Je dirais, sauf erreur de calcul de ma part,  y = x+1

(tout bêtement par l'analytique dans le repère (A,v(AB),v(AC)) où les équations des droites concernées sont simples)

MM

Posté par
Livia_C
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 22-03-10 à 13:23

gagnéBonjour,
y=x+1

Démonstration
IJ=AB/2

AM/IJ = AG/GJ => 2/x=AG/GJ              (1)

AN/OJ=AG/GJ (O = intersection de CN et IJ) => AB/(y * OJ) = AG/GJ    (2)

(1) et (2)  => 2/x = AB/(y *O J)     (4)

OJ/BN = CJ/BC => OJ = AB(y-1)/2y   (3)

(3) et (4) => y=x+1

Merci pour l'énigme

Posté par
pacou
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 22-03-10 à 18:05

gagnéBonjour, Jamo

Je propose: \fbox{y=x+1}

Puisque tu aimerais avoir une démonstration, en voici une en passant par les barycentres (en espérant que ce sera correct):

AM=\frac{AB}{x}  (avec\ x>1)  et M\in[AB]
Par conséquent:
x\vec{AM}=\vec{AB}
(x-1)\vec{MA}+\vec{MB}=0  

M bar{(A;x-1),(B;1)}
Par ailleurs, I bar{(A;1),(B;1)}  et  J bar{(B;1),(C;1)}

On pose un point K, tel que K bar {(A;x),(B;1),(C;1)}
En utilisant le théorème du barycentre partiel, je peux en déduire que:
D'une part:
K bar {(A;x-1),(A;1),(B;1),(C;1)}
K bar {(M;x),(I;2)} d'où K(MI)

D'autre part:
K bar {(A;x),(J;2)} d'où  K(AJ)

K est le point de concours des 2 droites (MI) et (AJ) donc K=G
par conséquent: G bar {(A;x),(B;1),(C;1)}

La droite (CG) coupe [AB] en N, on peut en déduire que:
G bar {(N;x+1),(C;1)}
puis que:
N bar {(G;x+2),(C;-1)}
N bar {(A;x),(B;1),(C;1),(C;-1)}
N bar {(A;x),(B;1)}

d'où :
x\vec{NA}+\vec{NB}=0
(x+1)\vec{AN}+\vec{AB}=0
\vec{AN}=\frac{1}{x+1}\ \vec{AB}  (avec\ x>1)

En conclusion: \fbox{y=x+1}  

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 22-03-10 à 20:33

gagnéComme je suis assez nul en géométrie classique et que les propriétés des triangles sont pour moi de grands mystères, j'ai opté plutôt pour la géométrie analytique.

J'ai pris comme repère le point A, le vecteur AB (qui sera donc unitaire) et un vecteur orthogonal à AB.

Les points ont donc les coordonnées suivantes dans ce repère :
A(0;0), B(1;0), C(xC, yC), I(xC/2, yC/2), J((xC+1)/2, yC/2), M(1/x;0), N(1/y;0)

Dans ce repère, les droites suivantes ont pour équation :
(AJ) Y=\frac{y_c}{x_c+1}X   (E1)

(IM) Y=\frac{y_c}{2-xx_c}(1-xX)   (E2)

(NC) Y=\frac{y_c}{yx_c-1}(yX-1)   (E3)

Le point G(X_G;Y_G) appartient à ces 3 droites.


En combinant (E1) et (E2) pour G, on obtient la relation \frac{Y_G}{y_c}=\frac{1}{x+2}

En combinant (E2) et (E3) pour G, on obtient la relation \frac{Y_G}{y_c}=\frac{x-y}{x-2y}

Une fois développé, cela mène à y=x+1

Je suis sûr qu'il y a des démonstrations bien plus élégantes. J'ai hâte de les lire.

Merci Jamo.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 22-03-10 à 21:00

gagnéBonjour Jamo.
y = x+1
Théorème de Ménélaüs
sécante (C-G-N) dans le triangle AMI : CI/CA * GM/GI * NA/NM = 1
sécante (C-G-N) dans le triangle JAB : CJ/CB * GA/GJ * NB/NA = 1
les premières fractions des produits égalent 1/2
les deuxièmes fractions sont égales selon le théorème de Thalès (la droite des milieux [IJ] est parallèle à [AC]
donc NA/NM = NB/NA
Attribuons l'unité de longueur à AB et posons x' = 1/x et y' = 1/y
ainsi x' = AM et y' = AN
NM/NA = NA/NB
NM/(NA+NM) = NA/(NA+NB)
NM/AM = NA/AB
(x'-y')/x' = y'
1 - y'/x' = y'
y' + y'/x' = 1
y' * (1 + 1/x') = 1
y' = 1 / (1 + 1/x')
passage aux inverses : y = 1 + 1/x' = 1+x

Posté par
veleda
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 23-03-10 à 06:30

gagnébonjour Jamo

je trouvey=x+1
par une méthode vectorielle banale qui je l'espère m'a donné la bonne réponse

merci pour cet énigmo et bonne journée

Posté par
pallpall
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 23-03-10 à 18:48

gagnéBonjour jamo,

j'ai utilisé la géométrie analytique en prenant le repère R : (A;\vec{AB} ;\vec{AC} ).

Puis j'ai déterminé les coordonnées de points dans ce repère : A(0;0) , B(1;0) , C(0;1) , I(0;1/2) , J(1/2;1/2) , M(1/x;0) et N(1/y;0).

Avec ces coordonnées, j'ai déterminé les équations des droites (IM) et (AJ) pour trouver les coordonnées de G : G(1/(x+2);1/(x+2)).

Enfin, j'ai calculé l'équation de la droite (CG), qui me donne, avec son intersection avec l'axe des abscisses du repère R, l'abscisse du point N : 1/(x+1).

Conclusion : y=x+1

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 23-03-10 à 18:59

gagnéRéponse : y=x+1

Thalès et encore Thalès ; on appelle 3$N' le point d'intersection de 3$CG avec 3$IJ :

1) 3$\frac{AN}{IN'}\ =\ \frac{CA}{CI}\ =\ 2\ \ \Rightarrow\ \ IN'=\frac12\cdot AN

2) 3$\frac{AN}{N'J}\ =\ \frac{AG}{GJ}\ =\ \frac{AM}{IJ}\ =\ \frac{AB/x}{AB/2}\ =\ \frac2x\ \ \Rightarrow\ \ N'J=\frac x2\cdot AN

3) et comme 3$IN'+N'J=IJ=\frac12\cdot AB, il vient immédiatement : 3$\frac12\cdot AN+\frac x2\cdot AN=\frac12\cdot AB

d'où la réponse.

Posté par
Francois86
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 23-03-10 à 22:40

gagnéy=x+1

Je me penche sur une démo maintenant ^^

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 24-03-10 à 15:08

gagnéBonjour Jamo

ma réponse:  4$\rm \fbox{y = x + 1}

    Enigmo 186 : un dimanche d\'élections triangulaires

par définition:

   4$\rm AM = \frac{AB}{x}

   4$\rm AN = \frac{AB}{y}


(IJ) (AB)

I est le milieu de [AC]

J est le milieu de [BC]

(IJ) est la droite des milieux

     4$\rm AB = 2*IJ

E est aussi le milieu de [CN]

     4$\rm AN = 2*IE

     4$\rm BN = 2*JE

Thalès dans triangle JGI et AGM

     4$\rm \frac{JG}{AG} = \frac{IJ}{AM}

   or on sait que:
    
     4$\rm IJ = \frac{AB}{2}

     4$\rm et AB = x*AM

   donc:

     4$\rm \frac{JG}{AG} = \frac{AB}{2*AM}

     4$\rm \frac{JG}{AG} = \frac{x*AM}{2*AM}

     4$\rm \frac{JG}{AG} = \frac{x}{2}

Thalès dans triangle JGE et AGN

     4$\rm \frac{JE}{AN} = \frac{JG}{AG}

   d'après la relation précédente:

     4$\rm \frac{JE}{AN} = \frac{x}{2}

     4$\rm AN = \frac{2*JE}{x} \fbox{1}  



4$\rm BN = AB - AN

4$\rm BN = AB - \frac{AB}{y}

4$\rm BN = AB(1 - \frac{1}{y})

4$\rm BN = AB(\frac{y-1}{y})

4$\rm BN = 2*JE = AB(\frac{y-1}{y})

4$\rm AB = 2*JE*(\frac{y}{y-1})

4$\rm AN = \frac{AB}{y}

4$\rm AN = \frac{2*JE}{y-1} \fbox{2}

4$\rm de \fbox{1} et \fbox{2} on en deduit y - 1 = x

4$\rm donc y = x + 1

Posté par
gloubi
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 24-03-10 à 15:09

gagnéBonjour,

y = x+1 (amusant )

Merci pour l'énigmo.  

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 25-03-10 à 12:58

gagnéBonjour,

Je propose y = x + 1

Bonne journée

Posté par
Labo
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 25-03-10 à 15:24

gagnéBonjour Jamo,
y=x+1
dans le repère (A,AB,AC)
équation de (IM)
Y=-0,5xX+0,5
équation de (AJ)
Y=X
coordonnées de G
\rm X=Y=\fr{0,5}{1+0,5x}
équation de (CG)
Y=-(x+1)X+1
abscisse de N
0=-(x+1)X+1
\rm X=\fr{1}{x+1}
 \\ AN=\fr{1}{x+1}\time AB=\fr{AB}{x+1}
y=x+1

Posté par
miley19
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 27-03-10 à 19:08

perdutriangle équilatéral

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 28-03-10 à 17:56

gagnéBonjour,

Voici ma réponse :

On a : y = x + 1.

Démonstration : J'ai choisi la méthode analytique, je pense qu'une méthode géométrique plus jolie existe !

On se place dans le repère (A,AB,AC). Je change les notations, j'écris que AM = AB/a et AN = AB/b.
On a :

A(0,0)  B(1,0)  C(0,1)  I(0,1/2)  J(1/2,1/2)  M(1/a,0)  N(1/b,0)

On calcule dans l'ordre :

Equation de la droite (AJ) : y = x
Equation de la droite (IM) : y = (-a/2)x + 1/2
Coordonnées du point G intersection de (AJ) et (IM) : G(1/(2+a),1/(2+a))
Equation de la droite (CG) : y = -(a+1)x + 1
Coordonnées du point N intersection de (AJ) et (AB) : N(1/(a+1),0)

Conclusion : 1/b = 1/(a+1) c'est-à-dire b = a+1.

Voilà merci !

Enigmo 186 : un dimanche d\'élections triangulaires

Posté par
technostar2008
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 28-03-10 à 22:07

gagnésalut tout le monde,
je propose comme solution: y=x+1et voici la démonstartion biévement:
en utilisant la Théoreme de Thalés on obtient:
K=(IJ)(NC)
IJ/AM=JK/NM
or, IJ/AM=AB/2AM et JK/NM=AN/2NM
AB/AM=AN/NM=x
et puisque N[AM] alors
\vec{NA+x\vec{NM=\vec{0
\vec{AN=x/x+1\vec{AM=1/x+1\vec{AB
d'ou
y=x+1
j'espére que cé la bonne
et merci jamo pour cette enigme

Posté par
integral
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 29-03-10 à 00:10

gagnéBonsoir jamo
Je trouve y=x+1.
Merci pour cette belle énigme.

Posté par
ptitjean
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 30-03-10 à 09:57

gagnéBonjour,

Je trouve que y=x+1

J'ai utilisé une méthode analytique dans le repère (A,\vec{AC},\vec{AB})
Pour éviter la confusion dans les paramètres, je remplace le x défini dans l'énoncé par
donc   est tel que AM=AB/
Les coordonnées des points A, B, C, I, J sont évidentes dans ce repère.
Les coordonnées de M sont (0,1/ )

Les droites (AJ) et (MI) ont respectivement pour équation y=x et y=-2x/ +1/
L'intersection des deux droites G a donc pour coordonnées ( 1/(+2) ; 1/(+2) )

On en déduit l'équation de (CG) : y=-x/(+1)+1/(+1) et ainsi les coordonnées de N (0 ; 1/(+1) )

D'où au final la relation AN=AB/(+1)

Merci pour l'énigme
Ptitjean

Posté par
shrike
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 03-04-10 à 15:41

perduBonjour,

Merci pour cette petite énigme.

Le plan est muni d'un repère (A;B,C).

AM=\frac{AB}{x}

AN=\frac{AB}{y}

Donc : y=x\cdot\frac{AN}{AM} (1)


1) On a donc : A(0;0) ; B(1;0) ; C(0;1) ; M(x;0) ; I(0;1/2) ; J(1/2;1/2).

2) On en déduit alors l'équation des droites (AJ) et (IM).
(AJ):Y=X

(IM):Y=-\frac{1}{2x}\cdot X+\frac{1}{2}


3) Détermination de G.

X=-\frac{1}{2x}\cdot X+\frac{1}{2}\Longleftrightarrow (1+\frac{1}{2x})\cdot X=\frac{1}{2}\Longleftrightarrow \frac{2x+1}{2x}\cdot X=\frac{1}{2}\Longleftrightarrow X=Y=\frac{x}{2x+1}

On a donc le point : G(x/(2x+1);x/(2x+1)).


4) On en déduit l'équation de la droite (CG).

\frac{x}{2x+1}=a\cdot\frac{x}{2x+1}+1

\frac{x}{2x+1}\cdot (1-a)=1

1-a=\frac{2x+1}{x}

a=1-\frac{2x+1}{x}=-\frac{x+1}{x}

L'équation de (CG) est donc : Y=-\frac{x+1}{x}\cdot X+1.


5) Détermination de N.

Y=0\Longrightarrow \frac{x+1}{x}\cdot X=1\Longrightarrow X=\frac{x}{x+1}

On a donc le point : N(x/(x+1);0).

6) Conclusion :


AN=\frac{x}{x+1}

AM=x

\frac{AN}{AM}=\frac{1}{x+1}


Finalement, d'après (1) :

y=\frac{x}{x+1}

En espérant ne pas m'être trompé...

Enigmo 186 : un dimanche d\'élections triangulaires

Posté par
Supernick
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 03-04-10 à 20:14

gagnéEn utilisant thalès + barycentres je trouve y = x+1 ?

Posté par
Supernick
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 03-04-10 à 20:30

gagnéDésolé de pas avoir pris les mêmes lettres que dans l'énoncé lol
On a évidemment I = Bar(B,1, C,1)
On a d'après le théorème de Thalès
DG/GA = ED/AF = x/2

2\times \vec{GD} + x\times \vec{GA} = \vec{0}
Ainsi G = Bar(I,2 A,x) = Bar(A,x B,1 C,1) = Bar(H,(1+x) C,1) (les droites (AD) et (HC) sont concourantes en G)
et H = Bar(A,x B,1)
On a alors

D'où x\times \vec{AH} + \vec{BH} = \vec{0} 
 \\ 
 \\ (1+x)\times \vec{AH} = \vec{AB}

Et on a directement le résultat en divisant par 1+x

Enigmo 186 : un dimanche d\'élections triangulaires

Posté par
Rainbow14
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 04-04-10 à 22:50

gagnéy=x+1

voili voilou, très interessant comme recherche, merci pour l'enigmo

Posté par
Jun
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 07-04-10 à 14:45

gagnéBonjour jamo,

Je note x=b (pour ne pas confondre avec ce x et l'abscisse x dans ma seconde idée) ainsi j'ai AM=1/b*AB

La première idée que j'ai eu en tête était de trouver géométriquement le coefficiant de colinéarité pour les vecteurs AN et AM; ainsi j'aurai AN=k*AM (vecteur) puis AN=k'*AB avec k'=1/b*k mais je n'ai pas réussi; donc j'ai eu l'idée de repère.

Soit le repère (A;AB(vecteur);AC(vecteur)
donc A(0;0); B(1;0); C(0;1); I(0;1/2); J(1/2;1/2) et M(1/b;0)

Le but est de trouver les coordonnées du point N

(IM):y= -b/2*x + 1/2

(AJ):y=x

(AJ) et (IM) se coupent en G
y=y
-b/2*x+1/2=x
xG=1/(b+2) (Il faut que b-2 donc acceptable car b >1)

yG=1/(b+2) donc les coordonnées de G sont (1/(b+2);1/(b+2))

(CG):y=(-b-1)x+1
(AB): y=0

N est le point d'intersection de (CG) avec (AB)
y=y
(-b-1)x+1=0
xN=1/(b+1)
yN=0 donc N(1/(b+1);0)

Or b>1; donc AN(vecteur)=1/(b+1)*AB(vecteur) et AN=1/(b+1)*AB

Par hypothèse, on a: AN=AB*1/y
donc y=b+1

Je serai aussi partant pour une énigme de géométrie dans l'espace

Merci jamo pour l'énigme

Posté par
Jun
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 07-04-10 à 14:54

gagnéUne petite erreur de frappe:

'' La première idée que j'ai eu en tête était de trouver géométriquement le coefficiant de colinéarité pour les vecteurs AN et AM; ainsi j'aurai AN=k*AM (vecteur) puis AN=k'*AB avec k'=k/b mais je n'ai pas réussi; donc j'ai eu l'idée de repère. ''

Posté par
Petro_Junior
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 08-04-10 à 16:07

gagnéBonjour jamo,

Je trouve y=x+1

Merci

Posté par
dhalte
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 11-04-10 à 10:06

gagnéBonjour

y=1+x

Bonne vieille méthode analytique
repère (A,\vec{AB},\vec{AC})
M=(\frac1{\lambda},0) (pour ne pas confondre le x de AM=\frac{AB}x et ceux des équations)
N=(\frac1{\mu},0) (pour ne pas confondre le y de AN=\frac{AB}y et ceux des équations)

droite (AJ) d'équation y=x
droite (IM) d'équation 2y=-\lambda x+1
Point G intersection de (AJ) et (IM), de coordonnées (\frac1{\lambda+2},\frac1{\lambda+2})
droite (CG) d'équation y=-(\lambda+1)x+1

donc \mu vérifie 0=-\frac{\lambda+1}{\mu}+1

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 11-04-10 à 21:29

gagnéBonjour,

y=x+1

Merci

Posté par
rezoons
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 12-04-10 à 12:21

gagnéBonjour ,
je trouve y=x+1

par contre pour la méthode j'ai tout passé en coordonnées ce qui fait des calculs a rallonge (surtout pour calculer les équations de droite) mais j'espère qu'il y a une méthode plus simple.
Avec les coordonnées ca donne:

A(0;0)
 \\ B(Xb;0)
 \\ C(Xc;Yc)
 \\ I(\frac{Xc}{2};\frac{Yc}{2})
 \\ J(\frac{Xb+Xc}{2};\frac{Yc}{2})
 \\ M(\frac{Xb}{x};0)
 \\ N(\frac{Xb}{y};0)
De là on en déduit que
G(\frac{Xb+Xc}{x+2};\frac{Yc}{x+2})
 \\ N(\frac{Xb}{x+1};0)
d'où y=x+1

Posté par
frenicle
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 13-04-10 à 15:15

gagnéBonjour,

Une démonstration projective "à l'ancienne" pour cet Enigmo :

La correspondance entre le point M et le point N est telle que :
- à tout point M correspond un seul point N
- réciproquement à tout point N correspond un seul point M.
Elle est donc bijective.
Comme on n'utilise que des droites pour construire le point N, cette correspondance est algébrique : c'est donc une homographie.

Il en est donc de même pour la relation entre x et y.

Regardons l'image de trois points particuliers : A, B et le point à l'infini.
- pour M = A, N = A  : x = et y = ,
- pour M = B, N est le milieu de AB : x = 1 et y = 2 (G est le centre de gravité)
- pour M à l'infini, N = B puisque IJ et AB sont parallèles : x = 0 et y = 1.

On n'a plus qu'à écrire l'égalité des birapports :

(x,,1,0) = (y, , 2, 1)

Ce qui donne (x - 1)/x = (y - 2)/(y - 1)
ou
y = x + 1

Merci Jamo pour cette amusante énigme.

Posté par
Noflah
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 13-04-10 à 15:19

gagnéBonjour à tous,

Bon je ne suis pas sur du tout, mais je me lance :
Je trouve y=1+x.

Je propose la démonstration suivante :

Suivant les notations de l'énoncé, j'applique Thalès dans l'ensemble de point I,J,G,A,M :
   JG/AG = IG/GM = IJ/AM = (1/2*AB)/(AB/x) = x/2
puis dans l'ensemble C I T A N où T est l'intersection de (IJ) et (CG) :
   IT/AN = CI/AC = 1/2  donc IT = AN/2
enfin dans l'ensemble J T G A N :
   JT/AN = JG / AG = x/2 (d'après la première étape) donc JT = AN*x/2

Enfin IT+JT = 1/2 * AB et IT+JT = AN/2 + AN * x/2 d'où en posant AN=AB/y le résultat y=1+x

Posté par
bc92
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 14-04-10 à 19:59

gagnéBonjour

Réponse : y=x+1

Preuve: Si Jamo a choisi de définir M apr AM = AB/x et N par AN = AB/y, alors qu'intuitivement on aurait tendance à choisir AM = x' AB et AN = y' AB, il y a une raison car Jamo est très logique. La relation entre x et y est donc plus simple que celle entre 1/x et 1/y, à tel point qu'on peut conjecturer y = ax + b.
Deux expériences donnent alors :
x = 1 (M en B) ==> y = 2 (N milieu de AB, les médianes)
x tend vers +oo (M en A) ==> y tend vers +oo (N en A)
d'où a+b=2 et a=1 et finalement y=x+1
D'accord ce raisonnement n'est pas très mathématique  

J'avoue donc avoir fait les calculs, du genre IG = IM et trouver en exprimant que AGAJ = 0 (alignement de A, G, J). la suite dans le même esprit.

Bruno



Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 15-04-10 à 15:52

gagnéBonjour,

Ma réponse : y=x+1

Rapide démonstration:
J'appelle K le point d'intersection de (IJ) et (CG).

1) droite des milieux dans ABC => (IJ)//(AB)
2) réciproque droite des milieux dans ANC => IK=AN/2
3) thalès dans le papillon AJKN => AN/KJ=GN/GK
4) thalès dans la papillon IMNK => MN/IK=GN/GK
5) donc d'après (3) et (4) => AN/KJ=MN/IK avec KJ=IJ-IK et MN=AM-AN
6) on remplace tout en fonction de AB, x et y puis on simplifie et on obtient la réponse y=x+1

@+

Posté par
PloufPlouf06
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 18-04-10 à 03:28

gagnéBonjour,

Sauf erreur y=x+1 (bizarre mais bon )

Merci pour l'énigme

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 18-04-10 à 14:04

Clôture de l'énigme

en effet, la bonne réponse est tout "simplement" : y = x + 1

Pas mal d'approches différentes ont été employées, entre celles purement géométriques et d'autres analytiques.

Ainsi, le jour où vous rencontrerez par exemple un segment découpé en 7, vous saurez maintenant le découper en 8 morceaux. Utile, non ?

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 29-04-10 à 14:55

gagnéPauvre Ménélaûs tombé dans l'oubli

Posté par
veleda
re : Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires 29-04-10 à 20:04

gagnébonjour,
>>Plumemeteore
je ne l'ai pas  oublié , il était très à la mode en 46-47 quand je passais mon bac et j'ai passé des heures sur ces problèmes de géométrie "dite élémentaire"cela m'a du reste servi quelques années plus tard à l'oral de l'agreg car il était toujours à la mode
cependant pour cet énigmo j'ai fait une démonstration vectorielle qui me semblait plus simple

1 2 +


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