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Enigmo 189 : Perdu dans les bois

Posté par
jamo Moderateur
12-04-10 à 18:41

Bonjour,

il y a quelques jours, j'ai fais une balade en foret, mais j'ai failli m'égarer !

C'était pourtant simple, j'avais allumé mon GPS afin de repérer la direction à prendre. Le trajet devait être de 10km.
Je suis donc parti, et au bout d'un certain temps, j'ai à nouveau allumé mon GPS pour voir où j'en étais. Et je me suis rendu compte que j'étais parti dans une direction faisant un angle de 12° vers la droite par rapport à la bonne direction.
Je me suis alors tourné d'un angle de 15° vers la gauche pour me retrouver face à mon point d'arrivé prévu ... où je suis bien arrivé !

Bien entendu, on admet que je me suis à chaque fois en ligne droite.

Question : quelle est la longueur du trajet effectivement suivi ?
Je veux la réponse en kilomètres, avec une précision au mètre.

Bonne recherche !

Enigmo 189 : Perdu dans les bois

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 18:48

gagnéBonjour Jamo

Je dirais 10,055 km

Plus exactement 10*(sin(12°)+sin(3°))/sin(165°)

sauf erreur évidemment...

MM

Posté par
totti1000
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 18:55

gagnéSalut Jamo,
Je propose une distance d'environ 10,055 km.

Posté par
evariste
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 18:56

perdu10,281 km

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 19:03

gagnéJe dirais 10,055 km au mètre près..

Posté par
caylus
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 19:06

gagnéBonjour Jamo,

10,055 km par défaut
Merci pour l'énigmo.

Posté par
LeDino
Bonsoir 12-04-10 à 19:11

gagnéBonsoir,

En espérant ne pas êre déboussolé par le problème, je propose comme réponse : 10,055 Km.

Merci pour l'énigme .

Posté par
pierrecarre
Énigme 189 12-04-10 à 19:26

gagnéBonjour !

La distance parcourue est de 10 km et 55 m (au mètre près).

Cordialement,

r2.

Posté par
Supernick
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 19:27

perdu25 574 mètres?

Posté par
Labo
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 19:28

gagnéBonjour Jamo
distance parcourue 10,055 km
sauf erreur
10/sin(165)=x/sin(12)=y/sin(3)
d=x+y

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 19:32

gagnéBonjour.
Tu as marché 10,055 km.
Soit h la distance entre le point du changement de cap et la bonne route.
h*tan78°+h*tan87° = 10; h = 10/(tan78°+tan87°
parcours : h/sin12° + h/sin3°

Posté par
veleda
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 19:36

gagnébonjour Jamo
sauf étourderie de ma part tu as parcouru 10O55mètres à un mètre prés par défaut
merci pour cet énigmo

Posté par
geo3
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 19:41

gagnéBonjour
La solution devrait être
10,055 km
N'y aurait-il  pas une étoile en trop ( si j'ai bien compris l'énoncé)
Il suffisait d'employer la régle aux sin dans 1 triangle.
A+

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 19:42

gagnéBonjour Jamo

longueur du trajet = \rm \fbox{10,055 km}

Posté par
pacou
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 20:01

gagnébonjour Jamo

Tu as parcouru 10,055 km.

Vive le GPS!

Enigmo 189 : Perdu dans les bois

D'après la loi des sinus:
\frac{AB}{sin\delta}=\frac{AC}{sin\beta}=\frac{CB}{sin\alpha}

Donc
AC=\frac{ABsin\beta}{sin\delta}\approx2,022

CB=\frac{ABsin\alpha}{sin\delta}\approx8,033

AC+CB\approx10,055km

merci pour l'enigmo.

Posté par
vanninho
re 12-04-10 à 20:04

perduil a parcouru 25,573 km

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 20:08

gagnéBonjour !

Voici ma réponse :

La longueur du trajet effectivement suivi est de 10,055 km (arrondie au m près).

Preuve :

Soient D le point de départ, A le point d'arrivée, I le point intermédiaire et I' un point de [DI) n'appartenant pas à [DI]. On a par hypothèse :

* DA = 10
* \widehat{IDA} = 12°
* \widehat{I'IA} = 15°

On en déduit alors que :

* \widehat{AID} = 180° - 15° = 165°
* \widehat{DAI} = 180° - 12° - 165° = 3°

On applique la loi des sinus pour calculer les longueurs DI et IA :

\frac{10}{sin 165} = \frac{DI}{sin 3} = \frac{IA}{sin 12}

D'où :

DI = \frac{10*sin 3}{sin 165} et IA = \frac{10*sin 12}{sin 165}

La longueur cherchée est alors :

DI + IA = \frac{10*sin 3}{sin 165} + \frac{10*sin 12}{sin 165}
         10,055 (arrondi au millième)

Enigmo 189 : Perdu dans les bois

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 21:46

gagnéSlt jamo, slt à tous

Je propose : 10km et 55m.

Merci pour l'énigmo.

Bien à vous tous.

Posté par
pallpall
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 22:00

gagnéBonjour Jamo,

pour une fois, j'ai essayé de répondre un peu plus vite...

Après avoir posé le problème et avoir résolu une métrique dans un triangle (du genre A / sin(a) = B / sin(b) = ...), je trouve comme distance totale :

10,055 km au mètre près.

Ainsi, même si tu t'es trompé de chemin, tu n'as pas beaucoup rallongé ton trajet (sauf erreur bien sûr).

Merci pour l'énigme.

P.

Posté par
Noflah
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 22:12

gagnéBonjour à tous,

Il semblerait (et ce d'après la règle des sinus) que tu ais marché 10 055 mètres lors de ta promenade (arrondi au mètre).
Félicitation, c'est une sacré marche.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 22:15

gagnéBonjour Jamo,

Moi aussi, je me suis un peu perdu dans les calculs mais voici ma proposition :

Le trajet fait 10,055 km.

Merci.

Posté par
Livia_C
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 22:22

gagnéBonsoir,
10,055 km

(10,05519694 km )

Merci pour l'énigme

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 12-04-10 à 22:55

gagnéLa longueur du trajet suivi est 10,055 km

(loi des sinus)

Posté par
torio
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 13-04-10 à 11:25

gagné10'055 mètres = 10,055 Km

A+
Torio

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 13-04-10 à 12:28

gagnéBonjour,

Je propose 10,055 km

Trois étoiles pour la règle des sinus ?


Bonne journée à tous

Posté par
gloubi
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 13-04-10 à 13:02

gagnéBonjour,

Distance effectivament parcourue: environ 10,055 km.

Posté par
94120
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 13-04-10 à 13:17

perdu10,1 km

Posté par
carpissimo
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 13-04-10 à 13:54

gagnéVoila pour ma réponse : 10.055 km

Au moment ou tu allume ton GPS tu as déja parcouru 2.022 km

En espérant que les 15° se font bien depuis les 12° d'erreur de départ.

Nota : 3 étoiles ?? ...


@++

Posté par
Ugreno
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 13-04-10 à 14:26

gagnéBonjour Jamo,

Voici ma proposition :
10,O55 km

Posté par
carpediem
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 14-04-10 à 19:21

gagnésalut

la distance exacte est (sin 3° + sin 12°)*10/sin 15°

soit 10,055 km

Posté par
afraise888
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 14-04-10 à 20:41

perdubonjour,
je pense que la longueur du trajet est de 11,9 km

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 14-04-10 à 23:01

perduBonsoir jamo,

Enigmo 189 : Perdu dans les bois

Cette figure représente le trajet prévu que jamo a du prendre d'une part, et le trajet effectivement suivi par jamo d'une autre part

12,78,15,75 etc. représente la valeur des angles comme indiqué dans la figure, en degré.

AD est le trajet prévu, et AB+BD est le trajet effectivement suivi.

ADC rectangle en C, on déduit d'apres les lignes trigonométriques:
DC=cos(78o)*10 km
AC=cos(12o)*10 km
(avec AD=10 km)

BDC tiangle rectangle en C, on déuit d'apres les lignes trigonométriques:
BD=DC/cos(75o)= [cos(78o)*10]/cos(75o) km

BC=BD*cos(15o)=[cos(78o)*10]/[cos(75o)] * cos(15o) km

A,B et C étant alignés dans cet ordre, on a:
AB=AC-BC=cos(12o)*10-[cos(78o)*10]/[cos(75o)] * cos(15o) km

La longueur exacte du trajet effectivement suivi=AB+BD=cos(12o)*10-[cos(78o)*10]/[cos(75o)] * cos(15o) + [cos(78o)*10]/cos(75o) km

Soit 10.06 km (résultat arrondis au centième près)

Merci pour cette énigme sympathique

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 14-04-10 à 23:15

perduAh oui, j'ai oublié de le signaler dans mon post précédent... La figure n'est pas tracée á l'échelle, et les angles ne sont pas représentés non plus avec leur même valeur exacte ...

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 15-04-10 à 09:02

gagnéBonjour jamo ,

La longueur du trajet effectivement suivi est de 10,055 km .

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 15-04-10 à 15:13

gagnéBonjour,

Jamo, tu as parcouru en tout 10,055 km
soit seulement 55m de plus que pour le chemin initial. Tu ne t'es pas trop fatigué en plus, ça reste raisonnable

Pour être tout à fait exact, tu as parcouru 2,022 km avant de rallumer ton GPS et de modifier ta trajectoire. Puis à nouveau 8,033 km pour rejoindre ta destination finale.

La démonstration est simple, c'est de la géométrie. Je ne suis pas sûr que l'énigme valait 3 étoiles (sauf si je me suis royalement planté!!! oups)

@+

Posté par
dpi
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 15-04-10 à 18:45

perduParti en voyage ,donc perdu du temps...

Mais je donne
10 km 280

Posté par
Jux59
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 15-04-10 à 20:42

perduExplication :

Tout d'abord, exposons le problème sous forme de figure.
Soit trois point D, T et A (D pour départ, T pour trompé et A arrivée ^^ x) ).
C.F -> Figure 1.

Grâce à la formule du cosinus et du sinus, on peut trouver les longueurs [AT] et [DT].

- [AT]:

   sin(ADT)=AT/DA
   sin(12)=AT/10
   AT=10*sin(12)
   AT2,079 km

- [DT]:

   cos(ATD)=DT/AD
   cos(15)=DT/10
   DT=cos(15)*10
   DT9,659 km

Après avoir trouvé [AT] et [DT], on les additionne pour trouver la distance totale parcourue, donc 2,079+9,659=11,738km

Résultat :

La distance totale parcourue est de 11,738 km, environ bien sûr !

C'est faux ... >< J'men suis rendu compte ! Mais bon tant pis :s . . .

A bientôt

Figure 1 :

Enigmo 189 : Perdu dans les bois

Posté par
rezoons
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 15-04-10 à 22:11

gagnéBonjour ,
je trouve 10.055 metres

Posté par
lo5707
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 16-04-10 à 11:39

gagnéBonjour

Sur le triangle ci-dessous, on a :

AB = 10 km
 \\ \hat{A}=12^o
 \\ \hat{C}=165^o
 \\ \hat{B}=3^o

Enigmo 189 : Perdu dans les bois

Dans un triangle, on a les relations :

\frac{BC}{sin A} = \frac{AC}{sin B} = \frac{AB}{sin C}

On a donc :

AC = \frac{10 sin 3}{sin 165} = 2,022
 \\ BC = \frac{10 sin 12}{sin 165} = 8,033

Et donc :

AC + BC = 10,055

La distance parcourue est de 10,055 km


Merci pour cette énigme.

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 16-04-10 à 15:53

gagnéBonjour,
Je propose 10(sin3°+sin12°)/sin165°=10,055km

Posté par
remil1ben
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 17-04-10 à 11:18

gagnéAvec des sin et des cos partout,
on devrait trouver 10.055 km

Posté par
Rainbow14
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 17-04-10 à 15:21

gagnéBonjour,

ma réponse : 10055m

Je ne crois pas qu'elle vaille 3 étoiles, enfin bon merci pour l'énigmo.

Bonne journée à tous.

Posté par
castoriginal
Enigmo 189: perdu dans les bois 17-04-10 à 18:45

gagnéBonsoir,

voyons la figure suivante où le point de départ est en B, le point d'arrivée en A et la bifurcation en C.
Appliquons la loi des sinus pour les triangles quelconques:

a/sinA = b/sin B = c/sin C  

Il vient a/sin(3°) = b/sin(12°)  = 10000 m/ sin (165°) = 10000m/sin(15°)

donc a = 10000 * sin(3°)/sin(15°)   et b 10000 *sin(12°)/sin(15°)

respectivement a = 2022,10m et b = 8033,09m soit le trajet total

= 10055,20m    arrondi par défaut à 10055m

Bien à vous

Enigmo 189: perdu dans les bois

Posté par
Mndrs78
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 17-04-10 à 22:51

perduJe n'arrive pas a resoudre l'equation :

(10 - x)/cos3 + x/cos12 = 10

Si j'aurais pu je pense avoir la bonne reponse ...

Posté par
PloufPlouf06
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 18-04-10 à 02:44

perduBonjour,

Sauf erreur, la longueur est 25.57396368... soit environ 25.574 km

Merci pour l'énigme

Posté par
Plop
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 18-04-10 à 10:41

gagnéLe trajet suivi fait donc 10,055 km.
J'ai bricolé un peu avec le théorème d'Al-Kashi... Y a-t-il une autre méthode sinon ?

Posté par
mimit73
Triangle... 18-04-10 à 20:34

perduBonjour,
nous pouvons résumer le prolème à un triangle:
D'après les règles connues sur les triangles rectangles (SOHCAHTOA et pythagore):

Calcul de CB
BD=AB*tan(12)

BG=BD*cos(7)

sin(15)=BG/CB

CB=(BD*cos(7))/sin(15)

Ensuite, calcul de AC:
cos(87)=EC/CB

EC=CB*cos(87)

sin(12)=EC/AC

AC=EC/sin(12)

AC=(CB*cos(87))/sin(12)

Et enfin:

AC+CB
((10*tan(12)*cos(7))/sin(15)*cos(87))/sin(12)+(10*tan(12)*cos(7))/sin(15)

Ce qui donne:
10203 m

Triangle...

Posté par
loan
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 19-04-10 à 15:05

gagnélongueur du trajet : 10,055m

Posté par
LeFou
re : Enigmo 189 : Perdu dans les bois 19-04-10 à 15:13

perduRéponse : 10,656 km.

En utilisant les égalités sur les sinus dans les triangles.

Posté par
Rmx
Ma première réponse sur ce site: 19-04-10 à 19:53

perduBonjour à tous, et merci pour l'énigme!

Sous mathematica:
Solve[{x*Cos[12*(/180)] + y*Cos[(15)*(/180)] == 10,
       x*Sin[12*(/180)] == y*Sin[(15)*(/180)]}, {x, y}]

d'ou:
x = (10 (Sqrt[3]-1))/(sin(/15)+Sqrt[3] sin(/15)-cos(/15)+Sqrt[3] cos(/15))
y = (20 Sqrt[2] sin(/15))/(sin(/15)+Sqrt[3] sin(/15)-cos(/15)+Sqrt[3] cos(/15))

Application numérique:        au mètre près:
x = 5.70098 km                   x = 5.701 km
y = 4.57965 km                   y = 4.580 km

Solution:
distance parcourue:           au mètre près:
10.2806 Km                       10.281 Km

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