0,8

Clôture de l'énigme

Voilà un mois qui commence bien mal avec cette énigme !!

Comme l'a remarqué je ne sais plus qui, le fait que je cite les noms de Kahneman et Tversky n'était pas innocent, puisque ce sont les noms de deux chercheurs, psychologues et économistes, qui ont obtenu le prix Nobel pour certains de leurs travaux.

En particulier, l'énigme que je vous ai proposé vient d'eux, mais sous une forme d'une histoire de taxis. Vous la trouverez par exemple à la 3ème page de ce document :

Dans cette énigme, il était donc question de probabilité conditionnelle, qu'on peut résoudre en utilisant le théorème de Bayes, ou alors en utilisant des effectifs, au travers d'un schéma par exemple :

Prenons 100 personnes et faisons tous les calculs nécessaires pour déterminer les effectifs au bout de chaque branche.
Au total, nous avons 29 personnes "reconnus blonds", dont seulement 12 sont vraiment blonds ... d'où la probabilité de 12/29 !

Ce problème a été inventé pour nous surprendre, étant donné que le résultat est inférieur à 50%, alors que la personne est certaine d'elle et qu'elle ne se trompe que dans 20% des cas.
Mais je vous laisse lire ce qu'on peut trouver sur cet exemple pour vous faire votre idée.

En conclusion, nous devons aussi retenir que nous sommes assez mauvais pour le calcul des probabilités dès que le problème se corse un tout petit peu !

Bonjour,

Tout d'abord félicitations pour ceux qui ont trouvé la bonne réponse, et merci a Jamo pour ces superbes enigmes qu'il nous fait decouvrir.

Franchement, je ne m'attendais pas a avoir un poisson puisque j'etais (presque) sûr de mon raisonnement mais apres avoir lu les réponses je m'appercois effectivement que mon raisonnement etait correcte sauf pour l'interpretation du: "elle reconnait la couleur des cheveux d'un homme en pleine nuit dans 80% des cas, qu'il soit blond ou brun, et donc se trompe dans 20% des cas."

Pour aboutir a la reponse de 12/29, il fallait comme l'a dit Nofutur2 (a qui je salut et felicite pour son 18eme etoile): "Attention, il faut suppposer que la probabilité d'erreur de la Mère Michel soit identique pour les blonds vus comme des bruns et pour des bruns vus comme des blonds...Sinon, on ne peut conclure." (on peut voir ce raisonnement d'ailleurs sur le schema de Jamo)

De mon coté, j'avais interprété cette phrase par: Sur 100 personnes (blondes et brunes), elle reconnait la couleur de 80 d'entre elles et se trompe avec les 20 autres et j'ai commencé a prendre tous les cas possibles en respectant le nombre de bruns et blonds/100. Exemples, sur 100 personnes il y a:
80 bruns reconnus, 0 blond reconnu, 5 bruns non reconnus (ou 5 bruns reconnus blonds), 15 blonds non reconnus (ou 15 blonds reconnu bruns)
79 bruns reconnus, 1 blond reconnus, 6 bruns non reconnus, 14 blonds non reconnus
...
65 bruns reconnus, 15 blonds reconnues, 20 bruns non reconnus, 0 brun reconnu

On obtient 16 cas, d'ou ma reponse etait:
"Sur 1600 personnes, on a:
1360 brunes soit 85% et 240 blonds soit 15%

La mère Michel reconnait la couleur des cheveux de 1160 personnes brunes et 120 personnes blondes, et se trompe avec 120 personnes blondes et 200 personnes brunes en croyant respectivement qu'ils etaient brunes et blondes; soit dans 80% des cas, elle donnait la vrai reponse et se trompait dans les autres 20% des cas.

Pour etre plus clair:


Ainsi sur 1600 personnes, elle croyait que 320 d'entre elles etaient blondes et sur ces 320 personnes, elle s'est trompé 200 fois puisque 200 sur 320 etaient en faite brunes.
Par suite, la probabilité que le voleur soit blond est 120/320=3/8=0.375"

Je pense, que la facon dont j'ai procédé en denombrant tous les cas possibles est une certaine equiprobabilité aussi, mais pas entre bruns et blonds chacun seul, c'est a dire je n'ai pas considéré que sur 100 blonds elle reconnait 80 (en respectant l'equiprobabilité entre les blonds) et que sur 100 brunes elle reconnait 80 (en respectant l'equiprobabilité entre les brunes), j'ai considéré que sur 100 personnes (brunes et blondes) elle reconnait 80 (en respectant l'equiprobabilité entre les personnes).

Mais peut-etre, la phrase en gras s'interprete par ce qu'a dit Nofutur2 (d'ailleurs, apres reflexion maintenant, je le pense aussi). Ma question est, considerons que la phrase en gras etait redigée dans le sens de mon interpretation, la bonne reponse etait 3/8?

Merci.

Hi hi... que de s

^{Jolie démo, Kévin}  

Jun_Milan : en terminale, tu feras plein d'exercices de ce type, dans le chapitre "probabilités conditionnelles".

Dans la pratique, on applique la formule sans trop se poser de questions.  

Borneo:

Bonjour à tous,

Voir par exemple le sujet Probabilités : fiabilité d'un alcootest Probabilités : fiabilité d'un alcootest , qui explique que je n'ai pas grand mérite à avoir résolu l'énigme de Jamo, car j'étais déjà tombé sur le problème concerné.

Je dois vite revoir mon francais:

considerer*
le premier*
au deuxieme*

Bonjour Borneo et Jun_Milan,

Je ne suis pas sûr d'avoir compris comme il faut vos messages, mais ce dont je suis sûr, c'est qu'il n'y a pas de raison a priori que : ,  l'un valant d'ailleurs   et l'autre   .

Oui, oui il y a une difference.. D'une part, parmi les accidentés, la probabilite d'avoir bu et d'une autre part, parmi ceux qui ont bu, la probabilité d'avoir fait un accident n'est pas toujours egal. (dans le lien de Jamo, comme exemple, on voit bien qu'elles ne le sont pas: 3/10 contre 3/20)

Avec cette formulation, tout est bien (j'aurai dit qu'elles ne sont pas toujours egales) mais avec "probabilité d'avoir bu sachant qu'on a eu un accident" et "probabilité d'avoir un accident sachant qu'on a bu"  (qui est apparemment equivalente a la precedente), je n'avais pas interprété "sachant qu'on" par "parmi ceux qui". J'avais en tete, autre chose.

Je l'ai interprété en s'appuyant sur les evenements qui se deroulent en premier, donc sur l'ordre.
Par exemple, l'expression qui suit "sachant que" m'avait l'air celle qui se deroule en premier et l'autre, en deuxieme (en général)

Par exemple, par probabilité d'avoir un accident sachant qu'on a bu, je l'ai interprété par quelle est la probabilité d'avoir bu puis avoir fait un accident quand a probabilité d'avoir bu sachant qu'on a eu un accident, quelle est la probabilité d'avoir fait un accident puis aller boire. (Meme si la deuxieme est un peu illogique; et on remarque qu'avec cette interpretation la probabilité de chacun de ces 2 evenements n'est pas necessairement egale puisque l'ordre joue un role important dans ce cas.). _{Il faudra que je revois quelques notions de grammaire, apparemment (malgré que j'ai un bon francais).}

Certes, pour revenir aux exemples de Borneo, j'avais considéré que ca n'a pas de sens de mettre un ordre (etre blond puis savoir la reponse ou savoir la reponse puis etre blond) et par suite, j'avais interprété ces 2 exemples par: "a la fois".
(A moindre de connaitre la reponse, et puis teindre les cheveux blonds ou vice versa )
Mais maintenant, que j'ai compris que "sachant qu'on" s'interprete par "parmi ceux qui" en general, bien evidemment la probabilité peut differer dans ces exemples, tout depend des données.

Apres reflexion, on peut aussi inserrer le deroulement des evenements a "sachant qu'on" ou "parmi ceux qui".
Dans le lien de Jamo, on voit bien qu'il y a seulement un ordre:
les conducteurs etaient dans une soirée (certains ont bu et d'autres non) puis on conduit la voiture (certains ont fait un accident et d'autres non).

On pourrait faire une autre etude, sur 100 personnes 30 ont fait d'accidents.
20 ont bu seulement avant, 7 ont bu seulement apres et 3 avant et apres etc.

Merci pour ces informations, ca me sera utile pour cette annee

(Meme si la deuxieme est un peu illogique, ca pourrait arriver; et on remarque [...])

Tout d'abord, juste pour preciser, je n'ai pas ecrit mon post du 22-08-10 à 11:50 pour dire que si le probleme etait rédigé dans le sens que j'ai donné, j'aurai eu la bonne réponse; ainsi dans le but de justifier mon poisson. (D'ailleurs, je le dis, je le merite puisque j'ai mal interprété une phrase et je veux bien comprendre mon erreur, si possible.)

Revenons un peu a l'affirmation de Nofutur2: "Attention, il faut suppposer que la probabilité d'erreur de la Mère Michel soit identique pour les blonds vus comme des bruns et pour des bruns vus comme des blonds...Sinon, on ne peut conclure."

La phrase soulignée m'a fait un peu hésité, puisque je n'avais pas considéré cet interpretation et j'etais (presque) sur de ma reponse, avec mon autre raisonnement bien sur. Donc, je voulais avoir votre avis, (et non dans le but de contredire le champion Nofutur2, pas du tout, juste pour relever mon hesitation..)

Bonjour à tous  

P(elle trouve la réponse à l'énigmo sachant qu'elle est blonde) et P(elle est blonde, sachant qu'elle a trouvé la réponse à l'énigmo) sont évidemment différentes, je suis désolée de vous avoir embrouillés avec mon exemple.

Je voulais juste dire qu'il suffit d'appliquer correctement les formules, sans trop s'attacher au sens. Ce sont de simples exercices, donnés pour que les élèves s'entraînent, pas pour en tirer des conclusions philosophiques.

Il y a sur l'île des exercices d'anthologie sur ce thème, où les élèves essaient vainement de comprendre, alors qu'il suffit de calculer. En particulier un exercice où on cherche la probabilité qu'un malade soit sourd des deux oreilles, sachant qu'il est sourd à droite, ce qui n'est pas la même chose que la probabilité qu'il soit sourd à droite, sachant qu'il est sourd des deux oreilles

Ici   problème de surdité

Apres avoir compris la signification du terme "sachant que", bien sur il y a une difference entre ces 2 derniers exemples puisque d'une part, parmi les sourds a droites, quelle est la proba d'etre aussi sourd a gauche (ce n'est pas necessaire que la proba soit 1) et d'une autre part, parmi les personnes sourds a deux oreilles, quelle est la proba d'etre sourd a droite (on n'a pas dit seulement a droite ce qui donnait une proba de 0, donc la proba est bien sur 1 dans ce cas) ne sont pas toujours les memes.

J'ai appris des choses avec cette enigme, surtout en corrigeant mes erreurs d'interpretation..
J'attends toujours la reponse de Ledino.

Merci.

Bonjour Jun_Milan.

J'ai peut-être trouvé un énoncé qui rendrait ta réponse valable. Le voici :

Avec ces hypothèses, je crois qu'on trouve ton résultat ...

Je précise par rapport à ce qui précède, que si le test de capacité du témoin a été fait sur un échantillon composé à 50/50 de BRUNS et de BLONDS (ce qui est une hypothèse parfaitement réaliste pour une extrapolation plus efficace)... alors en appliquant le même calcul que Jun_Milan, on retrouve naturellement que le taux de reconnaissance est de 80% pour les BRUNS comme pour les BLONDS.

Donc outre l'erreur d'interprétation de l'énoncé consistant à distinguer la faculté de reconnaissance des BRUNS de celle des BLONDS, il y a également un arbitraire dans le fait de reconstituer cette capacité différenciée, à partir d'un test supposé effectué sur un échantillon ayant la même proportion 85/15 de BR et BL que celle de la population du village... car cette dernière hypothèse n'était absolument pas spécifiée dans l'énoncé...

Bonjour LeDino,

L'énoncé :
          "elle reconnait la couleur des cheveux d'un homme en pleine nuit dans 80% des cas, qu'il soit blond ou brun, et donc se trompe dans 20% des cas"

me semble à la fois explicite et suffisant pour le problème ; il signifie, en français ordinaire sans faire appel à la philosophie ni à la formalisation des probabilités :

          "devant un blond en pleine nuit, elle déclare qu'il est blond dans 80% des cas et qu'il est brun dans 20% des cas ; devant un brun en pleine nuit, elle déclare qu'il est brun dans 80% des cas et qu'il est blond dans 20% des cas"

Bonjour à tous  

Je remarque qu'à chaque nouveau message on récupère un ou un

"Autrefois" on en avait un de plus, et c'est tout.  

C'est donc pour avoir un de plus que tu as envoyé le message ci-dessus ! Déception ...

Bonsoir Jamo,

de retour de vacances, je m'attendais à un smiley ! Surprise : un , je ne sais pas ce que j'ai fichu, pourtant mon raisonnement était le bon. Je m'y reprendrai à deux fois la prochaine fois.

Merci quand même pour cette énigme.

Merci borneo j'ai donné des cours à une terminale cet été donc j'ai du me replonger dans les probas (3 ans que j'en avais pas fait ^^)

D'accord, LeDino, c'est plutôt à Jun_Milan que mon message du 24-08-10 à 18:35 devait s'adresser.

Oui je viens de voir qu'il y a eu énormément d'ex aequo ces derniers mois, ce n'était pas le cas avant il y avait plus d'énigmes, mais j'aime les énigmes poissoneuses comme celle-ci

J'attends mon à la 214 maintenant

Salut infophile

ahh... l'enigmo 214...

Merci Jamo  

Tu peux forcer sur les probas, ça fait du bien à tout le monde  

Bien sûr jamo, avant il y avait plusieurs posteurs à la fois (puisea, minkus, JP etc), donc plus d'énigmes comme celles-ci (cf le ver ) et donc moins d'ex aequo. Mais bon le principal est de s'amuser

borneo > J'ai renoué avec les probas, en Terminale je détestais ça, et marco ?

IL FAISAIT NUIT !!!!
la nuit, tous les blonds sont gris...
la probabilité que la personne soit blonde sera déduite de la fréquence des blonds dans la population !

12/29 je pense