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Niveau 3 *
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Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête

Posté par
jamo Moderateur
01-08-10 à 14:11

Bonjour tout le monde,

en analysant avec rigueur la chanson de la Mère Michel qui a perdu son chat, l'inspecteur Derrick a bien senti qu'il y avait une embrouille, et que le Père Lustucru n'était pas tout clair en demandant une rançon en échange du chat.
Derrick décide alors de mener l'enquête ...

Lors de l'interrogatoire de la Mère Michel, l'inspecteur Stephan Derrick n'arrive malheureusement pas à obtenir beaucoup de renseignements. Lors de la disparition de son chat, il faisait nuit, et la Mère Michel a aperçu un individu à la mine patibulaire (... mais presque ...).
Par contre, la Mère Michel est formelle : cet individu était blond ! Là-dessus, elle en est certaine.

Derrick demande alors a son fidèle associé, le lieutenant Kahneman, d'aller recenser les blonds au village de la Mère Michel. Bonne nouvelle : il y a 15% de blonds contre 85% de bruns. Voilà qui devrait simplifier l'enquête.

Mais Derrick est plus malin que ça et se permet de douter des capacités de reconnaissance de la mère Michel en pleine nuit. Il demande alors à son autre associé, le lieutenant Tversky, de faire des tests pour évaluer si la Mère Michel a une si bonne vue que ça en pleine nuit. Le résultat est le suivant : la mère Michel n'est pas si mauvaise, car elle reconnait la couleur des cheveux d'un homme en pleine nuit dans 80% des cas, qu'il soit blond ou brun, et donc se trompe dans 20% des cas.

Suite à ces résultats, tout le commissariat de police de Munich décide d'aller interroger tous les blonds du village de la Mère Michel.

Mais l'inspecteur Derrick préfère ne pas confondre vitesse et précipitation, et se remémorant ses cours de probabilités de l'école de police, commence à griffonner quelques calculs ...

Question : Quelle est la probabilité pour que le voleur soit blond ?

Je veux la valeur exacte de cette probabilité. Je rappelle qu'une probabilité est un nombre entre 0 et 1, qu'on peut mettre sous forme de fraction si nécessaire.

Bonne recherche !

Enigmo 212 : Derrick mène l\'enquête

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 14:24

perduBonjour Jamo,

Je pense que la probabilité est égale à 0,29.

Merci et bonnes vacances.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 14:48

gagnéLa probabilité de la Mère Michel voit un blond est de (0,8*0,15)+(0,2*0,85)=0,29
La probabilité que le blond vu soit réellement blond est de 0,8*0,15=0,12.
La probabilité que l'homme soit un blond alors que la Mère Michel a vu un blond est 12/29.
P=12/29...environ 41%.
Il y a donc une grosse probabilité (59% environ) qu'elle se soit trompée.

Attention, il faut suppposer que la probabilité d'erreur de la Mère Michel soit identique pour les blonds vus comme des bruns et pour des bruns vus comme des blonds...Sinon, on ne peut conclure.

Posté par
kledou59
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 15:21

perduJe dirais : 0,29 .

Posté par
totti1000
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 15:23

gagnéSalut jamo,
je propose une probabilité de 12/29 soit environ 0,41.

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 15:48

perduBonjour jamo,

Je trouve (en supposant que le voleur est du village de la mere Michel) apres de petits calculs:

Sur 1600 personnes, on a:
1360 brunes soit 85% et 240 blonds soit 15%

La mère Michel reconnait la couleur des cheveux de 1160 personnes brunes et 120 personnes blondes, et se trompe avec 120 personnes blondes et 200 personnes brunes en croyant respectivement qu'ils etaient brunes et blondes; soit dans 80% des cas, elle donnait la vrai reponse et se trompait dans les autres 20% des cas.

Ainsi sur 1600 personnes, elle croyait que 320 d'entre elles etaient blondes et sur ces 320 personnes, elle s'est trompé 200 fois puisque 200 sur 320 etaient en faite brunes.
Par suite, la probabilité que le voleur soit blond est 120/320=3/8=0.375

Merci pour cette superbe enigme

Posté par
xtreboul
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 16:23

perduSalut tout le monde!
Je propose:
12,00%

Posté par
rezoons
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 17:02

gagnéBonjour ,

En utilisant la formule de Bayes (je crois que c'est lui) je trouve une probabilité de \frac{12}{29} soit environ 41.38%

Posté par
pierrecarre
Enigmo 212 01-08-10 à 17:15

gagnéBonjour !

La probabilité que le voleur soit blond est égale à 12/29.

Cordialement,

r2.

Posté par
Noflah
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 17:18

perduBonjour Jamo,

La logique voudrait que je ne réponde pas à l'énigme puisque je suis à peu près sur de faire faux, mais je ne saurais manquer la participation d'un des enigmo signé Jamo !

Donc le résultat (faux) que je propose est : 80% = 80/100 = 8/10 = 0.8

Mon raisonnement faux est : de deux choses l'une, soit la mère Michelle s'est trompée le soir du vol (soit 20% de chance) auquel cas le voleur n'est pas blond, soit elle ne s'est pas trompée et il est blond. Il y a donc une probabilité de 80% qu'il soit blond  (en fait les événements "le voleur est blond" et "elle ne s'est pas trompé" sont équivalents, la probabilité de l'un est donc la probabilité de l'autre).
Ça me parait un peu trop simple, je n'utilise pas toutes les données, bref il doit y avoir une confusion quelque part.

Merci pour l'énigme, et à bientôt.

Posté par
veleda
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 17:36

gagnébonjour,
soit
B "le voleur est blond"
E "la mère Michel affirme que le voleur est blond"
on cherche P(B/E)
P(B/E)=\frac{P(B\cap E)}{P(E)}
ce qui fait sauf erreur de calcul de ma part\frac{12}{29}

merci pour cet énigmo

Posté par
Eric1
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 17:45

perduRéponse
0,29

Citation :
patibulaire (... mais presque ...).
Merci Coluche

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 17:46

perduSachant qu'il y a 3 étoiles ET que je suis nul en probas, la probabilité que j'obtienne un est très voisine de 1. (Egale? On verra).
Donc je dirais:
(probabilité d'un brun et qu'elle se trompe)+(probabilité d'un blond et qu'elle ait vu juste)
Soit: 0.85*0.2 + 0.15*0.8 = 0.17 + 0.12 = 0.29

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 18:04

gagnéBonjour et merci Jamo,

pour avoir transcrit à la sauce Lustucru ce problème, toujours surprenant, de diagnostic. La probabilité que le voleur soit blond sachant que la mére Michel l'a vu blond est :  12 / 29

Posté par
Rodolphe
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 18:08

perduRe-bonjour Jamo,

je dirais que la probabilite que le voleur soit blond est egale a 0,374.

Merci pour cette enigme. Muchas gracias para esta enigma.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 18:53

perduBonjour.
Réponse : 12/41
Probabilité que le voleur soit :
blond et désigné comme blond : 12%
blond et désigné comme brun : 3%
brun et désigné comme brun : 68%
brun et désigné comme blond : 29%
Probabilité qu'une personne désignée comme blonde soit blonde : 12/(12+29) = 12/41 (un peu moins de 3/10)

Posté par
DemoGeneral
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 01-08-10 à 19:16

perduBonjour.

Je dirais 3/25.

Posté par
caylus
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 02-08-10 à 11:14

perduBonjour Jamo,

17/29

Merci pour l'énigmo.

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 02-08-10 à 12:33

perduBonjour Jamo,

Je propose 6/23    ...


Merci et

A+

Posté par
geo3
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 02-08-10 à 13:41

perduBonjour
Pas évident ?
Probablement   17/29
A+

Posté par
dpi
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 02-08-10 à 16:09

perduBonjour
La probabilité selon les dires  et les " capacités" de la mère Michel est blond à 0.6710 /1

Posté par
caylus
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 02-08-10 à 18:22

perduMerci pour le .

J'ai confondu vitesse et précipitation la réponse était 12/29.

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 03-08-10 à 10:47

gagnébonjour,

je trouve 12/29

Posté par
rijks
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 03-08-10 à 12:43

perduje trouve une probabilité de 0.29 (en me servant d'un petit tableau) :
elle a 0.12 d'avoir juste et comme se tromper sur un brun c'est en déduire qu'il est blond donc on rajoute 0.17 d'où les 0.29

Enigmo 212 : Derrick mène l\'enquête

Posté par
LeDino
La nuit tous les chats sont gris... 03-08-10 à 18:53

gagnéBonjour,

Contrairement aux apparences, la probabilité que le voleur soit blond n'est que de 12/29, soit environ 41,38%.

Explication :
Prob[ Identifié Blond, à juste titre ]  =  15% * 80%  =  12%
Prob[ Identifié Blond, par erreur ]     =  85% * 20%  =  17%
Prob[ Identifié Blond ]                 =  12% + 17%  =  29%

Le coupable (identifié blond) est donc effectivement blond dans seulement 12% des cas, sur 29% de cas (identifiés blonds) possibles.
La probabilité cherchée en découle (12%/29%)...

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 03-08-10 à 22:59

gagnéIl me semble que la probabilité que le voleur soit blond, sachant qu'elle a vu un blond, n'est que de

12 / 29

MM

Posté par
Valentino59
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 04-08-10 à 10:42

gagnéLa probabilité pour que le voleur soit blond ? Je dirai p=12/29, Derrick aurait donc eu encore une fois la bonne intuition, ici justement en laissant l'intuition au placard pour affronter mathématiquement un problème appartenant à une discipline carrément contre-intuitive (mais toujours d'une logique implacable ) ; cependant je dis ça en ayant réfléchis trois minutes alors.... (surtout que la difficulté est représentée par trois étoiles)

Posté par
Z-Karya
Réponse 04-08-10 à 16:07

perduLa réponse est :    0.15

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 04-08-10 à 16:14

perduRe-bonjour,

En voulant faire vite, j'ai répondu à côté de la question.
Ca m'apprendra à ne pas avoir suffisamment médité le vieil adage "Qui répond sans réflexion, mérite un poisson"

Pour le fun, j'ai quand même cherché un peu plus loin et je trouve une probabilité de 12/29, soit environ 0,413.
Ca m'a longtemps chiffonné car, par la même méthode, je trouvais que la probabilité que le voleur soit brun n'était pas le complémentaire à 1 de ce nombre, mais 68/71. Mais je crois que c'est parce que ce ne sont pas les mêmes événements.

Je note au passage que les fans de Derrick étaient un peu avantagés puisqu'ils savaient, eux, que Kahneman et Tversky n'étaient pas les adjoints de notre commissaire teuton.
En furetant un peu sur le net, j'ai découvert à cette occasion qu'il s'agit en fait des prix Nobel d'économie qui ont mis en lumière cet aspect trompeur des témoignages peu fiables.

En plus de mon poisson, j'ai appris quelque chose. Merci Jamo !

Posté par
houlalala
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 04-08-10 à 17:34

perduBonjour,

je dirais :

29/100

Cdlt

houlalala

Posté par
Jalex
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 04-08-10 à 17:41

gagné12/29

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 04-08-10 à 18:00

perduBonjour,

Voici ma réponse :

  La probabilité pour que le voleur soit blond est 0,8.

Je ne suis absolument pas sûr de ma réponse mais j'aurais plutôt tendance à raisonner ainsi : puisque "la Mère Michèle est formelle : cet individu était blond !" et que "elle reconnait la couleur des cheveux d'un homme en pleine nuit dans 80% des cas", alors soit elle a raison avec une probabilité de 0,8 et le voleur est blond, soit elle a tort avec une probabilité de 0,2 et le voleur n'est pas blond. Et peut importe le pourcentage de blonds de la population.

Enfin bref je n'arrive quand même pas à me convaincre moi-même !!!

Merci.

Posté par
infophile
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 04-08-10 à 19:30

gagnéBonjour

Je note BL, BR et VB les événements "être blond", "être brun" et "vu blond par Madame Michelle".

La probabilité recherchée est la probabilité conditionnelle P_{VB}(BL) (la probabilité qu'il soit blond sachant qu'il a été vu blond par madame Michelle).

On a P_{VB}(BL)=\frac{P(VB\cap BL)}{P(VB)} avec P(VB\cap BL)=P_{BL}(VB)P(BL)=0.8\times 0.15=0.12

Par ailleurs d'après la formule des probabilités totales P(VB)=P(VB\cap BL)+P(VB\cap BR)=0.8\times 0.15+0.85\times 0.2=0.29.

Donc la probabilité pour que le voleur soit blond est de 3$ \red\frac{12}{29}3$ \green \approx 0.41.

L'inspecteur Derrick avait raison de se méfier

Posté par
Samito
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 05-08-10 à 02:53

perdu

Citation :
J'ai trouvé une probabilité de 0,8.


J'hésitais à faire: p(AB) = p(A) x p(B)
Mais, c'est trop simple, ça sent le piège...
Et puis, si la mamie avait une vue parfaite dans la nuit (et non 80%), on trouverai p = 0,15 ce qui n'est pas logique vu qu'elle est censée voir parfaitement (dans mon exemple).
Voyons si c'est bien 0,8.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 05-08-10 à 10:36

perduBonjour jamo,

Le seul élément à prendre en compte est que la Mère Michel est fiable à 80 %.

Les 15 % de blonds dans le village ne sont que poudre aux yeux. Ou alors j'ai loupé quelque chose ...

Ma réponse est donc: la probabilité pour que le voleur soit blond est 0,8.  

Posté par
gloubi
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 05-08-10 à 15:04

perdu
Arggh ...
Ce serait plutôt 0.29, non ?

J'ai failli dire:
Comment peut-on être aussi nul
Mais ce ne serait pas gentil pour ceux qui vont avoir un   

Posté par
torio
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 06-08-10 à 08:20

gagné12 sur 29

A plus
torio

Posté par
Rainbow14
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 07-08-10 à 19:41

perduSalut,

je dirais : P = (80/100*15/100)+(20/100*85/100)

Soit : P = 17%

Posté par
alexandra2502
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 08-08-10 à 15:34

perdu0.17

Posté par
borneo
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 10-08-10 à 01:13

gagnéBonjour,

on a des probas conditionnelles

B : l'homme est blond
DB : la Mère Michel dit qu'il est blond

On cherche P(B/DB) = P(B inter DB)/P(DB) = (0.15*0.8)/(0.15*0.8 + 0.85*0.2) = 12/29

P(le voleur est blond) = 12/29

Voilà  

Posté par
evariste
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 10-08-10 à 14:23

gagnéLa probabilité pour que le voleur soit blond est de 12/29 (soit environ 0,4138(

Posté par
1emeu
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 10-08-10 à 14:50

perduBonjour,

il me semble que la probabilité que le voleur soit blond est seulement 29/80. Il vaut donc mieux aller interroger les bruns

merci pour l'énigme,
1emeu

Posté par
flo1810
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 10-08-10 à 18:13

perduSans aucune certitude, je dirai :

La probabilité pour que le voleur soit blond est de 0,29.

Posté par
anto0192
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 13-08-10 à 09:13

perduP(blond) = 1 x 0.8 = 80 %       

Posté par
cohlar
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 13-08-10 à 14:26

gagnéBonjour,

je trouve à l'aide des probabilités conditionnelles le résultat 12/29 (soit environ 0.41). Comme quoi ma mère Michelle n'aide pas comme on l'espérait...

Merci pour l'énigme!

Posté par
FatalError111
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 14-08-10 à 00:54

perduBonjour,

La probabilité que le voleur soit blond est selon moi de 0.475. Il y a donc plus de chance qu'il soit brun, même si la mère Michel ne se trompe que dans un cas sur cinq pour déterminer la couleur de cheveux.

Sans l'avis de la mère Michel, on aurait pu considérer l'avis suivant mais on sait qu'elle pense que c'est un blond, on ne doit plus considérer que les branches "blond, reconnu" et "brun, non reconnu" (probabilité de chaque branche sur la branche, non reconnu veut dire que la mère Michel s'est trompée).

On doit considérer le nombre de blonds par rapport au nombre de bruns dans la population et la possibilité qu'elle se trompe ou non, on fait donc la moyenne de 0.8 et 0.15 pour "blond, reconnu" et la moyenne de 0.85 et 0.2 pour "brun, non reconnu". On trouve 19/40, soit 0.475 pour "blond, reconnu" et 21/40 soit 0.525 pour "brun, non reconnu".

Enigmo 212 : Derrick mène l\'enquête

Posté par
mery
Bonjour 15-08-10 à 21:19

perduBonjour,

Bien que je ne pense pas que la solution soit aussi facile, je propose 0,12.

Merci

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 16-08-10 à 10:12

gagnéBonjour,

Problème de probabilité conditionnelle.
Il s'agit de déterminer la probabilité qu'un individu soit blond sachant qu'il a été vu blond par la mère Michel.

Un arbre et quelques petits calculs permettent de déterminer que :
p(blond et vu blond)=12%
p(vu blond)=p(blond et vu blond)+p(brun et vu blond)=12%+17%=29%
donc p(blond sachant que vu blond)=12/29

La probabilité que le voleur soit blond est de 12/29
(moins d'une chance sur 2 !)

Posté par
rirou2010
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 17-08-10 à 13:38

perdubonjour;
la probabilité que le voleur soit blond correspond a le proba que la mere michele ai bien vu donc 0.8

Posté par
toddsalim
re : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête 18-08-10 à 06:34

perduPosons:
A:"la femme a bien reconnu la couleur des cheveux du voleur"
B:"le voleur appartient aux blonds du village"

A et B étant deux événements indépendants on a donc:

P(le voleur soit blond)=P(A\capB)=P(A)\timesP(B)=\frac{80}{100}\times \frac{15}{100} =\red \frac{12}{100}

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