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Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains

Posté par
jamo Moderateur
03-10-10 à 12:16

Bonjour tout le monde,

Jules César est tenace, il compte bien conquérir la Gaule en entier, y compris ce petit village d'irréductibles gaulois ...

Pour cela, il a réuni ses généraux afin de décider des nouvelles stratégies à mettre en oeuvre, et notre bon Jules est persuadé que pour avoir une chance de les vaincre, il faut miser sur l'effet de surprise.

Jules César demande donc à ses généraux de constituer une armée, dont le nombre de soldats doit vérifier certaines contraintes.
En effet, il doit être possible de former deux formations carrées en utilisant tous les soldats.
Et pour que les gaulois ne puissent pas prévoir à l'avance le nombre de soldats dans chaque formation, il doit être possible de faire 12 décompositions différentes.
Et le nombre de soldats doit être le plus petit possible afin de respecter les conditions précédentes.

Prenons un exemple pour que cela soit plus clair. Imaginons qu'on prenne 1700 soldats au total.
Il est alors possible de réaliser 3 décompositions différentes (si je n'en ai pas oublié) :

1700 = 10²+40² = 32²+26² = 16²+38²

Chaque formation carrée doit contenir au moins 1 soldat.

Question : quel est le plus petit nombre de soldats décomposable en 12 sommes de deux carrés ?

Bonne recherche !

Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains

Posté par
totti1000
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 12:46

gagnéSalut jamo,

je propose un minimum de 160225.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 13:43

perduJ'ai trouvé 226525 soldats ..

Posté par
caylus
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 15:04

gagnéBonjour jamo,
160225
Merci pour cette enigmo.

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 15:31

gagnéBien que je trouve que cela fait beaucoup de monde, ma réponse est  :   160 225  soldats

Merci encore une fois pour cette énigme, Jamo

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 15:43

gagnéBonjour

Ce nombre vaut, sauf erreur de ma part, 160225

mm

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 15:45

gagnéet les 12 couples (a;b) sont :
15  400
32  399
76  393
81  392
113  384
140  375
175  360
183  356
216  337
228  329
252  311
265  300

Posté par
geo3
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 15:57

gagnéBonjour
Sans doute   160225
A+

Posté par
LeDino
Bonjour 03-10-10 à 16:07

gagnéBonjour,

Sauf erreur, le plus petit nombre décomposable en douze sommes de carrés est :  160225

Les décompositions possibles sont les suivantes :

400² + 15²
399² + 32²
393² + 76²
392² + 81²
384² + 113²
375² + 140²
360² + 175²
356² + 183²
337² + 216²
329² + 228²
311² + 252²
300² + 265²

Moralité : ils sont fous ces romains !
Merci pour l'énigme .

Posté par
Noflah
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 16:30

gagnéBonjour Jamo,

Il va lui en falloir des hommes à ce bon Jules, je trouve (sauf erreur) que son armée devra compter :
160225 = 265²+300² = 252²+311² = 228²+329² = 216²+337² = 183²+356² = 175²+360² = 140²+375² = 113²+384² = 81²+392² = 76²+393² = 32²+399² = 15²+400² soldats.

Merci pour l'énigme, un bon exercice de complexité

Posté par
rezoons
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 22:31

gagnéBonjour ,

je tente avec 160225

160225
=15²+400²
=32²+399²
=76²+393²
=81²+392²
=113²+384²
=140²+375²
=175²+360²
=183²+356²
=216²+337²
=228²+329²
=252²+311²
=265²+300²

Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains

Posté par
Rodolphe
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 03-10-10 à 22:48

gagnéBonsoir Jamo,

ma réponse est 160 225 soldats pour la garnison de César qui peut se décomposer ainsi :

5²+400²
32²+399²
76²+393²
81²+392²
113²+384²
140²+375²
175²+360²
183²+356²
216²+337²
228²+329²
252²+311²
et 265²+300²

Merci pour cette énigme et à très bientôt. Et Félicitations pour ton imagination débordante qui fait trembler !

Posté par
gloubi
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 04-10-10 à 10:49

gagnéBonjour,

Le plus petit nombre décomposable en douze somme de deux carrés est 160225.

Posté par
franz
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 04-10-10 à 11:59

gagné4$\red 160\,225\qquad=     \array{ccc$400^2&\;+\;&15^2\\399^2&+&32^2\\393^2&+&76^2\\392^2&+&81^2\\384^2&+&113^2\\375^2&+&140^2\\360^2&+&175^2\\356^2&+&183^2\\337^2&+&216^2\\329^2&+&228^2\\311^2&+&252^2\\300^2&+&265^2}

Posté par
cohlar
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 04-10-10 à 13:35

gagnéBonjour,

je propose 160225 soldats :
160255
= 152+4002
= 322+3992
= 762+3932
= 812+3922
= 1132+3842
= 1402+3752
= 1752+3602
= 1832+3562
= 2162+3372
= 2282+3292
= 2522+3112
= 2652+3002

Merci pour l'enigme

Larry

Posté par
gloubi
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 04-10-10 à 15:40

gagné* sommes  

Posté par
torio
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 04-10-10 à 17:07

gagné160'225 soldats

15^2 + 400^2 = 160225
32^2 + 399^2 = 160225
76^2 + 393^2 = 160225
81^2 + 392^2 = 160225
113^2 + 384^2 = 160225
140^2 + 375^2 = 160225
175^2 + 360^2 = 160225
183^2 + 356^2 = 160225
216^2 + 337^2 = 160225
228^2 + 329^2 = 160225
252^2 + 311^2 = 160225
265^2 + 300^2 = 160225

A+
Torio

Posté par
13or
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 04-10-10 à 23:41

gagnéBonjour jamo,
160 225

Posté par
manpower
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 06-10-10 à 09:58

gagnéBonjour à tous,

en inconditionnel d'Astérix je ne peux rater celle-ci (qui devrait marquer ma rentrée en ce qui concerne les énigmes).

A l'aide d'un petit programme, j'obtiens une valeur minimale de 160225.
Voici les douze décompositions :
160225 = 15²+400²
160225 = 32²+399²
160225 = 76²+393²
160225 = 81²+392²
160225 = 113²+384²
160225 = 140²+375²
160225 = 175²+360²
160225 = 183²+356²
160225 = 216²+337²
160225 = 228²+329²
160225 = 252²+311²
160225 = 265²+300²


Merci jamo pour l'énigme.

Posté par
castoriginal
Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 06-10-10 à 13:36

perduBonjour,

la décomposition d'un nombre en somme de deux carrés peut donner un nombre variable de "présentations".
Ainsi le plus petit nombre qui donne 3 présentations est 325.
De même le plus petit nombre qui donne 4 présentations est 1105.
En appliquant l'identité de Lagrange-Fibonnacci qui dit que le produit de deux nombres, qui sont la somme de deux carrés, est également un nombre somme de deux carrés; on constate que le produit de 325 par 1105 donne un nombre 12 fois décomposable en somme de deux carrés.
C'est peut-être le plus petit cherché !
La solution de l'Enigmo serait donc      359125
qui a les couples de nombres suivants:

(18,599) (39,598) (105,590) (130,585) (185,570) (194,567) (247,546) (266,537) (270,535) (345,490) (390,455) (409,438)

Bien à vous

Posté par
tomtess
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 06-10-10 à 15:04

perduBonjour.
En espérant qu'il n'y en ai pas de plus petit, je propose 690625 soldats.
Merci.

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 06-10-10 à 15:28

gagnéBonjour,
Encore une fois avec Qasic, je propose 160225 qui vaut:
15²+400²
32²+399²
76²+393²
81²+392²
113²+384²
140²+375²
175²+360²
183²+356²
216²+337²
228²+329²
252²+311²
265²+300²
Ca se calcule "à la main"?

Posté par
tranquilo_22
Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 06-10-10 à 18:30

gagnéBonjour 160225 est un bon client.

160225 = a2 + b2
solution 1: 400 15
solution 2: 399 32
solution 3: 393 76
solution 4: 392 81
solution 5: 384 113
solution 6: 375 140
solution 7: 360 175
solution 8: 356 183
solution 9: 337 216
solution 10: 329 228
solution 11: 311 252
solution 12: 300 265

Posté par
dpi
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 06-10-10 à 21:48

gagnéBonjour,

Je trouve 160 225

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 10-10-10 à 13:09

gagnéBonjour Jamo.
Il faut au moins 160225 soldats.
Les paires possibles de côtés de carrés sont :
400 et 15
399 et 32
393 et 76
392 et 81
384 et 113
375 et 140
360 et 175
356 et 183
337 et 216
329 et 228
311 et 252
300 et 265

Le programme VBA résolvant le problème :
Option Explicit
Sub carrés()
Dim g As Double, p As Double
Dim r(1000000) As Byte
Dim s As Double
Dim a As Byte
Dim rec As Byte
rec = 0
g = 1
Do While g <= 2000
p = 1
Do
s = g ^ 2 + p ^ 2
If s > 1000000 Then Exit Do
r(s) = r(s) + 1
If r(s) > rec Then
MsgBox g & " " & p & " " & s & " " & r(s)
rec = r(s)
If rec = 12 Then Stop
End If
p = p + 1
Loop Until p > g
g = g + 1
Loop
End Sub

Les records de nombre de décompositions, jusqu'à 12 :
2 : 1
50 : 2
325 : 3
1105 : 4
5525 : 6
27625 : 8
71825 : 9
138125 : 10
160225 : 12

Posté par
mathisgood
l'armee 10-10-10 à 21:36

gagnéJe trouve une armée de 160225 soldats.

Merci pour cette enigme

Posté par
ksad
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 15-10-10 à 18:10

gagnéle nombre de soldats est 160225.
décomposable en
15  et 400 :      225 +   160000 =   160225
32  et 399 :     1024 +   159201 =   160225
76  et 393 :     5776 +   154449 =   160225
81  et 392 :     6561 +   153664 =   160225
113 et 384 :    12769 +   147456 =   160225
140 et 375 :    19600 +   140625 =   160225
175 et 360 :    30625 +   129600 =   160225
183 et 356 :    33489 +   126736 =   160225
216 et 337 :    46656 +   113569 =   160225
228 et 329 :    51984 +   108241 =   160225
252 et 311 :    63504 +    96721 =   160225
265 et 300 :    70225 +    90000 =   160225

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 18-10-10 à 09:03

gagnéBonjour Jamo,

Je propose 160225,  qui se décompose en 12 paires de carrés différentes :

15x15 400x400
32x32 399x399
76x76 393x393
81x81 392x392
113x113 384x384
140x140 375x375
175x175 360x360
183x183 356x356
216x216 337x337
228x228 329x329
252x252 311x311
265x265 300x300

En dessous de 1000000 il y a 75 nombres qui se décomposent ainsi en 12 paires de carrés différentes, 160225 étant le plus petit

Merci pour cette énigme...  et toutes les autres

A+

Posté par
a-b
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 20-10-10 à 12:04

gagné
Bonjour Jamo,
160225=400²+15²=399²+32²=393²+76²=392²+81²=384²+113²=375²+140²
      =360²+175²=356²+183²=337²+216²=229²+228²=311²+252²=265²+300²

Posté par
tremois
Jules César est très exigeant! 20-10-10 à 12:19

gagnéBonjour tout le monde,

je viens de découvrir ce site, j'en profite donc pour répondre à cette question.
Je n'ai pas fait appel à des théories complexes puisque j'ai tout simplement programmé le problème sous MATLAB en moins de 10 minutes.

Mon résultat est qu'il faut 160225 légionnaires pour arriver à satisfaire les exigences de César.
Les 12 décompositions sont les suivantes (n , m pour que n2 + m2 = 160225)
    15   400
    32   399
    76   393
    81   392
   113   384
   140   375
   175   360
   183   356
   216   337
   228   329
   252   311
   265   300

J'ai hâte de voir comment les autres compétiteurs ont résolu ce problème!

Olivier

Posté par
lo5707
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 21-10-10 à 15:04

gagnéBonjour,

Ma réponse est 160225

160225
= 15² + 400²
= 32² + 399²
= 76² + 393²
= 81² + 392²
= 113² + 384²
= 140² + 375²
= 175² + 360²
= 183² + 356²
= 216² + 337²
= 228² + 329²
= 252² + 311²
= 265² + 300²

Je me demande qu'il y a une méthode manuelle pour résoudre ça, moi ke me suis battu avec Excel...

merci pour l'énigme

Posté par
lepongiste
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 24-10-10 à 23:20

gagnéJe dirais 160 225.

Les 12 sommes de carrés :

15²+400²
32²+399²
76²+393²
81²+392²
113²+384²
140²+375²
175²+360²
183²+356²
216²+337²
228²+329²
252²+311²
265²+300²

Posté par
loic74
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 27-10-10 à 12:07

perduallez je me lance,

un peu au hasard mais on sait jamais..

Ne serait-ce pas 43750 ?

Parce que 12 = 1/2 * (5+1)  donc 43750 = 14*5^5  a 12 combinaisons de 2 carrés !

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 28-10-10 à 09:03

Clôture de l'énigme

La bonne réponse était : 160225

Je crois que la plupart d'entre vous sont passés par un programme pour résoudre cette énigme, mais elle était faisable à la main.
Pour cela, il faut s'intéresser aux théorèmes concernant la décomposition d'un nombre en sommes de deux carrés, par exemple ici :

Je ne vais pas rentrer dans les détails, mais voici les grandes lignes pour ceux que ça intéresse.

Tout d'abord, on peut montrer que les nombres premiers de la forme 4n+1 s'écrivent de manière unique comme somme de deux carrés : 5, 13, 17, 29, 37, ...
Tandis que les nombres premiers de la forme 4n-1 ne s'écrivent jamais sous la forme de deux carrés : 3, 7, 11, 19, 23, ...

Ensuite, on utilise les identités :
(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)² et (a²+b²)(c²+d²)=(ac-bd)²+(ad+bc)²

Cela permet, en utilisant les nombres premiers de la forme 4n+1, d'affirmer que :
5*13 se décompose en 2 sommes de deux carrés ;
5*13*17 se décompose en 4 sommes de deux carrés ;
5*13*17*29 se décompose en 8 sommes de deux carrés ;
etc ... (on double à chaque fois)

Bon ensuite, le principe consiste à étudier ce qui se passe quand on utilise plusieurs fois un même nombre dans la décomposition, ou quand on utilise un nombre premier de la forme 4n-1 un nombre pair ou impair de fois ...

Et au final, on en conclut que pour que le nombre s'écrivent 12 fois comme somme de deux carrés, il faut prendre : 5*5*13*17*29=160225.

Posté par
CLARASATISH
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 28-10-10 à 17:20

Bonjour,            

Ma réponse est: 160 225 soldats

La décomposition:
15²+400²
32²+399²
76²+393²
81²+392²
113²+384²
140²+375²
175²+360²
183²+356²
216²+337²
228²+329²
252²+311²
265²+300²

Posté par
Rodolphe
re : Enigmo 221 : Astérix contre les carrés romains 28-10-10 à 18:58

gagnéMerci Jamo pour cette explication et ce lien vers le théorème des deux carrés de Fermat que je me souviens bien avoir vu mais qui, je dois bien te l'avouer, m'était complètement sorti de l'esprit

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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