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Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages

Posté par
jamo Moderateur
24-12-10 à 10:56

Bonjour tout le monde,

il est bien évident que le Père Noël ne peut pas se déplacer personnellement dans toutes les maisons du monde en une seule soirée lors de la nuit de Noël. Il a pour cela du personnel pour l'aider.
Cela dit, il a tendance à aller plus volontiers livrer lui-même les cadeaux aux enfants qui ont été sages durant toute l'année.

Ainsi, pour un enfant sage, la probabilité est de 10% que le Père Noël vienne livrer les cadeaux. Par contre, pour un enfant qui n'a pas été sage, la probabilité n'est que de 1 sur 100 !

Mais alors, vous allez me demander : qu'est ce qu'un enfant sage ?
Le Père Noël a sa méthode pour le définir. Il classe les enfants par ordre de sagesse, puis crée deux catégories : la moitié la plus sage sera constituée des "enfants sages", et la moitié la moins sage contiendra ce qu'on appellera les "enfants pas sages".
Ainsi, quand on croise un enfant au hasard dans la rue, il y a une chance sur deux pour que ce soit un enfant sage !

Et voilà qu'au matin du 25 décembre, je crois le petit voisin tout content : le Père Noël était passé personnellement pendant la nuit pour lui apporter ses cadeaux !

Question : quelle est la probabilité pour que mon petit voisin soit un enfant sage ?

Vous me donnerez la probabilité sous la forme d'une fraction irréductible (donc un quotient de deux nombres entiers, avec le numérateur plus petit que le dénominateur).

Bonne recherche !

Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages

Posté par
torio
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 11:04

gagné10/11


A+
Torio

Posté par
totti1000
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 11:12

gagnéSalut jamo,

Je propose une probabilité de \frac{10}{11}.

Je sens un piège ...

Joyeux noël !!!

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 11:24

gagnéla probabilité est : 10/11.

Posté par
Montilor
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 11:52

gagné10/11

Posté par
dpi
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 11:54

gagnéJe pense que pour NOEL tu nous a fait
un cadeau qui ne sente  pas le poisson

je dirai donc 50/55 de chance qu'il soit effectivement sage

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 12:04

gagnéBonjour,

Voici ma réponse :

La probabilité pour que ton petit voisin soit un enfant sage est \frac{10}{11}.

Preuve :

Soient S l'événement "l'enfant est sage" et N l'événement "le père Noël livre personnelement". On a
P(S) = \frac{1}{2}
PS(N) = \frac{1}{10}
PS(S) = \frac{1}{100}
On cherche PN(S).

PN(S) = \frac{P(S \cap N)}{P(N)}
         = \frac{P(S) P_S(N)}{P(N)}
         = \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{10}}{\frac{1}{2} \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \frac{1}{100}}
         = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{11}{200}}
         = \frac{10}{11}


Merci et joyeux Noël !

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 12:36

gagné10/11.
Et c'est ma p'tite soeur qui m'l'a dit!
Alors pour une fois, en proba, j'suis confiant

Posté par
evariste
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 12:37

gagnéla probabilité pour que mon petit voisin soit un enfant sage est de 10/11

Posté par
loic74
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 12:50

gagnéBonjour,

A ma grande surprise, j'ai réussi à partir sur cette énigme (je n'oserais pas dire que j'ai l abonne réponse à cause de trop nombreuses désillusions par rapport aux énigmes précédentes ^^)

Mais j'ai été surpris de trouver une piste pour cette énigme qui était de trois étoiles alors que d'habitude je coince dès la premère phrase ^^

Alors pour résoudre ce problème j'ai fait appel à mes souvenirs de terminale,

J'ai fait un arbre pondéré que j'ai inversé pour trouver la probabilité qu'un enfant soit sage sachant qu'il a été livré et je trouve.... 10/11

Posté par
Rodival
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 13:11

gagnéBonjour/Bonsoir,

J'ai trouvé que la probabilité qu'il ait été sage sachant qu'il a été visité par le Père Noël est :
p(S/N) = 4$\red \fbox{10/11}

On a :
p(Père Noël sachant que sage) = p(N/S) = 1/10
p(Père Noël sachant que pas sage) = p(N/!S) = 1/100
p(sage) = p(S) = 1/2
=> p(pas sage) = p(!S) = 1-p(S) = 1/2
on cherche :
p(sage sachant que Père Noël) = p(S/N)

p(NS) = p(S)*p(N/S)
p(NS) = (1/2) * (1/10) = 1/20

p(N!S) = p(!S)*p(N/!S)
p(N!S) = (1/2) * (1/100) = 1/200

p(N) = p(NS ou N!S) = p(NS) + p(N!S)
p(N) = (1/20) + (1/200) = 11/200

p(NS) = p(N)*p(S/N) =>
p(S/N) = p(NS) / p(N)
p(S/N) = (1/20) / (11/200) = 10/11

Merci pour vos énigmes.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 13:27

gagnéBonjour.
L'idée même de l'existence du père coca-cola m'étant antipathique, je transpose cette histoire dix-neuf jours plutôt et y mets en scène Saint Nicolas.
La probabilité que l'enfant soit sage est 10/11.
Sur deux cents enfants, cent sont sages et dix d'entre eux reçoivent un cadeau; cent ne sont pas sages et un seul d'entre eux reçoit quand même un cadeau. Donc sur onze enfants qui reçoivent un cadeau, dix sont sages.

Y a-t-il bien trois étoiles, ou vois-je triple parce que je suis ivre sans m'en rendre compte ?

Posté par
innocent201
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 15:42

perdu9/10

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 16:23

gagnébonjour

je dirais 10/11

mm

Posté par
veleda
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 16:36

gagnébonjour jamo
soit A"le père noël livre les cadeaux chez l'enfant" S l'enfant est sage\bar Sl'enfant n'est pas sage
A=(A\cap S)\cup(A\cap \bar S)=>p(A)=p(A\cap S)+p(A\cap \bar S)=p(S)p(A/S)+P(\bar S)p(A/{\bar S})=\frac{1}{2}(\frac{1}{10}+\frac{1}{100})=\frac{11}{200}
on cherche p(S/A)
p(S/A)=\frac{P(A\cap S)}{p(A)}=\frac{10}{11} sauf étourderie de ma part
merci pour cet énigmo d'actualité et bonne soirée de noël

Posté par
HiendiLune
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 18:06

perdu10% d'une moitié sont des enfants sages ayant des cadeaux
1% de l'autre moitié "        "     "     "     "   "

0,5% des enfants ne sont pas sages et ont des cadeaux
5% des enfants sont sages et ont des cadeaux

5,5% des enfants ont des cadeaux.

0,5/5,5=1/11 des enfants ayant eu un cadeau sont sages.

Il y a donc une probabilité de 1/11 pour que le voisin soit sage.

Posté par
caylus
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 19:23

gagnéBonsoir Jamo,

Je dirais 10/11 en utilisant la même méthode que l'énigmo 212.
Merci pour l'énigme et joyeux Noël.

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 24-12-10 à 23:55

gagnéBonjour Jamo, et Bayes

Ici, la réponse quasi-instinctive est la bonne :   4$\frac{10}{11}   ;   mais c'est un cas particulier : il n'en serait pas de même si les proportions d'enfants sages et pas sages étaient différentes.

Posté par
carpediem
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 25-12-10 à 00:21

gagnésalut ou plutôt bonne nuit voire même bon jour

j'attends toujours le père noël mais ai-je été sage ?....

je dirais 10/11 d'après les formules des probabilités conditionnelles et totales

Posté par
geo3
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 25-12-10 à 11:05

gagnéBonjour
Probablement   10/11
A+

Posté par
LeDino
Joyeux Noël 25-12-10 à 11:33

gagné
Joyeux Noël à toutes et tous !

La probabilité pour que le petit voisin soit sage est de 10/11.

Explication :
Sur 1000 enfants, 500 sont sages (parmi lesquels 50 seront donc visités)...
... et 500 ne sont pas sages (parmi lesquels 5 seront visités).

Il y aura donc en tout 55 enfants visités, dont 50 sages et 5 pas sages.
D'où la probabilité d'être sage parmi les enfants visités : P = 50/55 = 10/11 ~ 90.9%


PS:
Des études formelles ont démontré récemment que les parents considèrent généralement que les enfants qui n'ont pas été visités sont probablement coupables de ne pas avoir été sages (puisque leur probabilité est en effet dix fois supérieure à celle des enfants visités !)... Par mesure de "précaution pédagogique", 90% d'entre eux punissent donc ces enfants... Ce qui conduit donc 85,05% des enfants à être punis à Noël (dont 40,5% injustement...) !

Moralité : le Père Noël est une ordure... et vivent les maths !

Posté par
arek12
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 26-12-10 à 00:17

perdu1/2

Posté par
Yamato
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 26-12-10 à 18:22

gagnéSalut,

Je dirai 10/11.

Posté par
marcaurel225
reponse 26-12-10 à 20:01

gagnéla probabilité pour que le petit voisin soit sage est de 10/11

Posté par
Nyavlys
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 27-12-10 à 12:14

gagnéP = 10/11
Merci pour l'énigme et joyeux Noël à tous

Posté par
Labo
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 27-12-10 à 12:26

gagnéBonjour Jamo,
Bonne année,
probabilité d'être un enfant sage ayant reçu un cadeau:
\red \fr{10}{11}
P(C)=P(S\cap C)+P(\bar{S}\cap C)=\fr{1}{2}\time \fr{1}{10}+\fr{1}{2}\time \fr{1}{100}=\fr{11}{200}
 \\ P_C(S)=\fr{P(S\cap C)}{P(C)}=\fr{10}{11}

Posté par
ming
Père Noël 27-12-10 à 17:24

gagnéS sage NS non sage
N le père Noêl: NN un collaborateur.

p(S/N)= p(SN)/p(N)= (1/2)*(1/10)/( (1/20)+ (1/200))= 10/11

Posté par
FanJoBros13
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 27-12-10 à 17:46

perdu100/100 (qui serait techniquement égal à 1 mais ca fait bizarre)

Posté par
rezoons
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 28-12-10 à 20:57

perduBonjour ,

je tente une probabilité de 1/11.

Posté par
maximeee
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 28-12-10 à 23:43

perduréponse=5/100=1/20

Posté par
thomas24
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 29-12-10 à 11:22

perdu1/2  on n'a besoin que de

Citation :
Ainsi, quand on croise un enfant au hasard dans la rue, il y a une chance sur deux pour que ce soit un enfant sage !

Posté par
Eric1
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 29-12-10 à 12:19

gagnéIl y a 10/11 que l'enfant soit parmi les enfants sages

Posté par
gloubi
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 29-12-10 à 14:53

gagnéBonjour,

Trois étoiles, je flaire le piège. Mais bon, ma réponse: 10/11.  

Posté par
Leelee04
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 29-12-10 à 17:05

perdu11/2000

Posté par
Rodolphe
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 30-12-10 à 00:51

gagnéBonsoir Jamo

je te propose \frac{10}{11} comme probabilité que ton petit voisin fût sage durant l'année.

Posté par
ksad
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 30-12-10 à 20:32

gagné10/11
difficile d'être assidu pendant cette période des fêtes...
mais néanmoins de très joyeuses fêtes et une heureuse année 2011 à tous !

Posté par
Belalex
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 31-12-10 à 01:06

perduProbabilité d'être un enfant sage = 90,91 %

Posté par
orochi
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 31-12-10 à 14:16

perduje pense qu'il y a 1 chance sur 2 pour que mon voisin sois un enfant sage donc

                     1/2

Posté par
FaceDePitch
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 31-12-10 à 15:29

gagnéBonjour,

La probabilité pour que mon petit voisin soit un enfant sage est de \frac{10}{11}

Posté par
Raito07
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 02-01-11 à 21:02

perdu9/10

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 03-01-11 à 15:12

gagnéBonjour,

Ma réponse : 10/11

Démonstration
S = évènement "enfant sage"
N = évènement "livré par Père Noël"

L'énoncé nous donne p(N|S)=1/10, p(N|nonS)=1/100, p(S)=p(nonS)=1/2
On cherche p(S|N)

p(S|N)=p(S)*p(N|S)/p(N)
or p(N)=p(S)p(N|S)+p(nonS)p(N|nonS)=1/2*1/10+1/2*1/100=1/2*11/100
donc p(S|N)=1/2*1/10/(1/2*11/100)=10/11

Posté par
Max_Evans
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 03-01-11 à 17:20

gagnéSur 1000 enfants pris au hasard, il y en a 500 sages et 500 pas sages.
Le Père Noël passe chez 50 enfants sages et 5 enfants pas sages. Soit 55 enfants sur les 1000 enfants.
Sur ces 55 enfants, 50 sont sages, donc la probabilité que l'enfant soit sage est de 10/11, fraction irréductible.

Joyeux Noël Felich ! Poum !

Posté par
Logan74
Petit papa noël 04-01-11 à 18:17

gagnéOn sait que le voisin à reçut un cadeau du père noël, donc la probabilité qu'il en ai reçu un du père noël est de 100%

Or, il y a 10 fois plus de chance pour qu'il est été "sage" que "pas sage", d'où l'équation : a/b + a/10b = 1

On trouve a = 10 et b = 11

Donc ma réponse est donc : la probabilité pour que mon voisin soit un enfant sage est de 10/11 ( = 0.91 environ )

Posté par
ylliw
10/11 05-01-11 à 11:16

gagnéPrenons 200 enfants:
- 100 sont sages
- 100 ne sont pas sages

Parmis les sages, 10 ont ete livre par le pere-noel.
Parmis les pas sages, 1 a ete livre par le pere-noel.

11 enfants (sur 200, soit 5.5%) ont ete livres par le pere-noel.
Mais parmis ceux-ci, seul 1 sur 11 n'etait pas sage (et 10/11 etaient sages).

Le petit voisin n'avait donc que 5.5% de chance "a priori" de recevoir la visite du pere-noel lui-meme, mais puisqu'il a recu le pere noel, il y a 90,90% (10/11 precisement) de chance qu'il soit sage.

Posté par
wayaht
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 05-01-11 à 16:12

gagnébonjours;

je dirais 10/11.

Posté par
pedigrou
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 05-01-11 à 18:43

perduBonjour et bonne année à tous !

La probabilité pour que le Père Noël passe est de 11/200.
Sur ces 11 chanceux 10 sont sages et 1 ne l'est pas !

Je dis donc 10/200 soit 1/20.

Posté par
lo5707
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 09-01-11 à 13:17

perduBonjour,

sur 200 enfants, le Père Noël ira en voir 11, dont 10 sages.

En prenant un enfant au hasard, la probabilité que le Père Noël soit allé le voir est de 11/200, avec une probabilité de 10/200 pour qu'il soit sage.

Ma réponse est donc : 1/20

Merci pour cette énigme.

Posté par
Z-Karya
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 09-01-11 à 19:05

gagnéLa réponse est : 10/11

Posté par
franz
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 10-01-11 à 14:29

gagné4$p({\text sage}) \;=\;\frac{10}{11}

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 227 : Père Noël pour les enfants sages 14-01-11 à 09:21

Clôture de l'énigme

La bonne réponse était : 10/11

Pour trouver ce résultat, on peut faire un petit tableau à double entrée, ou utiliser les formules de probabilité conditionnelle, ...

Cet exercice est assez similaire à celui que j'avais proposé il y a peu de temps : Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête

Ce n'est qu'après avoir posté l'énigme que j'ai un peu regretté d'avoir mis la probabilité qu'un enfant pris au hasard soit sage égale à 1/2. Un petit déséquilibre aurait un peu compliqué l'énigme, comme c'était le cas dans celle avec Derrick.

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