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Enigmo 236 : carrés en pays Shadok

Posté par
jamo Moderateur
25-03-11 à 10:12

Enigmo 236 : carrés en pays Shadok

Bonjour tout le monde,

vous ne le saviez peut-être pas, mais certains se sont intéressés aux mathématiques du pays des Shadoks !
On trouve des cours, des énigmes, ... :

Alors voilà une petite énigme shadokienne ...

C'est donc l'histoire d'un Shadok qui, alors qu'il préparait son repas, fit tomber un spaghetti encore cru au sol qui se brisa en trois morceaux de longueurs distinctes.
Appelons A, B et C les longueurs de ces trois morceaux tels que A>B>C.
L'unité de mesure utilisée, assez bizarre comme tout ce qui vient de la planète Shadok, fait que les valeurs A, B et C sont entières.

Notre ami Shadok, très curieux, mesura la longueur de ces trois morceaux et fit une découverte incroyable : les valeurs obtenues en additionnant ou en soustrayant deux quelconques de ces trois valeurs sont des carrés parfaits (c'est-à-dire des carrés de nombres entiers) !
En d'autres termes, les 6 nombres A+B, A-B, A+C, A-C, B+C et B-C sont des carrés parfaits.

Question : quelles sont les valeurs A, B et C ?

S'il existe plusieurs solutions, vous ne me donnerez qu'un seul triplet de valeurs.

Si le problème est impossible, alors vous répondrez "problème impossible".

Bonne recherche !

Enigmo 236 : carrés en pays Shadok

Posté par
ksad
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 25-03-11 à 14:22

perduproblème impossible, j'en ai bien peur
merci et à bientôt

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 25-03-11 à 14:57

gagné J'ai trouvé (sur la toile) :
A= 733025 B=488000  C=418304

C'est un problème qu'Euler a résolu dans les années 1750.
Trop dur Jamo

Posté par
dpi
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 25-03-11 à 18:02

perduBonjour,

Les shadoks n'avaient que 4 chiffres (GA,BU,ZO,MEU)
On peut donc dire avec une grande certitude qu'ils ne
dépassaient pas 1024....

Ce faisant,le devin plombier se dit que A>B>C et que ces
longueurs étaient paires .

Il eut longtemps l'espoir que A = 500 B=400 et C=176
résoudraient le deal avec ses mathématiciens ...
Il vit que 5 conditions étaient remplies mais que
B-C = 224 manquait d'un souffle 15².

Dans le système shadokien,il déclara donc "c'est donc imposible"

Posté par
caylus
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 25-03-11 à 21:20

perduBonjour Jamo,

problème impossible en vertu du théorème de Lagrange.
Merci pour l'énigmo.

Posté par
Katsuto
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 25-03-11 à 21:45

perduProblème impossible

Posté par
Keron
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 26-03-11 à 09:48

perduBonjour !

Quelle énigme géniale ! J'ai adoré la résoudre, merci beaucoup !

Le triplet que j'ai trouvé avec la méthode que j'ai employé est le suivant : {7085;5236;7076}.

Voici la méthode en question (je n'expliquerais pas comment je l'ai trouvé car ce serait trop long...) :
1. Choisir trois nombres a, m et n entiers et différents.
2. On pose A=(a²+(na+mn²+m)²)/2, B=a²-A et C=(a+2mn)²-A. (les nombres trouvés ne seront pas forcément entiers, mais on peut sûrement arranger la méthode pour ne trouver que des nombres entiers...)

Merci beaucoup pour cette énigme !

Posté par
geo3
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 26-03-11 à 18:27

perduBonsoir
Je dirais " problème impossible "
A+

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 26-03-11 à 18:56

perduBonsoir Jamo. Bonsoir à tous.
J'ai lancé ma procédure magique en GWBasic...
Je n'ai aucune solution pour a, b et c <2000.
Mais y'a 3 étoiles... Donc, j'entrevois l'existence d'une solution.
Tant pis. Si je fais -1, peut-être que je pars de 0 (points potentiels uniquement sur le déménagement). Donc, je ne crains pas trop le -1.
Donc, réponse ferme et définitive à défaut d'être argumentée: Problème impossible.

Posté par
coco17
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 26-03-11 à 21:21

perduproblème impossible

Posté par
frenicle
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 28-03-11 à 13:22

gagnéBonjour

Avec

A = 434657
B = 420968
C = 150568

on a
A + B = 9252
A - B = 1172
A + C = 7652
A - C = 5332
B + C = 7562
B - C = 5202

Je ne crois pas qu'il y ait plus petit (mais il y a plus grand )

Posté par
totti1000
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 29-03-11 à 00:13

perduBonsoir jamo ,


Décidément, une fois n'est pas coutume... Des carrés, et semble t-il encore un problème impossible...


Ma réponse : problème impossible.

Explications :

A>B>C

A+B, A-B, A+C, A-C, B+C et B-C doivent être des carrés, donc on peut écrire :

A-B=D^2
A+B=E^2
B+C=F^2
B-C=G^2
A-C=H^2
A+C=I^2

On trouve alors :
2 A=H^2+I^2
2 A=D^2+E^2
2 B=G^2+F^2
2 B=E^2-D^2
2 C=I^2-H^2
2 C=F^2-G^2

Donc :
H^2+I^2=D^2+E^2
G^2+F^2=E^2-D^2
I^2-H^2=F^2-G^2

En sommant de chaque côté :
H^2+I^2+G^2+F^2+I^2-H^2=D^2+E^2+E^2-D^2+F^2-G^2
Soit : I^2+G^2+I^2=E^2+E^2-G^2

Et enfin : \fbox{I^2+G^2=E^2} (1)

En faisant de même on trouve deux autres relations :

\fbox{G^2+D^2=H^2} (2)

\fbox{D^2+F^2=I^2} (3)


J'appelle (d) la droite qui porte le segment de longueur D, (e) la droite qui porte le segment de longueur E etc...

De (1), il vient que le triangle dont les longueurs sont I, G et E est un triangle rectangle (théorème de Pythagore).
Donc j'en déduis que (i)(g).

De (2) je déduis que (d)(g)

Il vient donc que (i)(d) (ou alors (i) et (d) ne sont pas dans le même plan).

Ce qui est en contradiction avec (3) (en effet on ne pourrait pas construire le triangle associé...)


Merci jamo...

Posté par
Rodival
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 29-03-11 à 12:58

perduBonjour/Bonsoir,

Problème très lié à celui de l'Enigmo 224...

Donc je fini par me résoudre à répondre :

4$\red \fbox{Probleme\ Impossible}

(mais "Impossible n'est pas Shadock !" puisqu'il suffit de se dépécher d'épuiser les fois où ça rate pour arriver le plus vite possible aux fois où ça marche )

J'ai cherché à le prouver avec des formules et des théorèmes, mais sans aboutir.
Ensuite, j'ai cherché à mettre en évidence un mécanisme de descente infinie, mais n'en ai pas trouvé d'efficient.
Alors, j'ai essayé de construire une solution au moyen de fonctions génératrices... là encore, je n'y suis pas arrivé : il y a toujours eu un moment où j'ai été obligé de sortir du domaine des entiers.

Donc ma réponse est incertaine... aussi serais-je très intéressé par une justification formelle d'un autre ilien

Merci pour vos énigmes.

Posté par
Keron
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 31-03-11 à 14:43

perduOooups... J'ai oublié de prendre en compte que (B-C) et que (B+C)... Désolé d'avoir posté trop vite...

Posté par
frenicle
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 31-03-11 à 23:39

gagnéBonjour,

Pour ceux que ça intéresse, voici la méthode que j'ai utilisée.

Posons A - C = p2, A - B = q2 et B - C = r2.
Comme B - C = (A - C) - (A - B) = p2 - q2, on doit avoir p2 = q2 + r2
Le triplet (p, q, r) est donc pythagoricien et si l'on pose p = a2 + b2, q = a2 - b2, r = 2ab, on remplira ces trois premières conditions quels que soient a et b entiers.

Posons maintenant B + C = s2. On en déduit A + B = s2 + p2 et A + C = s2 + q2

On est donc ramené à chercher trois entiers a, b et s tels que s2 + (a2 + b2)2 et s2 + (a2 - b2)2 soient tous deux des carrés parfaits.

Maple fournit en quelques secondes a = 21, b = 18, s = 520, ce qui correspond à la solution donnée plus haut.

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 04-04-11 à 20:10

gagnéBonjour Jamo,

Je te propose :  A = 733 025   ;   B = 488 000   ;   C = 418 304

On a alors :
A+B\,=\,1105^2\ \ ;\ \ A+C\,=\,1073^2\ \ ;\ \ B+C\,=\,952^2
A-B\ =\ 495^2\ \ ;\ \ A-C\ =\ 561^2\ \ ;\ \ B-C\,=\,264^2

Et, pour être honnête, il faut indiquer la référence :
EULER (Leonhard), Solutio succincta et elegans problematis quo quaeruntur tres numeri tales ut tam summae quam
differentiae binorum sint quadrata, Mémoires de l'académie des sciences de St-Pétersbourg, 6 (1813/14), 1818, pp.
54-65. Reprinted in Opera Omnia I.5, pp. 20-27. Available online at EulerArchive.org.

Posté par
Manga2
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 07-04-11 à 10:11

perduBon j'en suis pas si sûr je doute qu'il est possible de résoudre cette énigme mais je suis sûr que c'est un PROBLÈME IMPOSSIBLE.

Posté par
ming
carré 07-04-11 à 20:48

gagnéBonjour

Voici une solution

A=3713858 B=891458 C=88642

mais l'unité est vraiment petite en pays Shadok!

Posté par
Rodival
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 09-04-11 à 23:42

perduHélas, ce problème me turlupinait...
N'arrivant ni à en trouver une solution, ni à démontrer son impossibilité, j'y suis revenu souvent depuis ma réponse à cette énigme...
et je viens de trouver au moins 2 solutions, sauf erreur :

>> a=929209201 b=885636000 c=788810400
a+b = 929209201+885636000 = 1814845201 = 42601²
a-b = 929209201-885636000 = 43573201 = 6601²
a+c = 929209201+788810400 = 1718019601 = 41449²
a-c = 929209201-788810400 = 140398801 = 11849²
b+c = 885636000+788810400 = 1674446400 = 40920²
b-c = 885636000-788810400 = 96825600 = 9840²

>> a=3716836804 b=3542544000 c=3155241600
a+b = 3716836804+3542544000 = 7259380804 = 85202²
a-b = 3716836804-3542544000 = 174292804 = 13202²
a+c = 3716836804+3155241600 = 6872078404 = 82898²
a-c = 3716836804-3155241600 = 561595204 = 23698²
b+c = 3542544000+3155241600 = 6697785600 = 81840²
b-c = 3542544000-3155241600 = 387302400 = 19680²

Je mérite donc bien un   

Ceci dit, ma méthode pour y parvenir n'est absolument pas rigoureuse... je vais encore chercher...

Merci. Cette énigme m'a captivé... et m'a fait perdre beaucoup de temps !!

Pour me remonter le moral, je me répète que je suis resté en tête du concours pendant 4 énigmes, ce mois-ci
C'est dommage

Posté par
LeDino
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 14-04-11 à 18:09

gagnéAvec un peu de retard... voici ma proposition :

A = 434 657
B = 420 968
C = 150 568


Explication :
J'ai utilisé un tableur, mais sans programmation.

En posant :
A-B = I²   B-C = J²   A-C = K²
B+C = L²   A+C = M²   A+B = N²
On trouve :
I² + J² = K²  (IJK pythagoricien)
I² + L² = M²  (ILM pythagoricien)
L² + K² = N²  (LKN pythagoricien)

Pour gagner du temps, on utilise le traditionnel paramétrage pour générer les triplets pythagoriciens :  I=T(U²-V²),  J=2TUV,  K=T(U²+V²)
On regroupe par un simple tri, les triplets distincts ayant un même I :
ils sont alors candidats à fournir à la fois des triplets IJK mais aussi ILM...
Reste alors à vérifier que LKN est pythagoricien également, en calculant simplement la racine de L²+K²...

Comme il semble y avoir un grand nombre de solutions (sauf erreur), la méthode permet assez rapidement de trouver des solutions respectant tous les critères.

Merci pour l'énigme ...

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 15-04-11 à 08:41

Clôture de l'énigme

Bigre, il semblerait que cette énigme ait été plus difficile que prévue !

J'avoue que je n'avais pas essayé de la résoudre, mais je me suis dis qu'avec un petit programme informatique, ça devait se faire plus ou moins facilement.

D'autant qu'avec petite transformation du problème, cela pouvait se résoudre avec un tableur, comme nous l'explique par exemple LeDino.

Comme d'autres l'ont dit, ce problème a été étudié par Euler, même s'il avait été posé par Jacques Ozanam.
Si certains sont très intéressés par ce problème, j'ai quelques pages qui en parlent, avec le côté historique et les méthodes de résolution. Sur demande, je pourrais les scanner et les envoyer par e-mail.

totti1000 >> il faudrait que tu recherches ton erreur, mais je crois que tu es tombé sur le célèbre problème de la brique d'Euler (ou du cuboïde parfait) : existe-t-il un pavé droit dont les côtés sont entiers, ainsi que les diagonales des faces et la grande diagonale ? On ne connait toujours pas si ce problème admet une solution.
Par contre, le problème que je proposais ici est presque le même avec une condition en moins, ce qui le rend "plus facile" à résoudre.

Posté par
totti1000
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 15-04-11 à 10:07

perduBonjour,

J'ai aussi mon système de numération, c'est pas GA-BU-ZO-MEU, le mien est : RI-DI-CU-LE...

Démontrer qu'un problème est impossible, alors qu'il y a bel et bien des solutions...

Citation :
Le 29-03-11 à 0:13 totti1000 :
Il vient donc que (i)(d) (ou alors (i) et (d) ne sont pas dans le même plan).
Sûrement pas !!! La preuve...

Enigmo 236 : carrés en pays Shadok


Mois de mars à oublier pour moi...

Citation :
Le 21-03-11 à 20:00 totti1000 :
Je sens bien Rodival, là, pour mars...


Ok, ben Nofutur2 pour le doublé alors !!!

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 15-04-11 à 13:24

gagnéBravo à frenicle et à LeDino pour leur démonstration...

Posté par
dpi
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 15-04-11 à 14:37

perduPour une fois ,je suis en excellente compagnie

Posté par
castoriginal
Enigmo 236 22-04-11 à 20:32

Bonsoir,

je pense sincèrement qu'on aurait du attribuer les points uniquement à Frenicle , le Dino et Ming qui ont fait preuve de recherche personnelle

Le classement mensuel aurait déclassé Nofutur2 et Pierre D qui ont fourni des solutions toutes cuites ( encore heureux qu'ils l'aient avoué !)

Bien à vous

Posté par
LeDino
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 23-04-11 à 15:52

gagnéBonjour Castoriginal,

Je te remercie pour le compliment implicite .

Mais je crois que les choses sont très bien ainsi. A partir du moment où on parle de "points" et de "classement"... alors on parle de "jeu". Et dans ce cas, les choses sont très simples : les règles du jeu sont les mêmes pour tous, et libre à chacun d'utiliser tous les moyens à sa disposition pour l'emporter.

D'ailleurs il faut aussi du flair pour pressentir qu'il s'agit d'un problème générique déjà posé et peut-être résolu. Et il faut aussi du talent pour trouver la réponse sur le web. Je le sais : j'ai essayé . Et sans la référence à Euler, je crois que ce n'est pas si simple de trouver.

En termes de jeu, nofutur2 et Pierre_D ont été tout simplement "efficaces". Ils méritent donc bien leurs points (d'ailleurs, rien ne dit qu'ils n'auraient pas trouvé en cherchant... plaisir dont ils se sont eux-même privés).

Mais si tu y réfléchis bien, ils méritent d'autant plus leurs points que, nous ayant signalé leurs sources, ils nous font progresser nous même en partageant cette connaisasnce. Et au passage, ils rendent aussi hommage à l'héritage de nos illustres anciens.

Quant à frenicle, ming et moi-même, je crois que nous avons largement notre récompense, puisque les contributions de nofutur2 et Pierre_D nous élèvent implicitement au rang de dignes disciples d'Euler, et ça c'est quand même pas mauvais pour le moral ...

Bon week-end à toutes et tous !
Et encore merci aux auteurs et contributeurs du site.

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 24-04-11 à 14:50

castoriginal >> j'ai vu que tu avais déjà évoqué ce problème qui est que certains participants aux énigmes trouvent les réponses toutes faites sur internet !

Malheureusement, comment lutter contre ça ?
On ne pourra jamais savoir si quelqu'un cherche vraiment une solution personnelle ou va la chercher ailleurs. Même en exigeant une démonstration, elle pourrait être recopiée ailleurs !

De plus, ne pas oublier que les énigmes que je propose sont très rarement sorties de mon imagination : je ne fais qu'habiller des petits problèmes qu'on peut trouver ailleurs et qui sont parfois très anciens.
En général, je modifie les données du problème, ou je les tourne de telle sorte que cela soit plus difficile à trouver très facilement avec un moteur de recherche.

Cela me fait penser à cette histoire, il y a quelques années, qui s'était passé sur ce forum : un type s'était inscrit sur le forum pour demander de l'aide pour une énigme.
Il se trouve que cette énigme avait été posée par un autre site, un site de jeux vidéos je crois, dans le but d'un jeu-concours avec une console ou un jeu vidéo à gagner.
L'organisateur du concours s'étant aperçu que des participants avaient cherché la solution et de l'aide ailleurs, il avait je crois bien annulé le concours !! Et de plus, il était venu pousser une petite grincherie ici !

Dans la mesure où on ne peut pas lutter contre ça, que faire ? Ne plus proposer d'énigmes ?
Après tout, est-ce si grave que ça ?
Le plaisir est de participer, il n'y a rien à gagner.
Et d'un côté, on pourrait se dire que savoir utiliser internet et un moteur de recherche pour trouver ce qu'on souhaite, c'est une bonne chose, non ?

Si certains ont des solutions, proposez-en ...

Posté par
LeDino
re : Enigmo 236 : carrés en pays Shadok 24-04-11 à 16:48

gagnéBonjour jamo,

La "solution" elle est très simple, et les participants aux énigmes l'ont déjà trouvée et gèrent généralement très bien cette contradiction qui n'est qu'apparente.

D'abord, tes efforts pour masquer les sources des problèmes sont le plus souvent suffisants. La plupart des énigmes doivent impérativement être trouvées par soi même la plupart du temps.

Et si parfois, une inspiration ou une aide basée sur des connaissances héritées du passé facilitent la résolution d'un problème, je ne vois pas ce qu'il y a de si gênant. La science est un système de connaissances organisées, hiérarchisées, interdépendantes. C'est un édifice collectif auquel chacun peut tour à tour puiser ou contribuer.

Doit-on reprocher à quelqu'un d'utiliser ses connaissances pour trouver une solution à un problème ? Doit-on oublier le discriminant ou les systèmes d'équations par souci d'équité ? Doit-on renoncer aux tableurs ou à la programmation ?

Le défi même posé par le chronométrage du temps de réponse est intéressant en soi. Avant de se lancer dans une voie de résolution, il peut être judicieux d'estimer le temsp qu'elle prendra et d'envisager d'autres voies. Le choix de la méthode la plus rapide pour résoudre un problème est le premier challenge proposé. Ca fait partie du jeu et ça le rend encore plus intéressant et instructif.

Parmi les approches envisageables, fare une recherche sur internet fait partie de l'arsenal d'aujourd'hui. Du reste ce n'est pas toujours si simple à réussir, surtout sur des sujets mathématiques... Alors après tout, si les énigmes nous poussent à apprendre à le faire avec plus d'efficacité, n'y sommes nous pas gagnants au bout du compte ?

En conclusion, pour moi, ce "problème" n'en est pas un.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 111:47:41.
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