Il me semble que le problème est impossible. Aucun triangle rectangle (différent des trois proposés dans l'énoncé) qui soit rectangle et de même aire, avec des côtés entiers.

Salut jamo,

Je propose :

T₁ : 518, 1320, 1418.
T₂ : 2442, 280, 2458.
T₃ : 2960, 231, 2969.
T₄ : 6160, 111, 6161.


Merci, et joyeuses pâques.

Bonjour/Bonsoir,

J'ai trouvé au moins une solution :

Surface commune : 341880
Triangle 1 :
x = 518, y = 1320, z = 1418, 518*1320/2 = 341880
x² = 268324, y² = 1742400, z² = 2010724 = 268324+1742400
Triangle 2 :
x = 280, y = 2442, z = 2458, 280*2442/2 = 341880
x² = 78400, y² = 5963364, z² = 6041764 = 78400+5963364
Triangle 3 :
x = 231, y = 2960, z = 2969, 231*2960/2 = 341880
x² = 53361, y² = 8761600, z² = 8814961 = 53361+8761600
Triangle 4 :
x = 111, y = 6160, z = 6161, 111*6160/2 = 341880
x² = 12321, y² = 37945600, z² = 37957921 = 12321+37945600

Merci pour vos énigmes.

Re-Bonjour/Bonsoir,

Et une solution à 5 triangles :

Surface commune : 6913932480
Triangle 1 :
x = 92690, y = 149184, z = 175634, 92690*149184/2 = 6913932480
x² = 8591436100, y² = 22255865856, z² = 30847301956 = 8591436100+22255865856
Triangle 2 :
x = 51520, y = 268398, z = 273298, 51520*268398/2 = 6913932480
x² = 2654310400, y² = 72037486404, z² = 74691796804 = 2654310400+72037486404
Triangle 3 :
x = 86112, y = 160580, z = 182212, 86112*160580/2 = 6913932480
x² = 7415276544, y² = 25785936400, z² = 33201212944 = 7415276544+25785936400
Triangle 4 :
x = 38295, y = 361088, z = 363113, 38295*361088/2 = 6913932480
x² = 1466507025, y² = 130384543744, z² = 131851050769 = 1466507025+130384543744
Triangle 5 :
x = 44640, y = 309764, z = 312964, 44640*309764/2 = 6913932480
x² = 1992729600, y² = 95953735696, z² = 97946465296 = 1992729600+95953735696

Re-Merci pour vos énigmes.

Salut Jamo,
Bon, après la décomposition de 1680 en facteurs premiers grâce à l'équation x*y=1680, je n'ai trouvé que les 3 propositions cités.

Donc, je propose PROBLÈME IMPOSSIBLE comme solution de cette énigme.

Bonjour,

Les trois triangles donnés (surface 1680 )sont les plus
nombreux pour des dimensions jusqu'à 1000
Au delà les écarts se creusent et je dirai donc
problème impossible

Bien entendu

Tous les triangles dont les dimensions sont des multiples de
ceux de l'énoncé  répondent à la définition et ont la mêmme surface
tout les trois
énoncé surface 840
double  ...... 3360
triple ......  7560

etc.
      

4 triangles rectangles à côtés entiers qui ont la même aire :
-le triangle (111, 6160, 6161)
-le triangle (231, 2960, 2969)
-le triangle (518, 1320, 1418)
-le triangle (280, 2442, 2458)

Bonjour Jamo

J'ai failli passé une nuit blanche en pensant à ton énigmo Merci pour ce bonheur qui a fait cogiter mon cerveau !

Quatre triplets pythagoriciens répondant à l'enigmo sont

(518 ; 1320 ; 1418)
(280 ; 2442 ; 2458)
(231 ; 2960 ; 2969) et
(111 ; 6160 ; 6161) _{(J'ai mis du temps à trouver ce dernier et pourtant pas si compliqué que cela, celui-ci !)}

Merci encore et Joyeuses Pâques

Bonjour,

Voici une solution à 4 triangles (sauf erreur ils sont de surface minimale) :
111  6160  6161
231  2960  2969
280  2442  2458
518  1320  1418

Pour le fun, une solution à 5 triangles :
38.295   361.088   363.113
44.640   309.764   312.964
51.520   268.398   273.298
86.112   160.580   182.212
92.690   149.184   175.634

La méthode... toujours la même, avec tableur et sans programmation, en triant les triplets pythagoriciens engendrés par un paramétrage a=2uv et b=u²-v², par ordre de surface. Puis dénombrement des doublons en surface et repérage des cas où ce nombre est supérieur à 3.

Bonjour Jamo,

Voici 9 solutions trouvées à l'aide de 19899 triples de Pythagore différents.

Aire:        (c,a,b) avec c²=a²+b² et a*b/2=aire.
      
341880:  
(1418,518,1320)     (2458,280,2442)     (2969,231,2960)    (6161,111,6160)


1367520:  
(2836,1036,2640)    (4916,560,4884)     (5938,462,5920)    (12322,222,12320)

5470080:
(5672,2072,5280)    (9832,1120,9768)    (11876,924,11840)  (24644,444,24640)

8168160:
(6388,2860,5712)    (8402,2002,8160)    (15506,1056,15470) (17497,935,17472)

27692280:
(12762,4662,11880)  (22122,2520,21978)  (26721,2079,26640) (55449,999,55440)

32672640:
(12776,5720,11424)  (16804,4004,16320)  (31012,2112,30940) (34994,1870,34944)

52492440:
(14746,8970,11704)  (18218,6118,17160)  (32089,3289,31920) (38138,2760,38038)

116396280:
(21914,13464,17290) (24329,10640,21879) (25433,9945,23408) (41098,5720,40698)

130690560:
(25552,11440,22848) (33608,8008,32640)  (62024,4224,61880) (69988,3740,69888)

Merci pour la recherche.

Bonjour
une solution sous forme de (a,b,c) avec (a,b) les 2 côtés de l'angle droit qui donne une aire = 341880  est

(111 , 6160 , 6161)
(231 , 2960 , 2969)
(280 , 2442 , 2458)
(518 , 1320 , 1418)
A+

Bonjour,
Je trouve 4 triangles "pythagoriciens" dont l'aire vaut 341880.
Il s'agit des triangles:
(111,6160,6161)
(231,2960,2969)
(280,2442,2458)
(518,1320,1418)

on trouve aussi (par exemple... il existe de multiples solutions)
- 5 triangles pythagoriciens ayant une aire de 589824,
- 6 triangles pour 393216,
- 7 triangles pour 786432,
- 8 triangles pour 983040,
... et je suppose qu'on pourrait continuer longtemps comme cela.

Bonsoir,

je vous propose la solution suivante:

triangle 1:  côtés de l'angle droit 111, 6160 , hypothénuse 6161   surface 341880

triangle 2:  côtés de l'angle droit 231, 2960 , hypothénuse 2969   surface 341880

triangle 3:  côtés de l'angle droit 280, 2442 , hypothénuse 2458   surface 341880

triangle 4:  côtés de l'angle droit 518, 1320 , hypothénuse 1418   surface 341880

Bien à vous

Bonjour Jamo, et merci,

Je pense qu'il y a une infinité de tels quatuors. La plus petite aire que j'ai trouvée est  341 880 , pour les triangles :
a = 111 ,  b = 6160 ,  c = 6161     (générateurs du triplet pythagoricien :  p=56, q=55)
a = 231 ,  b = 2960 ,  c = 2969     (générateurs du triplet pythagoricien :  p=40, q=37)
a = 280 ,  b = 2442 ,  c = 2458     (générateurs du triplet pythagoricien :  p=37, q=33)
a = 1320,  b = 518  ,  c = 1418     (générateurs du triplet pythagoricien :  p=37, q=7)

Bonjour jamo

Voici quatre triangles de mémère :

111, 6160, 6161
231, 2960, 2969
280, 2442, 2458
518, 1320, 1418

Leur aire commune est égale à 341880.

Merci pour l'Enigmo !

111---6160---6161
231---2960---2969
280---2442---2458
518---1320---1418


pour une aire de : 341880


A+
Torio

Bonjour,

pour moi c'est les trois seuls possibles aucun autre triangle ne permet d'avoir hypoténuse entier avec des longueurs de cotés entier aussi

Enfin j'espère ne pas me tromper

Les trois triangles proposés dans l'énoncé sont les seuls à repondre aux conditions données.(il n'y a pas de quatrième)

Problème impossible !!!

Explications : on cherche des triangles rectangles tels que l*h=112*15=42*40=70*24=1680
et tels que l et h soient entiers. De plus, (l^2+h^2) est un entier.
Avec un logiciel comme Maple on teste toutes les possibilités pour 1<h<1680 et 1<l<1680, soit 2822400 possibilités

l'algorithme est le suivant :

pour h de 1 à 1680
      pour l de 1 à 1680
            si h*l=1680 et sqrt(h^2+l^2)=E(sqrt(h^2+l^2)) alors affichez(h,l)
            fin si
      fin pour
fin pour

E(x) désigne la partie entière de x.

Maple affiche en une dizaine de secondes les 3 solutions triviales uniquement.

Bonjour,

voici ma proposition:

1er triangle:
1320 518 1418
2e  triangle:
2442 280 2458
3e triangle:
2960 231 2969
4e triangle:
6160 111 6161

Ces quatres triangles ont pour aire 341880

Merci pour l'énigme,

1emeu

Clôture de l'énigme

J'ai été un peu étonné de la manière dont certains ont compris l'énoncé : ils ont pensé qu'il fallait chercher des triangles ayant l'aire donnée dans l'exemple !

L'énoncé demande "trouver 4 triangles ayant la même aire", et non pas "trouver 4 triangles ayant la même aire de 1680" !

Pour information, il est même possible de trouver 5 triangles ayant la même aire, 6 triangles, 7 triangles, etc ...

Merci Jamo,
Pour ma part, je me suis demandé pourquoi tu avais illustré ton exemple avec un arbre fractal...
Etait-ce un indice pour trouver une méthode permettant d'orienter la génération des n-uplets solution ? ou un indice pour remarquer une structure des triangles solution ?
Ayant échoué à faire apparaître une telle strucuture, je suis curieux de savoir si cet arbre fractal avait une signification cachée...

Bonjour Rodival,

Je crois que jamo a surtout trouvé le dessin joli .

Au demeurant il figure la propriété de Pythagore (deux carrés s'appuyant par leurs extrémités sur un troisième et formant un triangle rectangle), sujet de prédilection du Maître.

La répétition du motif à l'infini offre éventuellement une interprétation psychanalytique suggérant qu'il n'y a dans l'esprit de jamo, pas de limite au nombre de carrés de mémère... pas plus qu'à sa passion pour ce thème ...

Pour notre plus grand plaisir, évidemment.

Bonjour LeDino,

@LeDino,
- -

Bonsoir

Moi je dis bravo à fravoi .

Bravo à tous les autres aussi bien sûr

L'image fractale que j'ai mis s'appelle tout simplement un "arbre de Pythagore", voilà pourquoi !

Et si certains sont intéressés pour une méthode pour trouver autant de triangles rectangles à côtés entiers avec la même aire, qu'ils me fassent signe ...

Oui Jamo, moi, moi, MOA !!!
Je serais bien intéressé par la méthode... mon analyse formelle personnelle s'étant cassée les dents... j'apprendrai surement quelque chose.
D'avance merci.

Bonsoir

et moi je n'ai même pas compris comment vous avez fait pour trouver ces triangles

Bonsoir à tous,

Bonjour,

Voici une méthode simple et générale (mais qui conduit rapidement à des nombres gigantesques).

Si est un triangle rectangle, le triangle et aussi rectangle et a la mémère.

En partant d'un triangle rationnel et en répétant le procédé, on obtient autant de triangles rationnels de mémère que l'on veut.

Ces triangles rationnels de mémère ont des multiples entiers de mémère.

est aussi rectangle ...

Pour la méthode, frenicle m'a devancé ...

d'ailleurs, le mathématicien Frenicle de Bessy s'était intéressé à ce problème, on en trouve des traces dans les mémoires de l'académie des sciences.

C'est vrai, Bernard Frenicle de Bessy, membre de l'Académie royale des sciences, s'intéressait beaucoup à ces sujets, comme son ami Fermat.
Il a même publié en 1676 un "Traité des triangles rectangles en nombres dans lequel plusieurs belles propriétés de ces triangles sont démontrées par de nouveaux principes".

Bonsoir,

Pour ceux qui, comme moi, ont quelques difficultés à comprendre les formules de Frenicle, je peux apporter quelques indications :

Quand Frenicle dit que (a,b,c) est un triangle rectangle, il dit que c² = a²+b² et je pense qu'il faut ajouter a<b<c pour que les formules qui suivent fonctionnent bien.
Si on appelle (x,y,z) le 2ème triangle rectangle, on a :
x = (2*a*b*c) / (2*b^2 - c^2)
y = (2*b^2 - c^2) / (2*c)
z = (c^4 + 4*b^2*c^2 - 4*b^4) / (2*c*(2*b^2 - c^2))

On voit assez facilement que les deux triangles ont même aire puisque, avec de simples simplifications, x*y/2 = a*b/2.
Montrer que z² = x²+y² est un peu plus difficile mais reste du niveau de seconde... pourvu qu'on n'oublie pas de remplacer a² par c²-b² au bon moment.

Donc, les conditions de l'énigme sont respectées. Mais, nous avons des rationnels à la place d'entiers.
Exemple : en partant du triangle rectangle classique (a,b,c)=(3,4,5), nous obtenons le triangle (x,y,z)=(120/7, 7/10, 1201/70).
Heureusement, si (a,b,c) est rectangle, (a*k,b*k,c*k) l'est aussi car (a*k)²+(b*k)² = (a²+b²)*k² = c²*k²
Il suffit, donc, de correctement choisir k pour que x, y et z soient entiers. Dans notre exemple, avec k=70, nous aurons (a,b,c)=(3*70,4*70,5*70)=(210,280,350), et nous obtiendrons le triangle (x,y,z)=(1200, 49, 1201) de même aire.
Ensuite, il suffit d'ordonner le nouveau triangle en (x,y,z)=(49, 1200, 1201) et de recommencer au début en remplaçant (a,b,c) par (x,y,z).

Hélas, l'étape suivante donne (x,y,z) = (2017680/1437599, 1437599/168140, 2094350404801/241717895860) et la 4ème étape donne plus de 50 chiffres au dénominateur commun.
Cette méthode n'est donc pas vraiment utilisable dans la pratique mais elle démontre formellement qu'on peut construire une suite infinie de triangles rectangles de même aire... même si on n'arrive rapidement plus à les calculer

Pour l'instant, je reconnais la véracité de ces formules mais je reste pantois devant celui qui les a trouvées. Quelle méthode a-t-il utilisée pour les construire ? Beaucoup d'intuition ? Un grand savoir-faire ? Du grand art ! Je vais les étudier encore longtemps avant de vraiment les apprivoiser...

Bonjour

je suis supposée pouvoir comprendre ?

Bonjour Louisa

En principe, il n'y a que des calculs abordables au niveau seconde, mais Fermat ne donne que le minimum d'indications.
Ces notes étaient destinées, je crois, à son usage personnel.
Si tu veux comprendre, il faut travailler ce texte, stylo à la main, et vraiment t'accrocher...

Louisa,

Le seul truc qui n'est peut-être pas appris en seconde concerne les triangles pythagoriciens eux-mêmes...

On peut tous les trouver avec les formules :
x = m² - n²
y = 2mn
z = m² + n²
où m et n sont des entiers,
x et y sont les mesures des cotés de l'angle droit
et z la mesure de l'hypoténuse.

En utilisant les identités remarquables, tu peux rapidement voir que, quelque soient m et n, on a z² = x²+y².

Il a été prouvé que tous les triangles pythagoriciens correspondent à un couple (m,n) et que tous les couples (m,n) donnent un triangle pythagoricien.

Sachant cela, dès qu'on parle de triangles pythagoriciens, on raisonne souvent autour de ces formules.

Ceci dit, Fermat donne les indications juste suffisantes pour démontrer ce qu'il avance.
Comment il est arrivé à ces éléments reste caché au fond de son génie...

Exact Frenicle...
une imprecision de ma part...
et k n'a pas besoin d'être un carré parfait...

C'est pas clair ce que je viens de dire là !
Je voulais dire que si k est un carré parfait, des multiples de m et n le remplaceront facilement.

Bonsoir et merci pour les explications, je ne pense pas que je peux le faire !

Je voudrais la méthode