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Enigmo 255 : Koh-Lanta

Posté par
jamo Moderateur
06-11-11 à 10:19

Bonjour tout le monde,

voici une nouvelle épreuve pour le jeu Koh-Lanta : la course sur une ile triangulaire.

Une ile a une forme de triangle dont les côtés sont égaux à 100m, 110m et 85m (vois figure ci-dessous).
Un joueur part d'un point A situé sur un côté de l'ile, court en ligne droite jusqu'à un point B situé sur un deuxième côté, et de là à un point C sur le troisième côté. Enfin, il revient à son point de départ A.
Bien entendu, l'objectif est de revenir au point de départ le plus vite possible ...

Question : donner la longueur du trajet le plus court (en mètres avec une précision au décimètre, donc un chiffre après la virgule).

Je ne demande pas la position des points A, B et C qui peuvent être n'importe où (en particulier, le joueur peut choisir la position de son point de départ).

Et si certains d'entre vous ont envie de me donner la valeur exacte de ce trajet le plus court, ne vous en privez pas.

Bonne recherche !

Enigmo 255 : Koh-Lanta

Posté par
totti1000
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 10:55

gagnéSalut jamo,

Je propose un trajet d'environ 140,5 m.

Merci.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 11:05

perduJe trouve une longueur de 147,4 m (arrondi au dm le plus proche).

Posté par
castoriginal
Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 12:17

perduBonjour à tous,

personnellement, j'ai trouvé que le trajet le plus court, donc le plus rapide, est celui qui relie les points de tangence au cercle inscrit dans le triangle.

On obtient un trajet total de 142,18866m  soit arrondi au décimètre de 142,2 m

Enigmo 255 : Koh-Lanta

Si p est le demi-périmètre du triangle p=(85+110+100)/2=147,50m
Le rayon du cercle inscrit vaut R =(p-a)*(p-b)*(p-c)/p = 47,5*62,6*37,5/147,5 = 27,473021m
Dans le triangle OAN rectangle en N on a sin(NOA)=sin(/2-(NAM)/2)=cos(NAM/2)
cos (NAM/2)=p*(p-100)/110*85=0,8656393
NM=2*R*0,8656393 = 47,56378m
De la même façon, on calcule NL=50,30093 m et ML=44,323955m

Bien à vous

Posté par
caylus
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 13:14

gagnéBonjour Jamo,

140,5 m
(420375/2992).
Merci pour cette énigme et son triangle orthique.

Posté par
manpower
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 13:49

gagnéBonjour,

sauf erreur de ma part, les points A, B et C doivent être les pieds des hauteurs du triangle de départ.

Ensuite, pour ce qui est de la valeur exacte, vue la remarque de jamo cela doit être une torture...
(même si je suis persuadé qu'ici on peut y arriver via des équations et le théorème de Pythagore ou d'Al-Kashi)
du coup je ne tente même pas !

Allez hop, un logiciel de géométrie, et vlan la réponse illico: 140,4996657754 m

Avec la précision exigée cela donne donc environ 140,5 m.

Merci pour cette énigme que je concède avoir un peu bâclée.

Posté par
lesmamas
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 13:49

gagné140,5 m

Posté par
kioups
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 14:06

gagnéPour que le trajet soit le plus court, il faut A, B, C soient les pieds des hauteurs du triangle.

On trouve alors une longueur d'environ 140,5 m.

Posté par
geo3
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 14:08

gagnéBonjour
La longueur du trajet le plus court  est donnée par le périmètre du triangle orthique égal à 8S²/(abc) = 420375/2992 = 140,4996657 m. = 140.5m
A+

Posté par
pdiophante
Enigme 255 06-11-11 à 18:19

gagnéBonjour,

Le triangle de périmètre minimal dont les sommets appartiennent aux côtés d'un triangle ABC acutangle est le triangle orthique qui a pour sommets les pieds des hauteurs du triangle ABC (problème de Fagnano dont les références sur le Web sont nombreuses).
Grâce à la loi des cosinus (formule d'Al-Kashi) appliquée au triangle initial,on  calcule les cosinus et sinus des angles de ce triangle. D'où les dimensions des côtés AB,BC et CA qui s'expriment sous la forme de nombres rationnels:
AB = 10115/176, BC = 9325/187 et CA = 2255/68.
Le trajet le plus court est alors égal à 420375 / 2992 = 140,4996...mètres.

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 18:38

gagnéBonjour

Il me semble que le trajet le plus court fait 140,5 mètres

mm

Posté par
dpi
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 19:22

perduBonjour

Le triangle de Gergonne me parait
tout indiqué soit 142.2m
Le triangle des bases des médiatrices
ferait 147.5

Posté par
buck92
Enigmo 255 06-11-11 à 19:43

perduBonjour,
147,4 m
sans être absolument certain que c'est le plus court
4/110(147,5 * 37,5 * 47,5 * 62,5)
=4/110(16 420 898,4)
Merci pour cette énigme.

Posté par
titeo
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 19:53

gagnéSalut!

Je propose 140,5m

avec a=85, b=100 et c=110, le résultat est (si je ne me suis pas trompé) :

\sqrt{(bA)^2+(aA)^2-2abA^3}+\sqrt{(aB)^2+(cB)^2-2acB^3}+\sqrt{(bC)^2+(cC)^2-2bcC^3}

avec
A=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}
C=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

Posté par
LO_RV
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 06-11-11 à 19:59

gagnéJ'ai une valeur minimale de 140,5 m environ pour le trajet entre les trois cotés, qui correspond au périmètre du triangle joignant les pieds des hauteurs.

Je n'ai pas approfondi pour savoir pourquoi ce triangle particulièrement satisfaisait aux conditions demandées.

Je suppose que c'est pour une histoire d'angle égaux, de réduction du triangle de départ, et que cela pourrait se démontrer avec la symétrie axiale, qui doit minimiser les trajets entre deux points.

Je serais content d'avoir une explication sur ce phénomène et j'espère que quelqu'un saura l'expliquer mieux que moi.

Merci et bonne soirée.

Posté par
ming
enigme 07-11-11 à 00:52

perdutriangle orthique

Posté par
geo3
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 07-11-11 à 09:29

gagnéBonjour
A titre d'information :
On a aussi un post semblable ici :
Défi 7 de minkus sujet 81228 mathilien fou du 13/05/06
A+

Posté par
ksad
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 07-11-11 à 12:11

gagnéBonjour,
Le plus court chemin consiste à joindre les pieds des trois hauteurs.
Ceci donne selon mes calculs une distance totale de 140.5 mètres.

Pour la valeur "exacte", je tente la distance suivante:
140.499665775401

merci pour la joute !

Posté par
torio
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 07-11-11 à 12:16

perdu147,5 m

A+
Torio

Posté par
torio
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 07-11-11 à 14:26

perduoups : 140,5 m  et non 147,5 m

Posté par
gauss59
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 07-11-11 à 22:15

perduMoi j'aurais calculé la plus petite hauteur, multiplié par 2.

Si j'ai pas fait d'erreur de calcul, j'ai trouvé 147.4m.

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 08-11-11 à 19:24

gagnéBonjour Jamo,

Ma réponse est :  à peu près  140,5 m  ; la vraie valeur étant :  \small\dfrac{420375}{2992}

En effet :
1. Etant donnés une droite (D) et deux points B et C n'appartenant pas à (D), le point A de (D) qui fournit la valeur minimum de (BA+CA) est tel que la normale en A à (D) soit bissectrice de l'angle BAC (loi de la réflexion).
2. Dans un triangle acutangle PQR dont les pieds des hauteurs sont A,B,C , les hauteurs PA, QB, RC sont les bissectrices du triangle ABC (triangle "orthique" de PQR).
3. Conclusion : le triangle inscrit dans un triangle acutangle PQR qui a le périmètre minimum est le triangle orthique de PQR. On montre en outre que la valeur de ce périmètre minimum est :    \small\dfrac{8S^2}{abc}=\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{2abc}  ,  où  a, b, c sont les longueurs des côtés de PQR, et S la valeur de son aire.

Posté par
franz
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 09-11-11 à 14:04

gagnéLa distance minimale parcourue est \large \red \frac{420\,375}{2\,992}\;=\;140,5\;m

Posté par
LeDino
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 09-11-11 à 19:04

perduBonjour,

Je propose 147,4m.
La valeur exacte serait 25/22*racine(15*1121).

Explication :
Il faut prendre A confondu avec C.
Le trajet correspond alors à un aller retour le long de la plus courte hauteur du triangle.
Cette hauteur se calcule comme deux fois la surfaces divisée par la base.
La surface est donnée par S = racine[p.(p-a).(p-b).(p-c)]
Avec p = (a+b+c)/2
La plus petite hauteur est celle qui se projette sur la base la plus grande (c=110).

Posté par
mimoun33
réponse 09-11-11 à 21:47

perduBonjour,
je pense que la réponse est 147,5 mètres.
merci

Posté par
LeDino
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 11-11-11 à 09:32

perduBonjour,

N'étant pas satisfait de ma première réponse (et pour cause...),
j'ai ruminé l'énigme et réalisé qu'il s'agissait typiquement d'un problème d'optique,
comme c'est souvent le cas dans une recherche de trajet minimal.

Si l'on choisit d'abord librement A sur une base du triangle,
alors B et C sont imposés par les lois de la réflexion de la lumière.
Ou si l'on préfère, on construit les images A' et A" de A
(points symétriques de A par rapport aux deux autres cotés),
et le trajet recherché, L = ABCA sera le même que A'BCA",
qui sera minimal s'il est rectiligne.

Reste à positionner A sur la base.
Mais on observe deux faits remarquables :
1.  OA' = OA = OA" = X   (O étant le sommet opposé à A)
2.  angle(A'OA") = 2.   ( étant l'angle en O)

On en déduit que la longueur cherchée sera L = 2*X*sin(2/2),
et donc L = 2*X*sin().
Mais dans ce cas, L sera minimal si X est minimal,
et donc X coïncide exactement avec la hauteur h = OHa !
On remarquera d'ailleurs que ce résultat vaut forcément pour les points B et C par permutation, et que A, B et C sont les pieds des hauteurs du triangle...

En conclusion :
L = 2*h*sin()

Calcul :
Loi des sinus :     a/sin() = a.b.c/2S
Surface :           S = racine{p.(p-a).(p-b).(p-c)]
Avec :              p = (a+b+c)/2

Par élimination :   L = 8.S²/(a.b.c)

Et donc :        L = (a+b+c).(a+b-c).(a+c-b).(b+c-a) / (2.a.b.c)

Et au final :   L = 420 375 / 2 992 ~ 140.5 m

Ci-dessous, l'illustration en image de cette jolie énigme, dont je remercie vivement l'auteur :

Enigmo 255 : Koh-Lanta

Posté par
LittleFox
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 13-11-11 à 02:26

perduLa distance minimale est de 140,0m
et est obtenue lorsque les points A,B,C sont les extrémités opposées aux sommets des hauteurs.

Posté par
Compress
Réponse à l'énigme Koh Lanta 15-11-11 à 10:06

perduBonjour,

s'il ne faut donner que la longuer du parcours minimal, je dirai donc 147.5 mètres.

Cordialement.

Posté par
DARK_DUCK
Réponse 17-11-11 à 22:16

gagnéJe propose : 140.5m

je suis désolé de ne pas pouvoir fournir de valeur exacte, je n'ai pas les outils necessaires je suis en TS, il me semble qu'il faut étudier la valeur minimale d'une fonction aemettant 3 paramètres. Si quelqu'un a une méthode je suis preneur.

avec plus de précision je trouve : 140.4997

Mathématiquement

DARK_DUCK

Posté par
Chatof
l= 420375/2992 18-11-11 à 10:47

gagnéPar une symétrie d'axe (CB) puis une autre d'axe (CA') je construis CB'A' qui est une rotation de 2α de CBA (α = l'angle du sommet  C ).

Je cherche la longueur MM'.  Le triangle CMM' est isocèle. Pour le obtenir le minimum de MM' il faut que CM soit la hauteur du triangle ABC.  
Je coupe CMM' en deux. MM' = MD + DM'
Je retrouve α en C dans la triangle MCD.

Pour trouver α, je  trace la hauteur issue de AE dans le triangle ABC .

l=MM' = 2 CM sin  α = 2 CM AE/AC

Pour le calcul des hauteurs on utilise  Pythagore ou  la formule de la surface.

Dans un triangle de côtés a, b et c, si p est le demi-périmètre du triangle : p=(a+b+c)/2
Alors l'aire vaut : √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

AE = ha= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]   / (2a)

l=MM' = 2 CM sin  α = 2 CM AE/AC = (4b²c²-(a²-b²-c²))/(2abc)
ou
l= (2a²b²+2a²c²+2b²c² -a²a²-b²b²-c²c²)/(2abc)
ou
l= 8p(p-a)(p-b)(p-c)/(abc)    avec p=(a+b+c)/2

a=110 b=100 c=85
l= 420375/2992=140,499665775401069518716577540106951871657754010695187165775401...

l= 420375/2992

l= 420375/2992

Posté par
edlecoch
Enigmo 255 : Koh-Lanta 18-11-11 à 15:38

gagnéBonjour les matheuses, bonjour les matheux.

Ma réponse est :  140,5 mètres

En géométrie euclidienne, ce problème est connu sous le nom de "Problème de Fagnano" 1682-1766).

Énoncé du théorème:
Pour tout triangle acutangle ABC il existe un unique triangle MNO de périmètre minimal, inscrit dans ABC.
Ce triangle a pour sommets les pieds des hauteurs issues des sommets du triangle ABC.

Le triangle MNO est appelé "triangle orthique".

Formule donnant le périmètre total P d'un triangle orthique en fonction de l'aire S et de la longueur des côtés a, b et c du triangle initial:
P  =  8S2 / a*b*c

Calcul de S2 dans le triangle initial, c'est-à-dire l'île:
On sait que S  =  [p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2
Donc, S2  =  p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
(où p représente le demi-périmètre)

p  =  (100 + 110 + 85) / 2  =  295 / 2  =  147,5
p - a  =  147,5 - 100  =  47,5
p - b  =  147,5 - 110  =  37,5
p - c  =  147,5 - 85  =  62,5

S2  =  147,5 * 47,5 * 37,5 * 62,5  =  16.420.898,4375

Calcul de P dans le triangle orthique, c'est-à-dire la longueur recherchée pour le trajet le plus court:
P  =  (8 * 16.420.898,4375) / (100 * 110 * 85)  =  140,4996657754.......

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 21-11-11 à 09:58

perduBonjour jamo ,

Longueur du trajet le plus court = 147,5 m.

Merci.

Posté par
Chatof
petite correction 21-11-11 à 18:23

gagnél =MM' = 2 CM sin  α = 2 CM AE/AC = [4b²c²-(a²-b²-c²) 2]  /(2abc)
                                                                            _____

ou
l= (2a²b²+2a²c²+2b²c² -a²a²-b²b²-c²c²)/(2abc)
ou
l= 8p(p-a)(p-b)(p-c)/(abc)    avec p=(a+b+c)/2

Posté par
gloubi
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 22-11-11 à 14:04

gagnéBonjour,

Le trajet le plus court vaut environ 140,5 m.
Merci pour l'énigme !

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 25-11-11 à 13:39

gagnéCompte tenu de ma technique et de mes résultats du mois dernier, il y a des chances pour que je fasse une pêche miraculeuse...
mais bon, je me lance: 140,5 m.

Posté par
coco17
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 26-11-11 à 20:46

gagnéBonjour, je dirais 140,5 m !
Voila merci

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 28-11-11 à 08:40

Clôture de l'énigme

Le problème proposé dans cette énigme s'appelle le problème de Fagnano :

Et la réponse à ce problème se trouve dans le triangle orthique dont les sommets sont formés des pieds des hauteurs. Il existe même une formule pour calculer la valeur exacte de son périmètre :

La bonne réponse était donc : 420375/2992 = 140,4996658...

Posté par
Chatof
réclamation 28-11-11 à 09:38

gagné
"Et si certains d'entre vous ont envie de me donner la valeur exacte de ce trajet le plus court, ne vous en privez pas."

"La bonne réponse était donc : 420375/2992 = 140,4996658..."

J'ai donné la réponse "l= 420375/2992 Posté le 18-11-11 à 10:47" en titre et dans le texte.

De plus, ma démonstration me semble plus simple: la ligne droite est le plus court chemin.
Bref, je proteste.  

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 28-11-11 à 17:46

Ok, je vais accorder la réponse si la valeur exacte est donnée, j'aurais du préciser que celle-ci pouvait être donnée en plus de la valeur approchée demandée avec la bonne précision.

Cela dit, je reste assez désespéré de ce genre d'énigmes où la réponse doit être donnée avec une précision imposée, et que certains ne respectent pas : j'ai beau donner la précision, rajouter à combien de chiffres après la virgule cela correspond, rien à faire ...

Posté par
LeDino
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 28-11-11 à 18:02

perduBonjour Chatof,

Félicitations pour avoir trouvé la valeur exacte, ainsi que pour la démonstration du plus court chemin.

Il n'est malheureusement pas possible de t'accorder les points que tu aurais mérité d'obtenir sur le fond, car tu n'as pas strictement respecté les consignes de l'énoncé sur la forme.

En effet, la question posée était clairement :

Question : donner la longueur du trajet le plus court (en mètres avec une précision au décimètre, donc un chiffre après la virgule).

Il aurait donc fallu répondre :  l=140,5 m
Et non l=140,499665775401069518716577540106951871657754010695187165775401...
comme tu l'as fait.

Tu n'es pas le premier (et surement pas le dernier) à faire cette erreur (par excès de zèle ?...). Mais la règle est très stricte, non seulement pour avoir une réponse claire, unique, consensuelle et non sujette à controverse ; mais aussi pour faciliter le travail du correcteur.

Tu comprendras probablement que chacune de ces deux raisons justifie à elles seules la rigueur de la règle.

Par ailleurs, je te recommande chaleureusement la lecture du post consacré aux règles de réponse dans ce forum. Tu y verras notamment qu'il est demandé de mettre bien en évidence la réponse au problème, dès le début du message et de manière très visible et sans ambiguïté.

Puis seulement dans un second temps, de la compléter si on le souhaite, d'un commentaire, d'explication, de démonstrations... voire parfois d'une réponse à une éventuelle question subsidiaire s'il y en a une, comme c'était le cas ici, avec la demande de la valeur exacte (qui ne pouvait se substituer à la question principale).

J'espère t'avoir éclairé... et que ton poisson ne te gachera pas la satisfaction d'avoir trouvé une bonne (et élégante) réponse.

LeDino

Posté par
LeDino
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 28-11-11 à 18:06

perduJ'ai posté avant de voir la réponse de jamo...
... dont le coeur a encore pris le dessus sur la raison ...

Mais Chatof fais quand même gaffe : il y a des règles, et il faut les suivre.
Ne serait-ce que par correction .

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 28-11-11 à 18:13

Citation :
... dont le coeur a encore pris le dessus sur la raison ...


Non, c'est un peu différent là, car il est vrai que si on lit mon énoncé, on peut comprendre que la valeur exacte peut se substituer à la valeur approchée.

La prochaine fois, je serai plus clair ...

Posté par
Chatof
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 28-11-11 à 23:39

gagnéBonsoir,
Je remercie humblement la clémence du jury.

Posté par
LeDino
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 29-11-11 à 02:34

perdu

Citation :
Non, c'est un peu différent là, car il est vrai que si on lit mon énoncé, on peut comprendre que la valeur exacte peut se substituer à la valeur approchée.

Si Klaus Barbie t'avait eu comme avocat à la place de ce poseur de Jacques Vergès, il aurait pris deux semaines de travaux d'intérêt général ...

Bon je blague, mais c'est vrai qu'un nouvel arrivant dans le forum pouvait être induit en erreur.

Et du moment que Chatof a compris qu'il a fait quelque chose de très très très mal, l'esprit de la justice est sauf ...

Posté par
inte
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 26-12-11 à 21:07

Posté par
inte
re : Enigmo 255 : Koh-Lanta 01-02-12 à 17:00

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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