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Enigmo 276 : Les dérangés du poker

Posté par
jamo Moderateur
15-07-12 à 11:07

Bonjour tout le monde,

lors d'une partie de poker, les 3 joueurs A, B et C sont initialement placés autour de la table comme le montre la 1ère case (en haut à gauche) de la figure ci-dessous.
Lorsque les joueurs finissent la partie, ils décident de changer de place de telle sorte qu'aucun joueur ne soit situé à la place qu'il avait à la 1ère partie (c'est-à-dire que chaque joueur doit impérativement changer de place).
On trouve assez facilement qu'il n'existe que 2 autres configurations possibles (que je vous donne dans les 2 cases en haut de la figure).

Maintenant, on va s'intéresser à ce problème pour 4 et 5 joueurs ...

Question 1 : à partir de la 1ère configuration de 4 joueurs A, B, C et D donnée ci-dessous, combien existe-t-il d'autres configurations de telle sorte qu'aucun joueur ne soit situé à la place qu'il avait initialement ?

Question 2 : à partir de la 1ère configuration de 5 joueurs A, B, C, D et E donnée ci-dessous, combien existe-t-il d'autres configurations de telle sorte qu'aucun joueur ne soit situé à la place qu'il avait initialement ?

Pour les réponses, vous ne me donnerez que le nombre de configurations possibles, inutile de me les représenter.

Pour remporter l'énigme, il faut bien entendu me donner la bonne réponse à chaque question.

Bonne recherche !

PS : l'image de la table de poker est tirée du jeu "Governor of Poker", petit jeu auquel on peut jouer en ligne gratuitement (mais pas en entier) sur plusieurs sites.

Enigmo 276 : Les dérangés du poker

Posté par
masab
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 11:34

gagnénombre de configurations possibles

question 1 :  9
question 2 : 44

Merci pour cette énigme !

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 11:39

gagnéPour 4 joueurs, je trouve 9 autres configurations..et pour 5 joueurs, 44 autres configurations...

Posté par
Tof
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 11:56

gagnéBonjour,

Je crois qu'il y a :
Question 1 : 9
et
Question 2 : 44

configurations telles que personne n'est à sa place de départ.

Encore merci pour l'énigme

Tof

Posté par
jimss
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 11:57

gagnéBonjour,
Je propose
Question 1 : 9
Question 2 : 44
Merci pour toutes ces énigmes

Posté par
LeDino
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 12:01

gagnéBonjour,

Question 1 :  9 places   (pour une table de 4).

Question 2 :  44 places   (pour une table de 5).


En précisant qu'il s'agit bien de position absolues et non relatives, puisque l'exemple fourni, avec 3 joueurs, distingue bien les dispositions équivalentes à une rotation près...

Merci pour l'énigme .

Posté par
dpi
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 12:02

gagnéBonjour

Je propose 9 pour 4 joueurs
et 44 pour 5 joueurs

Posté par
jonwam
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 12:03

perdupour 4 joueurs 9 autres possibilités et pour 5 joueurs 36 autres possibilités.

Posté par
salmoth
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 12:41

gagnébonjour

voici ma reponse
Q1 : il y a 9 dispositions
Q2 : il ya 44 dispositions

merci pour l'enigme !

Posté par
alfred15
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 14:29

perduBonjour,

je dirais 6 possibilités pour 4 joueurs et 20 possibilités pour 5 joueurs


Merci

Posté par
sbarre
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 15:04

gagnéBonjour;
je trouve 9 combinaisons pour 4 joueurs
et 44 combinaisons pour 5 joueurs

avec 2 méthodes différentes! (donc avec une certaine sérénité). En plus je viens de relire la question pour être certain de répondre à ce qui est demandé et pas à côté une fois de plus...)

Posté par
sbarre
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 15:05

gagnéj'oubliais:
"et merci à Jamo pour l'énigme!"
Où est donc passé mon éducation!!!

Posté par
Kidam
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 15:15

gagnéBonjour,

Je trouve 9 possibilités pour 4 joueurs et 44 possibilités avec 5 joueurs. J'espère que je n'en ai pas oublié, parce que j'ai fait ça de façon empirique avec un crayon et des dessins.

Merci

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 16:58

gagnéBonjour,

C'est un probleme de denombrement !

question 1: il existe 3*3=9 autres configurations possibles.

question 2: il existe 4*11=44 autres configurations possibles.

Merci pour cette interessante enigme.

Posté par
caylus
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 18:02

gagnéBonjour Jamo,

J'espère avoir bien saisi le mot initalement: ABCD ou ABCDE!

1)
à partir de la 1ère configuration de 4 joueurs A, B, C et D donnée ci-dessus, il existe 9 autres configurations de telle sorte qu'aucun joueur ne soit situé à la place qu'il avait initialement .


2)
à partir de la 1ère configuration de 5 joueurs A, B, C ,D et E donnée ci-dessus, il existe 44 autres configurations de telle sorte qu'aucun joueur ne soit situé à la place qu'il avait initialement .

Merci pour l'énigmo.

Posté par
panda_adnap
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 18:56

gagnéQuestion 1 : 9
Question 2 : 44

Posté par
panda_adnap
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 19:14

gagnéProuvons par récurrence que la suite des valeurs vérifie
Un = (n-1) * (Un-1 + Un-2)
avec U0 = 1 (la seule permutation à 0 éléments ne laisse aucun joueur à la même place)
et U1 = 0 (la seule permutation à 1 élément laisse le joueur à la même place)

en fait une permutation peut se représenter par des cycles
x-y-z signifie que x prendra la place de y, y celle de z, et z celle de x.

Par exemple
on a ABCDE et on applique (A-B-C D-E) donne CABED

On s'apercoit que A-B-C = B-C-A = C-A-B (mais pas A-C-B)


On cherche donc le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments sans cycle de 1 élément.

Comment générer une telle permutation ?
La permutation à n éléments résulte d'une permutation à (n-1) éléments auquel on ajoute l'élément n.
On peut convertir par exemple
(A-B-C D-E) en (A-B-F-C D-E), (A-B-C-F D-E) ou (A-B-C D-E-F)
Comme il ne doit pas y avoir de cycle à 1 élément, l'élément n doit être ajouté à un cycle existant.
- Du coup, pour compter les permutations à n éléments ou n appartient à un cycle d'au moins 3 éléments, on génère toutes les permutations à n-1 éléments (Un-1) et on ajoute n entre 2 éléments (n-1 places), soit au total (n-1)*Un-1

- Pour compter les permutations ou n appartient à un cycle de 2 éléments, on choisit le partenaire de n dans ce cycle parmi les n-1 autre joueurs, et on génère les permutations pour les n-2 autre joueurs (n-1)*Un-2

Du coup, Un = (n-1)Un-1 + (n-1)Un-2

On regarde les premiers termes et c'est bon

Posté par
geo3
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 19:25

gagnéBonjour
Je dirais pour 4 joueurs : 9 configurations  et 44 configurations  pour 5 joueurs.
A+

Posté par
totti1000
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 15-07-12 à 23:18

gagnéSalut jamo,

Pour la question 1 je propose 9 et pour la question 2 je propose 44.

Merci.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 01:47

gagnéBonjour Jamo.
avec quatre joueurs : neuf configurations
avec cinq joueurs : quarante-quatre configurations

Posté par
brubru777
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 09:54

gagnéBonjour,

Je trouve 9 (question 1) et 44 (question 2).

Merci pour l'énigme.

Posté par
ksad
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 10:10

gagnéBonjour
Je trouve 9 configurations différentes pour 4 joueurs, et 44 configurations pour 5 joueurs.
Merci pour l'énigmo et à bientôt !

Posté par
torio
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 12:34

gagnéPour 4 joueurs :  9 autres configurations

pour 5 joueurs : 44 autres configurations



A+
Torio

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 14:41

gagnéBonjour,
Allez, je me lance:
Pour 4 joueurs: 9 configurations
Pour 5 joueurs: 44 configurations

Posté par
rschoon
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 15:08

gagnéBonjour à tous.

Mes réponses :
Question 1 : 9
Question 2 : 44

Cordialement.

Posté par
Artin
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 19:54

perduBonjour.
Pour 4 joueurs, 9
Pour 5 joueurs, 32

Posté par
mathafou Moderateur
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 20:37

gagnéBonjour,
Question 1 : pour 4 joueurs, 9 positions

Question 2 : pour 5 joueurs, 44 positions

(bon j'ai triché : comme je ne me sortais pas de mes inclusions/exclusions, j'ai fini par faire un programme)
En fait ce programme me donne pour 6 joueurs, 7 joueurs etc et me donne une suite que j'ai cherché dans OEIS qui m'a donné plein de références ...

Mes inclusions/exclusions auraient dû finir par aboutir à la formule :
a_n = n! (1 /{2!} - 1/{3!} + ... +(-1)^n /{n!})\ avec \ n \ge 2

Posté par
veleda
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 16-07-12 à 22:35

gagnébonsoir Jamo
question 1) 9 configurations
question 2) 44 configurations
merci pour ce petit problème de dérangements

Posté par
evariste
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 17-07-12 à 11:41

gagnéAvec 4 joueurs, 9 configurations possibles
Avec 5 joueurs 44 configurations possibles

Posté par
Pantagruel
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 18-07-12 à 00:02

gagnéBonjour tout le monde.
-Je propose ceci:
1/ Pour 4 joueurs: Il y'a    9 autres configurations
2/ Pour 5 joueurs: Il y'a  44 autres configurations

Posté par
salmoth
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 18-07-12 à 00:06

gagnéElle m'a travaillé cette enigme et j'ai essayé de la généraliser:

Soit n le nb de joueurs autour de la table.
Soit f(n) le nb de configuration telle qu'aucun joueur ne conserve sa place initiale.
Trouver une expression litterale de f(n).

j'ai trouvé (à vérifier quand même ...) une formule par recurrence :
Enigmo 276 : Les dérangés du poker
où C'(n;k) vaut en général C(n,k) sauf quand 2k=n où C'(n; k)= 1/2 C(n;k)

on peut aussi l'ecrire plus simplement sous la forme:
Enigmo 276 : Les dérangés du poker

à l'aide de cette formule on peut obtenir facilement les premiers éléments de la suite f(n):
Enigmo 276 : Les dérangés du poker

la bonne nouvelle c'est que je retrouve f(4)=9 et f(5)=44 ...
la mauvaise c'est que je ne suis pas arrivé a aller plus loin (= à résoudre la formule par recurrence pour donner une expression directe)

Certains auront peut être plus de sagacité !

Posté par
franz
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 18-07-12 à 13:51

gagnéQuestion 1 : 9
Question 2 : 44

Posté par
Chatof
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 22-07-12 à 01:45

gagné9
44

Question 1 : à partir de la 1ère configuration de 4 joueurs A, B, C et D donnée ci-dessous, combien existe-t-il d'autres configurations de telle sorte qu'aucun joueur ne soit situé à la place qu'il avait initialement ?
Réponse:9
Question 2 : à partir de la 1ère configuration de 5 joueurs A, B, C, D et E donnée ci-dessous, combien existe-t-il d'autres configurations de telle sorte qu'aucun joueur ne soit situé à la place qu'il avait initialement ?
Réponse : 44

bonjour,

Pour 3 joueurs :2
Pour 4 joueurs :9
Pour 5 joueurs :44
Pour 6 joueurs : 265
Pour 7 joueurs : 1854
Pour 8 joueurs : 14833
Pour 9 joueurs : 133496
Pour 10 joueurs : 1334961
Pour 11 joueurs : 14684570
Pour n joueurs  : !n
!n=!(n-1)*n+(-1)^n

Voir Sous-factorielle :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analogues_de_la_factorielle


merci Jamo

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 24-07-12 à 16:49

gagnéSalut Jamo

1) Je trouve 9 possibilités

2) Je trouve 44 possibilités

Merci pour l'énigme

Yoyo.

Posté par
Raphi
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 24-07-12 à 18:55

perduQuestion 1 : 9
Question 2 : 48

Posté par
RickyDadj
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 26-07-12 à 01:12

gagnéRe-bonjour, tous!
Trêve de simagrées, allons au coeur de la chose.
Probleme 1: 9 configurations;
Probleme 2: 44 configurations
.
Du moins, je le pense autant que je l'espère... Merci, sieur jamo.

Posté par
Alishisap
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 26-07-12 à 11:54

gagnéBonjour et merci pour l'énigmo
Un petit programme en python et le tour est joué !

Question 1
Je trouve 9 autres configurations possibles.

En voici la liste (1=A ; 2=B ; 3=C ; 4=D) :

1 -- 2143
2 -- 2341
3 -- 2413
4 -- 3142
5 -- 3412
6 -- 3421
7 -- 4123
8 -- 4312
9 -- 4321

Question 2
Je trouve 44 autres configurations possibles.

Voici la liste (1=A ; 2=B ; 3=C ; 4=D ; 5=E) :

1 -- 21345
2 -- 21354
3 -- 21543
4 -- 23145
5 -- 23154
6 -- 23514
7 -- 23541
8 -- 24153
9 -- 24315
10 -- 24351
11 -- 24513
12 -- 31245
13 -- 31254
14 -- 31524
15 -- 32145
16 -- 32154
17 -- 32514
18 -- 32541
19 -- 34125
20 -- 34215
21 -- 34251
22 -- 34521
23 -- 41253
24 -- 41325
25 -- 41523
26 -- 42153
27 -- 42315
28 -- 42351
29 -- 42513
30 -- 43125
31 -- 43215
32 -- 43251
33 -- 43521
34 -- 51243
35 -- 51324
36 -- 52143
37 -- 52314
38 -- 52341
39 -- 53124
40 -- 53214
41 -- 53241
42 -- 54123
43 -- 54213
44 -- 54321

Posté par
Benwat
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 29-07-12 à 18:13

gagnéJ'propose une petite formule, il doit y en avoir sous d'autre forme sans recursivité sans doute...

T_{n} c'est le nombre de façon de permuter n éléments sans en replacer un au même endroit.
Sachant qu'on a besoin des T indéxés de 0 à n-1 pour trouver T_n.
Sauf pour T_0 (bien sûr), quoiqu'il vérifie aussi la formule.

T_{n} = n! \,\, - \,\, \sum_{i=0}^{n-1} \Bigg( \,\binom{n}{i} \times T_{i} \,\Bigg)

Et donc on trouve :
T_0 = 1
T_1 = 0
T_2 = 1
T_3 = 2
T_4 = 9
T_5 = 44

J'ai vérifié que pour 4 parmi les 4! permutations à 4 éléments, pas pour 5...
Je trouve assez con le T_0 = 1 mais bon... ce serait presque philosophique...

Donc, bon, ça devrait aller quand même.  

Ma réponse est donc :
1/ 9
2/ 44

Posté par
Benwat
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 31-07-12 à 01:59

gagnéPar curiosité j'ai demandé à Wolframalpha ce que pouvait être la suite 0 1 2 9 44... il m'a parlé de l fonction subfactoriel, qui est tout à fait ce qu'on demande ici.

Voilà, je tenais à en parler au cas où personne ne l'eu su, ce dont je doute.  ^^

Posté par
Benwat
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 31-07-12 à 02:06

gagnéC'est un truc de dingue... désolé de pourir le mur des réponses, mais cette découverte est un truc incroyable pour moi... MERCI JAMO !!!

Posté par
NBK59
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 04-08-12 à 11:05

gagné9 et 44

Posté par
Groy
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 04-08-12 à 23:12

gagnéSalut,

Je propose :
- 9 configurations possibles pour la 1ère question
- 44 configurations possibles pour la 2ème question

Merci pour cette énigme.

Groy =)

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 06-08-12 à 17:10

Clôture de l'énigme

Dans la branche des dénombrements, on utilise souvent les arrangements, les permutation, les combinaisons, ...

Ici, ce que je demandais s'appelle les "dérangements" :

Ceux-ci se calculent avec ce qu'on appelle la sou-factorielle, notée !n :

Bravo à tous ceux qui ont trouvé, et spécialement à ceux qui ont établi les formules sans rien connaitre de ce principe de dénombrement.

Posté par
Benwat
re : Enigmo 276 : Les dérangés du poker 07-08-12 à 04:21

gagnéHa ! Il le savait le coquin !
En tout cas, merci d'avoir enrichi la jungle exotique de mes connaissances en maths.  

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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0 0

Temps de réponse moyen : 81:15:05.
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