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Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard

Posté par
jamo Moderateur
02-08-12 à 12:03

Bonjour tout le monde,

le lièvre, la tortue et le renard se sont engagés dans une course.
Les trois concurrents ne sont pas tous partis du même endroit, ne vont pas tous à la même vitesse, mais par contre ils se dirigent tous en ligne droite vers le même point d'arrivée.

A un moment donné de la course, le lièvre et le renard sont situés exactement à la même distance du point d'arrivée (mais ils ne sont pas au même endroit). Ils décident alors de faire une petite sieste.
La tortue est à ce moment-là située à une certaine distance derrière le lièvre ; la tortue, le lièvre et le point d'arrivée sont alors alignés.
De plus, la distance entre le lièvre et la tortue est la même qu'entre le lièvre et le renard.

Enfin, les positions des trois animaux à cet instant sont telles que toutes les distances entre deux animaux ou entre un animal et le point d'arrivée sont exprimées par un nombre entier de centaines de mètres.

Question : Quelle est la plus petite distance possible entre la tortue et le point d'arrivée ?

Vous donnerez la réponse dans l'unité de votre choix, sachant que c'est un nombre entier de centaines de mètres.

Vous pourrez répondre "problème impossible" si vous pensez que c'est le cas.

Bonne recherche !

Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard

Posté par
masab
re : Enigmo 228 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 12:36

gagnéBonjour,

La plus petite distance possible entre la tortue et le point d'arrivée
est égale à 1000 mètres.

Merci pour cette énigme !

Posté par
papy13
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 14:03

perduBonjour à tous

Ce problème semble pouvoir se modéliser de la façon suivante : trouver un entier qui mesure la corde d'un cercle de rayon entier.

La mesure d'une corde est 2Rsin
R est un entier
Reste à trouver un "bon" sin entier ou multiple de 0.5 ou enfin multiple de 1/R

Solution triviale : R=0 mais il est dit que le lièvre et le renard ne sont pas au même endroit. On oublie !
Solution triviale 2 : =/6 sin=0.5 ... triangle équilatéral etc.

Réponse 1 : la plus petite distance entre la tortue et le point d'arrivée est 200m

Peut-on mieux faire ? Ben ... non ! parce que ... ben ... parce que 100 m est la plus petite distance acceptable
Il doit exister des solutions à l'équation sin(x)=1/p mais dans le cas présent, on est contraint par le fait que la plus petite distance est 100m.

Bon courage à tous !

Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard

Posté par
panda_adnap
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 14:09

gagnéBonjour,

Rien ne dit que tous les points ne sont pas alignés, je propose donc (A = arrivée, L = lièvre, T = tortue, R = Renard)
AT=300m

AR=AL=100m (l'arrivée est entre les 2, RAL alignés)
RL =200m
RT = 400m
TL= 200m

La plus petite solution avec les points non alignés est
AT=1000m
AR=AL=800m
RL=200m
RT=300m
TL=200m

Posté par
RickyDadj
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 14:12

perduJ'ai lu et relu, j'espère vraiment que je ne me trompe pas sur ce coup. Je propose 200 m.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 14:17

gagnéSoit O le point d'arrivée et R,L,T la position des animaux.
Au risque de commencer le mois d'août par un poisson, je dirai que la distance OT est au minimum égale à 1000m.
OL=OR=800m
LT=LR=200m
TR=300m

Posté par
Kidam
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 14:50

gagnéBonjour à tous,

Je ne sais pas si j'ai manqué une subtilité, vu qu'il s'agit d'une énigme 3 étoiles, mais ça ne m'a pas semblé si difficile :

J'élimine les distances nulles en premier : Si la distance entre point d'arrivée et les endroits où le lièvre et le renard font leur sieste est nulle, cela signifie que la distance Lièvre-renard est nulle et que donc la tortue est aussi au point d'arrivée. Elle ne peut donc pas être 'derrière' le lièvre. Le lièvre et le renard sont donc au moins à 100 mètre de la ligne d'arrivée.

Pour que la tortue soit derrière, elle doit au moins être à 200 m. Cela est possible si le point d'arrivée, le lièvre et la tortue forment un triangle équilatéral de coté 100 m, mais à ce moment là, la distance entre le renard et la tortue n'est pas un nombre entier de centaine de mètres (173 m et des bananes)

Il existe une solution à 300 m : les 3 animaux et le point d'arrivée sont alignés (le lièvre et la tortue d'un coté, le renard de l'autre).
Le renard et le lièvre sont à 100m  du centre (donc à 200 m l'un de l'autre) et la tortue à 200 m du lièvre (donc à 300 mètre du centre).

Ma réponse est donc 3 centaines de mètre.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 16:30

perduBonjour Jamo.
La tortue se trouve à 8 hectomètres de l'arrivée et à 6 hectomètres du concurrent le plus proche d'elle.
Le renard et le lièvre sont à 4 hectomètres de l'arrivée et 2 hectomètres l'un de l'autre.
Le triangle isocèle dont les sommets sont l'arrivée, le renard et le lièvre a une hauteur dont le carré 15 est le plus petit nombre décomposable  par au moins deux façons en un produit de deux nombres inégaux et de même parité.

Posté par
dpi
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 17:07

gagnéBonjour

Je pense que la tortue sera  à 1000  m du point d'arrivée
elle sera distante du renard de 3 centaines de mètres.

Posté par
caylus
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 17:21

perduBonjour Jamo,

La plus petite distance possible entre la tortue et le point d'arrivée est de
510 centaines de mètres.
Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard

Merci pour l'énigmo.

Posté par
Chatof
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 19:17

gagné300m

Bonjour

Merci Jamo

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 19:18

gagnéBonjour Jamo,

Rien dans l'énoncé n'interdit que les quatre points Tortue-Lièvre-Arrivée-Renard soient alignés (Renard et Lièvre symétriques par rapport à Arrivée) : ma proposition est donc  distance Tortue-Arrivée = 3  (centaines de mètres).

La difficulté était surtout d'extraire de l'énoncé ce qui est pertinent pour répondre à la question. Merci à toi une fois de plus.

Posté par
jimss
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 19:28

gagnéBonsoir,

Sauf erreur de ma part, rien n'interdit au renard d'être aligné avec le lièvre et la tortue.
Je propose donc : 300 mètres (le renard et le lièvre sont situées à des positions symétriques à 100 mètres de l'arrivée, et la tortue se situe 200 mètres derrière le lièvre).

Posté par
geo3
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 21:26

perduBonjour
Je dirais  510 centaine de  mètres
A+

Posté par
brubru777
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 02-08-12 à 22:12

gagnéBonjour,

Je trouve 300m.

Si on appelle l1 la distance entre le lièvre et l'arrivée (= aussi la distance entre le renard et l'arrivée), l2 la distance entre le lièvre et la tortue (= aussi la distance entre le lièvre et le renard) et l3 la distance entre la tortue et le renard, je trouve
l_3 = {l_2^2 \over l_1}\sqrt{{1 \over 2} + {l_1 \over l_2}}
On peut voir que l1 = 1 et l2 = 2 et une solution (unité, hm) et que c'est celle qui minimise la distance entre la tortue et l'arrivée.

Posté par
Pantagruel
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 03-08-12 à 03:22

perduBonjour tout le monde
- Je propose: 2300 mètres
- Les autres distances:
  Tortue / Lièvre   = 1000
  Tortue / Renard  = 1200
  Renard / Arrivée = 1300
  Lièvre / Arrivée  = 1300
  Lièvre / Renard  = 1000

Posté par
brubru777
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 03-08-12 à 14:58

gagnéBon, je me suis rendu compte que mes calculs étaient faux.
Je trouve
l_3 = l_2\sqrt{2 + {l_2 \over l_1}}
Heureusement, ça donne le même résultat. De plus, comme l3 vaut au maximum 2l2, on est sûr que les seules solutions possibles sont telles que {l_2 \over l_1} = 2. Ces solutions correspondent au cas où le renard est à l'opposé du lièvre.

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 04-08-12 à 18:46

gagnéBonjour,
Avec l'arrivée, le lièvre, la tortue et le renard alignés.
Le lièvre et le renard à 100 m de l'arrivée. Chacun d'un côté.
La tortue est à 200 m derrière le lièvre.
Et donc à 300 m de l'arrivée.
Merci pour l'énigmo.

Posté par
totti1000
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 05-08-12 à 17:55

gagnéSalut jamo,

Je propose une distance minimale de 300 m.

Posté par
denbossaman
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 05-08-12 à 23:53

perdu2 centaines de mètres

Posté par
castoriginal
Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 06-08-12 à 19:29

gagnéBonsoir,

voici une solution en image:

Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard

la tortue est à 300m du point d'arrivée

PS.Bien que cette solution soit tant soit peu insolite, elle respecte scrupuleusement les termes de l'énoncé

Bien à vous

Posté par
mathafou Moderateur
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 06-08-12 à 19:57

gagnéBonjour,

La tortue est au moins à 1000m de l'arrivée à ce moment.

Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard

Preuve :

Les triangles isocèles donnent l'angle TRA = 3.RTA

Ce qui se résoud pour avoir toutes les distances entières par le paramètrage :

AT = v(u2 - v2)
AR = v3
TR = u(u2 - 2v2)

comme on veut de plus LR = LT = v(u2 - 2v2)
L'inégalité triangulaire dans le triangle LAR donne LR < 2AR
c'est à dire u2 < 4 v2 c'est à dire u < 2v
D'autre part BR > 0 : u2 > 2v2 donne finalement :

v 2 < u < 2v

La plus petite valeur de AT = v(u2 - v2) avec ces contraintes est pour v = 2, u = 3 qui donne
AT = 2(9 - 4) = 10 centaines de mètres

Posté par
Pantagruel
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 07-08-12 à 02:05

perduBonjour tout le monde.
"La tortue est à ce moment-là située à une certaine distance derrière le lièvre ; la tortue, le lièvre et le point d'arrivée sont alors alignés."
- Donc cela n'exclut pas, que meme le renard soit aligné. Aller vite en besogne mérite bien les aretes du poisson. Merci jamo pour cette énigme difficilement facile.  

Posté par
dpi
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 07-08-12 à 06:28

gagnéOBSERVATION IMPORTANTE
avecsi ma première réponse est exacte sinon...

Mon petit-fils de 10 ans me dit: papy "et si le renard est aussi aligné.."
la réponse est LA = RA = 1(centaine de m) LR =TL =2 et TA =3

Je lui ai répndu :"jamo n'aurait jamais oublié de le préciser..."

Posté par
Glapion Moderateur
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 07-08-12 à 17:55

gagnéBonjour,
je pense que c'est 300 mètres

Posté par
Benwat
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 09-08-12 à 13:14

gagnéBon bah je propose 300 mètres.

On aligne à intervalles de 100 mètres et dans l'ordre :
Renard - Arrivée - Lièvres - Rien - Tortue

Bon bah, je me fais peut-être difficile mais j'suis pas fan de cette énigme.

Posté par
abdel79
Réponse enigme 278 09-08-12 à 15:23

gagnéEn fait les trois animaux et le point d'arrivée sont alignés.
La plus petite distance entre la tortue et le point d'arrivée correspond à la plus petite distance entre le lievre et le point d'arrivée qui est 100m. Donc la distance cherchée est 300m

Posté par
Slowmotion
Ma réponse. 11-08-12 à 15:41

perduLa réponse est 200 mètres.

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 11-08-12 à 18:11

gagnéBonjour Jamo,

L'énoncé n'interdisant apparemment pas cette configuration, je propose une distance minimale "Tortue-Point d'arrivée"
de 300 mètres, suivant la configuration (1) ci-dessous.

En excluant le cas où Lièvre, Tortue, Arrivée et Renard sont alignés, je trouve une distance minimale "Tortue-Point d'arrivée"
de 1000mètres, suivant la configuration (2) ci-dessous:

L'angle entre (Arrivée-Lièvre) et (Arrivée-Renard) vaut ici 2arcsin(1/8), soit approximativement 14,362°.
On trouve alors une distance Lièvre-Renard de 200mètres et une distance Tortue-Renard de 300mètres,
ce qui donne une distance Tortue-Arrivée de 1000mètres.

Merci pour cette énigme

A bientôt,

Yoyo.

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 11-08-12 à 18:12

gagnéJ'avais oublié de joindre mon image, la voici:

Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard

Posté par
rschoon
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 12-08-12 à 11:33

perduBonjour à tous.

Ma réponse : 10

Cordialement

Posté par
salmoth
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 14-08-12 à 21:37

gagnébonjour,

je suis un peu perplexe...
mais voici ma reponse :
la plus petite distance entre la tortue et le point d'arrivée est 1km (10 centaines de metres)

Pour rester dans l'esprit de l'enigme et garder sa difficulté, j'ai fait l'hypothese que le renard ne peut pas être alignés avec les 3 autres (T;L;A) mais l'ennoncé pourrait être plus explicite sur ce point ...
Mais si on authorise les 4 points (T,L,R,A) à être alignés (mais tjs distincts) alors il existe une meilleure solution triviale: Tortue a 300 metres de l'arrivée (T a 200 metres du lievre lui même a 100 metres de l'arrivée...)

voila qlq explications:
Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard

TR2 = 2 TL2 (1-cos(L_obtu)) avec les notations intuitives (TLR isocèle)
cos(L_obtu) = -cos(L_aigu)
cos(L_aigu) = (LR/2)/ LA = TL / 2LA (LAR isocèle !)
avec une condition: TL < 2LA ("<" ou "" that is the question ...)

du coup
TR2 = 2 TL2 + TL3/LA

on cherche a resoudre cette equation dans en minimisant TL+LA (et en respectant TL < 2LA )
TL=2; LA=8 (TR=3) donne la solution minimale

Posté par
francie777
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 18-08-12 à 22:59

perdu200 m je dirais.

Posté par
veleda
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 22-08-12 à 11:57

perdubonjour,
je propose 200m pour le minimum de la distance séparant la tortue de l'arrivée
merci pour cet énigmo

Posté par
torio
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 22-08-12 à 13:41

gagnéUne solution serait, si on accepte que
Renard , Tortue ,Lièvre et point d'arrivée sont alignés :



Renard ----------- Arrivée  ------------- Lièvre -------------------------------Tortue
               100 m                100m                        200m


ce qui donne 300 m entre la tortue et le point d'arrivée.



Si le Renard n'est pas aligné avec Le Lièvre et la Tortue
je trouve alors 1000m.

(Distance entre Lièvre et arrivée : 800m)
(Distance entre Lièvre et Tortue  : 200m)


A+
Torio

Posté par
RickyDadj
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 25-08-12 à 20:13

perduNon, non, non, non, non!!!!!! Ca va pas du tout!! Pourquoi je vois 200m donné comme réponse par... moi?
Nooooooon!
Heu, désolé, tout ça pour dire que ma machine... ou plutôt ma main, m'a trahi! Je voulais dire 300m. Enfin, bon, c'est pas grave, je ne comptais pas m'engager dans la course pour ce mois-ci de toute façon.
Pour la précision, je précise que tout le monde est aligné (renard, point d'arrivée, lièvre, tortue). Le renard est à 100m de l'arrivée, le lièvre aussi mais de l'autre côté, la tortue à 200m derrière le lièvre, donc à 300 de l'arrivée. Merci!
PS: Les inscriptions au club des "poissonniers débiles mais joyeux", c'est par où?

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 26-08-12 à 13:17

Clôture de l'énigme

Suite à un petit oubli de ma part dans l'énoncé, il y avait 2 solutions possibles à cette énigme.
En fait, j'aurais du ajouter la condition que les animaux ne sont pas tous alignés avec le point d'arrivée, ce qui aurait évité la solution triviale de 300 m.
Avec cette condition supplémentaire, on tombait sur un problème mathématique beaucoup plus intéressant, avec pour réponse 1000 m.
Je vous laisse regarder les quelques images que certains ont fourni.

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 26-08-12 à 13:37

gagnéC'est pour ça! C'était trop facile. Je me disais aussi, 3 étoiles pour ça...
Mais comme il m'a fallu un bon moment avant d'y penser, j'y ai cru. Voilà un qui va me permettre de répondre deux bêtises à deux énigmes suivant en restant avec un score 0...
Mais je n'en ferai pas étalage.

Posté par
geo3
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 26-08-12 à 16:11

perduBonjour
=>  à yoyodata
comment as-tu trouvé "L'angle entre (Arrivée-Lièvre) et (Arrivée-Renard) vaut ici 2arcsin(1/8), soit approximativement 14,362°."
*
=> à brubru777
comment as-tu trouvé "" l3 = l2(2+l2/l1)  ""
Merci
A+

Posté par
brubru777
re : Enigmo 278 : Le lièvre, la tortue et le renard 27-08-12 à 08:36

gagnéAxe x dans la direction Arrivée -> lièvre -> tortue
(x, y) coordonnées du renard

Distance renard-arrivée
x^2 + y^2 = l_1^2

Distance renard-lièvre
(l_1 - x)^2 + y^2 = l_2^2

l_1^2 - 2l_1x + x^2 + y^2 = l_2^2
2l_1^2 - 2l_1x = l_2^2
x = (2l_1^2 - l_2^2) / 2l_1

Distance renard-tortue
(l_1 + l_2 - x)^2 + y^2 = l_3^2

l_1^2 + l_2^2 + x^2 + 2l_1l_2 - 2l_1x - 2l_2x + y^2 = l_3^2
2l_1^2 + l_2^2 + 2l_1l_2 - (2l_1^2 - l_2^2) - l_2(2l_1^2 - l_2^2) / l_1 = l_3^2
2l_1^2 + l_2^2 + 2l_1l_2 - 2l_1^2 + l_2^2 - 2l_1l_2 + l_2^3 / l_1 = l_3^2
2l_2^2 + l_2^3 / l_1 = l_3^2
l_2^2(2 + l_2 / l_1) = l_3^2
l_3 = l_2\sqrt{2 + l_2 / l_1}

On retrouve bien les 2 solutions avec
l1 = 1, l2 = 2, l3 = 4
et
l1 = 8, l2 = 2, l3 = 3

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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