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Niveau 3 *
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Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume

Posté par
jamo Moderateur
03-10-12 à 13:11

Bonjour tout le monde,

au village, la mère Tume est connue pour son jardin qu'elle entretient avec beaucoup de soin.

On considère que le jardin a la forme d'un rectangle ABCD. Le point E appartient au côté [AB] et le point F appartient au côté [BC]. Les segments [EC], [ED], [FA] et [FD] délimitent ainsi huit zones.

Cette année, la mère Tume a planté :
- 10 m² de carottes (en orange) ;
- 7 m² de petits pois (en vert) ;
- 65 m² de betteraves rouges (en rouge) ;
- des patates (en jaune).
Les zones blanches ne contiennent rien (ou alors des fleurs si vous voulez).

Les dimensions du jardin et les positions exactes des points E et F ne sont pas connues.
Attention, la figure ci-dessous n'est pas à l'échelle, ne surtout rien y mesurer !

Question : Quelle est l'aire de la surface qui contient les patates ?

Vous donnerez la réponse en m², en arrondissant avec une précision au centième.
Si vous pensez qu'il n'est pas possible de trouver cette valeur, alors vous répondrez "problème impossible".

Bonne recherche !

Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume

Posté par
panda_adnap
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 13:20

gagnéBonjour

La zone jaune est égale à la somme des 3 autres, soit 82 m2.

Merci

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 14:19

gagnéles aires de DCE et de (DCF+FBA) sont égales à la moitié de l'aire du rectangle..

On a donc J=V+R+O=82m2

L'aire qui contient les pataes est donc égale à 82m2

Posté par
totti1000
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 14:34

gagnéSalut jamo,

Je propose une aire de 82 m².

Merci.

Posté par
torio
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 15:05

gagné82 m2

A+
Torio

Posté par
sbarre
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 15:50

gagnéBonjour,

j'aurais été tenté de dire qu'il est impossible de trouver une solution puisque l'on a 4 variables et seulement 3 égalités. Il y a donc une infinité de combinaisons permettant d'avoir la surface requise pour les champs vert orange et rouge.
En revanche il s'avère que quelles que soient ces combinaisons, la surface du champ jaune reste fixe et vaut la somme des trois surfaces précédentes!!! (merci Geogebra!)

Ma réponse est donc:

82,00 m² de patates  pour la démonstration mathématique, je laisse à un spécialiste le soin de nous l'apporter.....

Merci et à bientôt!

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 15:50

gagnébonjour

je dirais 82,00 m²

MM

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 18:01

gagnéBonjour Jamo,

Dans une telle configuration, on montre que, quelles que soient les positions de E et F sur [AB] et [BC] :  Aire(patates) = Aire(carottes + betteraves + petits pois).

On a donc ici :  Aire(patates) = 82 = 82,00 m²

NB : les degrés de liberté laissés par l'énoncé (4) sont en nombre suffisant (et même surabondant) pour que les trois surfaces puissent avoir les aires indiquées.

Posté par
geo3
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 18:57

gagnéBonjour
Je dirais 82 = 82,00 cm²
(65+10+7) Etonnant ??
A+

Posté par
fontaine6140
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 19:15

gagnéBonjour Jamo,
82 (m²)
Merci

Posté par
frenicle
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 19:29

gagnéBonjour jamo,

J'ai adoré cet enigmo !

Aire(DEC) = Aire(ABF) + Aire(DCF)      (= la moitié de l'aire du rectangle ABCD)

c'est à dire

Aire des patates + aire de deux triangles blancs =
Aire des carottes + aire des petits pois + aire des betteraves + aire des deux mêmes triangles blancs.

Donc

Aire des patates = Aire des carottes + aire des petits pois + aire des betteraves =  82,00 m2 (au centième près !)

Posté par
geo3
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 19:43

gagnéRe
Démonstration :
X =AF inter DE  ;  Y=CE inter AF  et Z=DF inter EC

aire du rectangle = S
DAF = AB*AD/2 = x + z + u = S/2   (1)
DCE = DC*AD/2 =  x + y + v = S/2  (2)
x+y+z+u+v+65+10+7 = S   ou x+y+z+u+v +82 = S (3)
(1)+(2)-(3)  => x=82
A+  

Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume

Posté par
castoriginal
Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 03-10-12 à 22:18

gagnéBonsoir à tous,

à priori le problème posé est assez dérangeant. On ne sait pas par quel bout le prendre !
En réalité il est tout simple !
Examinons la figure ci-dessous:

Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume

si l'on considère l'aire du triangle DEC on a (DC*AD)/2 = S(pdt)+(1)+(4)
de même l'aire du triangle DFA donne (AD*DC)/2 = S(pdt)+(2)+(3)
la somme de ces deux relations fournit la surface du rectangle S(ABCD)=2*S(pdt)+somme des 4 triangles blancs.
D'autre part la somme des 8 éléments de la figure dit que S(ABCD) = 7+10+65+S(pdt)+4 triangles blancs.
Il vient en égalant ces deux relations que S(pdt)=7+10+65= 82 m2
Bien à vous

Posté par
salmoth
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 04-10-12 à 00:54

gagnébonjour,

l'aire du champs de patates est de 82,00 m²

merci pour l'enigme

démonstration simple et sans calcul:
J = aire rectangle - (aire AED + aire BCE + aire ABF + aire CDF) + R + O + V
(on rajoute R, O et V car chacune des ces surfaces est présente 2 fois ds les 4 triangle precedents)

or on voit facilement que:
aire AED + aire BCE =1/2 aire rectangle
de même:
aire ABF + aire CDF =1/2 aire rectangle

du coup J=R+O+V !!

Posté par
rogerd
La mère Tume 04-10-12 à 06:57

gagnéBonjour à tous

Comme on ne nous demande aucun résultat chiffré sur le jardin et son découpage, on se dit que le résultat n'en dépend pas.
On triangule donc la figure de sorte que les aires des triangles utiles puissent se calculer en fonction des longueurs de CF,FB,BE,EA et des aires de pois ,betteraves et carottes et, quand on assemble pour trouver l'aire des patates, tout se réduit miraculeusement et

on trouve, pour les patates, une aire de 82 m^2.

Il serait intéressant de prouver que le jardin et son découpage existent effectivement.
Merci à Jamo

Posté par
masab
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 04-10-12 à 08:45

gagnéBonjour,

L'aire de la surface qui contient les patates est exactement de 82 m²

Merci pour cette très belle énigme !

Posté par
ksad
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 04-10-12 à 15:48

gagnéBonjour
Je trouve une surface de 82 m².

Il doit certainement exister une manière élégante de résoudre ce problème, mais j'avoue ne pas l'avoir trouvée. J'ai eu recours à des calculs (assez lourds) pour trouver les proportions nécessaires entre AE et AB, et entre BF et BC respectivement, pour en déduire finalement la surface totale et puis la partie en jaune.

Je suis curieux de lire un raisonnement plus léger !!
Merci pour l'énigmo !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 04-10-12 à 16:36

gagnépatates = 10 + 7 + 65 = 82

patates = carottes + pois + betteraves, quelle que soit la forme du jardin et des parcelles

soit a et b les dimensions du rectangle, x la "largeur" des pois, y celle des carottes
Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume
l'aire des patates sera :
S = (ABCD) - (ADE) - (ABF) + (AEG) - (EBC) + (EBFH) - (DCF) + (ICF)
= ab - bx/2 - a(b-y)/2 + 7 - b(a-x)/2 + 65 - ay/2 + 10
= ab - bx/2 - ab/2 + ay/2 + 7 -ab/2 + bx/2 + 65 - ay/2 + 10
= 82

Comme on ne demande pas les dimensions ni les parcelles de fleurs, je ne répondrais pas à cette question pas posée, na !
Trouver a,b,x,y pour que les aires soient égales à 7, 65 et 10 (et donc aussi 82) :
en posant a = ks et b = s/k cela revient à effectuer deux afinités qui ne changent au final pas les aires, multipliées toutes par k(1/k) = 1
On peut donc chercher un carré de côté s répondant à la question et donc 3 inconnues seulement :
s, x, y pour trois équations (compliquées)
On obtiendra une infinité de rectangles possibles par le produit des deux affinités quelconques k et 1/k sur ce carré.

Posté par
Katalyn
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 05-10-12 à 01:37

gagnéJe ne sais pas s'il faut mettre la demonstration, mais je trouve 82.

Merci =)

Posté par
dpi
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 05-10-12 à 05:18

gagnéBonjour du Québec
Si ce maudit clavier  QWERTY veut
bien je dirai 82 m2 pour la surface des patates

Posté par
brubru777
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 05-10-12 à 10:30

gagnéBonjour,

Je trouve 82m2 tout rond.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Chatof
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 05-10-12 à 10:39

gagné82m²

Le jardin moins les triangles rectangles autour des patates plus les parties que l'on a enlevées deux fois soit 75+10+5 + jardin-jardin/2 -jardin/2=82

Bonjour,
et merci Jamo

Posté par
Livia_C
Jardin 05-10-12 à 21:50

gagnéBonsoir,

L'aire de la surface qui contient les patates este : 82 m²

Merci pour l'énigme.

Posté par
jugo
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 06-10-12 à 06:10

gagnéBonjour,

Avec S = aire du rectangle ABCD et mes notations ci-dessous :

j+x+y = S/2
v+x + r+o+y = S/2

donc   j+x+y = v+x+r+o+y

et   j = v+r+o

Aire des patates = 82,00 m2

Je me demande juste s'il est possible de construire cette figure quelles que soient les valeurs données des aires orange, verte et rouge, ou s'il y a des contraintes.
Je dirais a priori que c'est possible, mais c'est peut-être là qu'il y a une ruse ...


Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume

Posté par
WII
Le jardin de Mme Tume 07-10-12 à 10:52

gagné82 m2

Posté par
scarface01
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 08-10-12 à 11:43

gagnéMa réponse: 82 m2.

Posté par
RickyDadj
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 08-10-12 à 11:47

gagnéSalut Jamo, salut tous!
Désolé pour le [grand] retard.
Si je ne me trompe, l'aire de la partie en jaune s'avère être la somme des trois aires (rouge, vert, jaune). Je propose donc 82,00 m2.
C'est tout... pour le moment!

Posté par
rogerd
Madame Tume 10-10-12 à 16:21

gagnéBonjour

Si le jardin de Madame Tume est un rectangle de 14,991 m de large et 16,265 m de haut et si elle le découpe de sorte que
E soit à 4,0441 m de A et à 10,8550 m de B et
F soit à 6,18657 m de C et à 10,07911m de B
alors les surfaces plantées en pois, carottes et betteraves sont effectivement de 7,10 et 65 m^2 , à 10^-4 m^2 près.
J'ai trouvé cette solution par des approximations successives.
Je peux pousser la précision aussi loin que je veux, mais , bien sûr, je ne tomberai jamais sur une solution exacte.
Je ne suis donc pas absolument certain que le jardin de Madame Tume existe.
Il faudrait préciser la suite des approximations des 4 distances, montrer qu'elle converge et que la suite des 3 aires converge vers (7,10,65). Sans donner une valeur explicite des 4 distances limites, on prouverait au moins ainsi l'existence du jardin.  

Posté par
franz
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 11-10-12 à 13:29

gagnéL'aire de la surface dans laquelle Mme Tume fait pousser des patates est de 82 m².

Posté par
souffou
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 12-10-12 à 07:07

perduproblème impossible

Posté par
Alrahil
Pas de justification... 12-10-12 à 07:50

gagnémais il me semble que 82 mètres carré, ce serait pas mal...

Posté par
rschoon
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 14-10-12 à 18:44

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse : 82,00 m²

Merci pour l'énigme.

Posté par
link224
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 19-10-12 à 22:07

gagnéSalut jamo !

Bizarre cette configuration, mais il semblerait que l'aire de la partie jaune soit égale à la somme des aires des 3 parties rouge, verte et orange. Une petite figure sous Géogébra me le confirme, bien que je n'arrive pas à le démontrer mathématiquement.

Bref, l'aire du champ de patates est de 82 m² (10+7+65).

A+ et merci pour l'énigme.

Posté par
Tonm
Simple 25-10-12 à 07:20

gagnéBon mon calcul a mené apres calcul des aires des triangles rectangles à x=y=82 m^2 (x espace potates et y espace fleur.) Merci

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 27-10-12 à 13:33

Clôture de l'énigme

La valeur cherchée était bien 82 m².

Dans cette configuration assez étonnante, l'aire jaune est en effet égale à la somme des 3 autre aires.
Même si au début on se dit que le problème est impossible, on arrive à le résoudre assez facilement.

Posté par
carpediem
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 27-10-12 à 15:17

salut

je suis content, je viens de trouver la même chose ....

on écrit convenablement toutes les égalités et c'est assez simple ... et remarquable ....


ce topic apparait maintenant dans mes msg postés ....

Posté par
rogerd
Tume 27-10-12 à 19:23

gagnéBonsoir

Je plaide pour Souffou qui a répondu "problème impossible".
Il n'est pas évident en effet , que le jardin de la mère Tume existe!
(voir mon message du 10/10/12 à 16 h 21).  

Posté par
rogerd
Tume 28-10-12 à 09:17

gagnéComplément:

En regardant les réponses, j'ai vu que certains s'étaient posé, comme moi, la question de l'existence du découpage.
Les arguments sur le nombre d'inconnues ou le degré de liberté ne me paraissent pas convaincants.
Quand j'essaie d'écrire un système, je tombe sur des relations entre inconnues du 2eme, 3eme etc degré, assez inextricables. Difficile de prouver qu'il en sortira une solution réelle..

Posté par
carpediem
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 09:32

je drais que ce n'est pas tant l'existence d'un tel découpage mais l'existence d'un tel découpage avec ces valeurs (les aires données)

par homothétie (de centre A par exemple) on peut toujours dilater ou contracter la figure

le pb est plutôt de déterminer le rapport AD/AB pour avoir ces proportions

voire même ces fractions d'aires données (les valeurs 7, 10 et 65) sont-elles compatibles réellement ...

enfin ce me semble-t-il ....

Posté par
carpediem
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 10:07

si je comprends bien la question c'est :

l'exercice a montré qu'avec les valeurs v = 7, o = 10 et r = 65 on a montré que j = 82

et le pb est de montrer qu'il existe réellement un rectangle donnant ces valeurs avec un tel découpage ....

Posté par
mathafou Moderateur
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 11:09

gagné

Citation :
le pb est plutôt de déterminer le rapport AD/AB pour avoir ces proportions
Rien à voir
On peut choisir arbitrairement ce rapport en faisant subir à la figure deux affinités orthogonales, une de k selon AB et l'autre de 1/k selon AD
cela transforme un carré en rectangle, mais conserve toutes les aires.
(les affinités conservent les rapports d'aires. le résultat est que les aires sont multipliées par k.(1/k) = 1)

Le problème est bien de trouver, étant donné un jardin carré, la position de E et de F qui donne ces rapports d'aires : donc 2 inconnues
ensuite une homothétie donne les valeurs des aires
et enfin les deux affinités donnent l'infinité de solutions rectangulaires.

mais bof, cela semble assez joufflu comme équations pour trouver analytiquement.
La méthode par approximations successives sur ce carré en faisant juste varier E et F devrait aboutir.
En essayant avec Geogebra de déplacer les points E et F, évidemment ce déplacement se fait par pas entiers de 1 pixel et on ne peut pas ajuster pile sur err1 = err2 = 0 et aire = 65 pile, ou alors il faudrait effectuer un zoom de 1012 fois !! (pour qu'un pixel soit de l'ordre de grandeur de la précision des calculs d'aires !)
Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume

mais en faisant cela on "voit" que pour un point E donné, l'err change de signe en faisant varier légèrement F : donc il existe (TVI) une position de F avec err rigoureusement = 0
et de même de l'autre côté en faisant varier E.
En appliquant le TVI deux fois cela montre "à l'évidence" que la solution existe.

Posté par
rogerd
Tume 28-10-12 à 11:48

gagnérebonjour

carpediem> tout-à-fait d'accord avec ton message de 10h7 sur la question qui reste en suspens.

mathafou> dans mon message du 10/10/12, je n'avais pas donné tous les détails des calculs, mais la méthode suivie était voisine de celle que tu proposes: réduction du problème et approximations successives.
Il me semble que tu es plus près d'aboutir que moi mais il reste pas mal de travail à faire. Je butais moi aussi sur un TVI à deux variables...

Posté par
carpediem
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 11:49

ha oui ... très intéressant ...

merci ....


.... et effectivement quand je regarde ce que j'ai bricolé "à la main" ce rapport AD/AB n'intervient pas ...

et il n'y a évidemment que deux inconnues ....

Posté par
carpediem
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 11:51

mathafou :: et combien vaut l'aire jaune sur ta figure ?

combien as tu pris pour AB avec geogebra ?

Posté par
carpediem
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 11:52

l'aire jaune de l'énoncé bien sur ....

Posté par
mathafou Moderateur
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 12:16

gagnél'aire jaune de l'énoncé ??? c'est 82 bien sur ...
non, trève de plaisanterie la question est de trouver une figure avec les rapports d'aires 7::65::10
et alors forcément (c'était l'énigme) l'aire jaune sera la somme des 3 !

la valeur de AB, aucune idée. B était variable pour ajuster les aires de "proportionnelles" à "égales"
il me donne 16.0287 sur cette "expérience"

sinon pour éviter le TVI à deux variables, on peut opérer comme suit :
en apellant x = AE et y = BF, il semble parfaitement évident que l'erreur sur le rapport 7/65 est une fonction de x,y (!)
et que pour au moins certaines valeurs de y, il existe des x pour lesquels cette erreur change de signe.
En d'autres termes il existe une certaine courbe f(x,y) = 0 sur laquelle l'erreur est nulle.

si on fait le même raisonnement avec l'erreur sur le rapport 10/65, il existe une autre courbe g(x,y) sur laquelle cette erreur là est nulle.

Les solutions seront les points d'intersection des deux courbes, tout le problème étant de démontrer que ce(s) point d'intersection existe !

Je suis en train d'essayer (atroce, en faisant une erreur de calcul par ligne, ça devient long de les corriger toutes au fur et à mesure) de chercher justement l'expression analytique des rapports d'aires et donc les équations f et g, une fois ces fonctions parfaitement déterminées, la preuve devient calculatoire. (et le point d'intersection déterminable à la précision que l'on veut, voire même peut-être une valeur exacte)

Posté par
rogerd
Tume 28-10-12 à 12:17

gagnéJ'ai l'impression que les messages s'entrecroisent..

Posté par
rogerd
Tume 28-10-12 à 12:50

gagnémathafou>

Il est acquis qu'on peut , par approximations successives trouver une solution avec une précision aussi grande qu'on veut (toi avec Géogébra et moi avec Maple).
Reste à prouver qu'il existe une solution exacte (donc une infinité), soit par le TVI soit par une limite de suite.
Comme il neige abondamment sur ma campagne, je vais avoir le temps de me replonger dans mes anciens calculs, en retenant ton idée de se limiter à un jardin carré.
Par contre, je ne suis pas convaincu par l'homothétie , qui ne fait qu'introduire une inconnue supplémentaire (le rapport d'homothétie).

Bonne journée à tous.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 13:16

gagnéComprends pas, si tu ne considères pas l'homothétie, tu n'as aucune chance d'avoir, à partir d'un carré de coté arbitraire, les valeurs des aires demandées !!
Donc tu as bien trois inconnues : le côté du carré et les positions de E et F
l'inconnue "côté du carré" est le rapport d'homothétie.

Il n'y a deux inconnues seulement que si on se fixe arbitrairement le côté du carré et qu'on cherche à avoir le rapport des aires 7/65 et 10/65.

Et il faudra bien dilater ce carré au final pour avoir les valeurs elles même des aires !!

Posté par
carpediem
re : Enigmo 281 : Le jardin de Madame Tume 28-10-12 à 13:29

oui je suis d'accord avec toi mathafou ....

le côté du carré permet d'avoir les valeurs données

je n'avais absolument pas pensé aux affinités pour se ramener à un carré ...

ce qui fait qu'il n'y a que deux inconnues l'abscisse de E et l'ordonnée de F ... et un paramètre b = x(B) pour avoir les "bonnes" valeurs numériques ....

j'ai fait comme toi (enfin pas la suite avec les erreurs à calculer) mais les calculs sont fastidieux ....

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