salut,

le plus grand nombre est 21.
En effet, 9 puissance 21 possede 21 chiffres.
9^21=109418989131512359209

Je trouve comme résultat p=21.
En effet si n=9, n^p comporte 21 chiffres.

P=21      9^21=109 418 989 131 512 359 209   (9^21 possède 21 chiffres)


bonjour et merci Jamo

Bonjour,

Le plus grand nombre iso-décimalo-puissant est p=21
Avec n=9, on a n^p = 109418989131512359209

Merci pour cette énigme bien trouvée !

le plus grand nombre iso-décimalo-puissant est 21
car   9^21=109 418 989 131 512 359 309
composé de 21 chiffres

Bonjour jamo

Hum, ça sent le poisson, mais j'ai beau relire l'énoncé, je ne vois pas d'autre réponse que .

, un nombre de 21 chiffres décimaux.

(décimalo, ça veut bien dire en base 10, hein ? 5^3 = 123 c'est juste une coquille, c'est faux dans n'importe quelle base, hein ?)

Bon, peut-être que juste après avoir appuyé sur "poster", j'y verrai plus clair

J'hésite, j'hésite...

Bon allez, j'me lance !

Merci pour l'enigmo.

Bonjour Jamo,


Le plus grand nombre iso-décimalo-puissant est 21.
P=21,N=9,N^P=109 418 989 131 512 359 209 qui possède 21 chiffres.
Merci pour l'énigmo.

Bonjour jamo, bonjour à tous,
9²¹ a 21 chiffres
Mais pour p>21, 9^p a p-1 chiffres et 10^p en a p+1. Merci à mon tableur...
Ma réponse est donc 21.

Bonjour
p est forcement inferieur a 10 puisque 10puissance n a n+1 chiffres quel que soit n

le calcul des puissances de p par excel donne que jusqu'a 21, 9puissancen possede n chiffres et que au del de 21, il y en a moins de n
donc pour moi
21 est le plus grand nombre iso-décimalo-puissant  avec 9²¹ qui possede 21 chiffres

Bonjour
vous donnerez P, ainsi que N tel que N^P possède P chiffres.
P = 21 et N = 9
| 9^21 = 1.094189891·10^20 = 984770902100000000000 qui possède 21 chiffres
A+

P = 21
N= 9
N^P = 109418989131512359209


9^21=109418989131512359209

Bonjour,

Le plus grand nombre IDP est P=21, car pour N=9 :  9²¹ comporte 21 chiffres.

Explication :
10^p comprend toujours p+1 chiffres. Donc N est au plus égal à 9.
Pour avoir P chiffres, N^P doit pouvoir s'écrire :  N^P = U.10^P  avec :  0,1 < U < 1
Et dans ce cas, U = (N/10)^P (<1 et décroissante).
Pour U*=0,1 on trouve :  P* = 1/(1 - Log₁₀(9))  ~ 21,85
Donc 21 convient, mais pas 22.

21 car 9^21 comporte 21 chiffres

P=21     9^21 possède 21 chiffres   9^21=109 418 989 131 512 359 209


donc au mieux N=9 et P21.8543453268
Il reste à tester 9^21= 109 418 989 131 512 359 209  (calculatrice windows ou xcas [lien] ou …)

Bonjour

Sauf erreur 9 puissance 21 est le plus grand des " iso-décimalo-puissants"
à breveter...

Bonjour et merci à Jamo.

Je dirais que le plus grand nombre machintruc est
21.

Pour N=9, N^21 a 21 chiffres.

(on voit facilement que N ne peut pas dépasser 9)

Bonjour,
p = 21 avec N = 9

9²¹ = 1 09418 98913 15123 59209

j'ai cherché N et p avec p-1 log(N^p) < p .

Ce qui donne 1 - 1/p log N < 1 .

log N < 1 donne N < 10 .

1 - 1/p log N donne p 1/(1-logN)

1/(1-logN) est le plus grand pour N = 9 ; on a alors 1/(1-logN) 21,8 . D'où le pus grand p qui est 21 .

Bonjour
Je pense que le plus grand entier iso-décimalo-puissant est P = 21.
En effet, à partir de P=22, il y a un "trou" entre 9^P qui compte P-1 chiffres (ou moins), et 10^P qui en compte P+1.
Merci pour ce bel énigmo, et à bientôt !

Bonjour et merci beaucoup pour l'énigme !

Je pense que le plus grand nombre iso-décimalo-puissant est 21.

À bientôt !

Bonjour,

Merci pour cette énigme.

P=21 N=9 et 9²¹=109 418 989 131 512 359 209 (21 chiffres)


PS: dans le cas de cette énigme, je ne vois pas comment il pourrait exister plusieurs solutions à l'énigme...
Donc la ligne habituelle "S'il existe plusieurs solutions, vous n'en donnerez qu'une seule." n'a peut être pas lieu de figurer dans l'énoncé

Bonjour !

On veut trouver le plus grand P tel que
E(log(N^P))+1=P donc E(P log(N))+1=P donc comme x-1 < E(x) <= x, on a
P <= 1/(1-log N) et N <= 9 (cas N=10 absurde) d'où P <= 21.
Or E(21 log 9) + 1 = 21 donc P=21 et N=9.

Confirmation Maple :

Bonjour,

Je trouve 21. 9²¹ = 109418989131512359209

Mon raisonnement est le suivant :
10^P comporte P + 1 chiffres. Donc le plus grand N possible est 9. Si 9^P n'a que P -1 chiffres, P ne peut pas être iso-décimalo-puissant. J'ai donc calculé les puissances de 9 jusqu'à 9²², la première qui donnait un nombre de taille P - 1.

Merci pour l'énigme.

Voici ma démarche.

D'abord, quelques tests "à la main" et hypothèses
Notation :  on appellera les nombres iso-décimalo-puissants d'un rang n tous les n^p dont le nombre de chiffres est égal à p.
On sait que , ainsi 0 n'est pas un nombre iso-décimalo-puissant. Donc un nombre iso-décimalo-puissant est strictement positif.

Donc par la suite, et .

donc le rang 0 ne possède aucun nombre iso-décimalo-puissant car un nombre ne peut pas avoir 0 chiffre.

donc le rang 1 ne possède qu'un seul nombre iso-décimalo-puissant : 1 ().


Donc le rang 2 semble ne posséder aucun nombre iso-décimalo-puissant.



Donc le rang 3 semble ne posséder qu'un seul nombre iso-décimalo-puissant : 1.


Donc le rang 4 semble posséder 2 nombres iso-décimalo-puissants : 1 et 2.

On s'arrête là.
On peut émettre une conjecture : si le plus grand nombre iso-décimalo-puissant d'un rang n est p, alors le rang n possède p nombres iso-décimalo-puissants qui sont par conséquent : p; p-1; p-2; ...; 1.

Par exemple, 2 est le plus grand nombre iso-décimalo-puissant du rang 4. Donc ce dernier possède 2 nombres iso-décimalo-puissants : 1 et 2.
Un autre exemple : 6 est le plus grand nombre iso-décimalo-puissant du rang 7, donc ce dernier possède 6 nombres iso-décimalo-puissants : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

En supposant que la conjecture est vraie, alors il est possible de créer un algorithme simple.

Création de l'algorithme, étape par étape
Avant tout, on va forcément avoir besoin d'une fonction permettant de calculer le nombre de chiffres d'un nombre x.
On introduit une variable qui va compter les chiffres de x. Sa valeur initiale est 1.
On divise x par 10. Si le résultat est supérieur ou égal à 1, alors on incrémente le compteur de 1 et on recommence.
Essayons avec 732 :
732/10 = 73,2 1 ; compteur = 2.
73,2/10 = 7,32 1 ; compteur = 3.
7,32/10 = 0,732 < 1 : la boucle s'arrête et le compteur est finalement égal à 3, qui est bien le nombre de chiffres de 732.
Plus qu'à coder. En Python, cela donnerait quelque chose comme :

En fait, je me suis franchement embêté pour rien.

Si n10, alors le nombre n¹ possède au moins 2 chiffres et non 1. Ainsi, le rang n ne possède pas de nombre(s) i.d.p.
Donc aucun rang supérieur ou égal à 10 ne possède de nombres i.d.p.

Il ne faut donc considérer que les rangs n entre 1 et 9, ce qui me conforte encore plus quant à l'exactitude de ma réponse.
Cependant, cela repose encore une fois sur ma conjecture. Si celle-ci s'avère fausse, alors j'ai faux de A à Z.

Je pense que c'est 21.
Car 9^21=(21 chiffres)

Bonjour,

Il s'agit de 21.
En effet, si a k chiffres, alors n<10
qui a k+1 chiffres.
De plus tous les nombres jusqu'à 21 sont iso-décimalo-puissants.

Mais si
qui a moins de k chiffres.

On peut le démontrer avec une simple récurrence.
Si k=22 la propriété est vraie.
Soit tel que 9^p a strictement moins de p chiffres.

Donc a moins de p+1 chiffres.
La propriété est initialisée et héréditaire.

On en déduit que le plus grand entier iso décimalo puissant est 21.

La dernière inégalité est bien sûr une inégalité stricte.

Bonsoir,

il semblerait que ce ne soit pas très compliqué.

Inutile de tester les valeurs de N>9 car 10^P possède déjà P+1 décimales,
donc on cherche juste à tester les petites valeurs de P jusqu'à ce que 9^P ne suffise plus (i.e. 9^P possède P-1 décimales, d'où un saut de la décimale cherchée... _{euh pour moi c'est clair !})

Je trouve P=21 avec une unique solution pour N=9 (9^21=109418989131512359209).

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

pour moi, le plus grand est 21.

on a 9²¹ = 109418989131512359209  qui a 21 chiffres.

merci pour cette énigme.

21
merci pour l'énigme

N le plus grand possible mais<10 donc N=9
P=21

Bonjour à tous.

Ma réponse : P=21, N=9, 9^21 = 109418989131512359209, qui comporte 21 chiffres.

Merci pour l'énigme

Bonjour,

P = 21 et N = 9 avec 9^21 = 109 418 989 131 512 359 209 qui comporte 21 chiffres.

Je propose
P=21
N=9

Bonjour,

personnellement, j'ai trouvé   N =9   et P=21

Bien à vous

Bonjour Jamo,

Le plus grand entier P vérifiant   P-1 log₁₀(N^P) < P  pour N ,  soit   1-1/P log₁₀N < 1 , est :   P = 21 ,  pour  N = 9

9²¹ = 109 418 989 131 512 359 209  a 21 chiffres.

Bonsoir, je pense que le plus grand nombre iso-décimalo-puissant est 21, avec 9²¹ = 1,094189891 10¹

Oh comment ai-je pu mettre 10¹ au lieu de 10²⁰...

21 est le plus grand nombre iso decimalo puissant car 9^21 et 9^22 possèdent 21 chiffres, donc pour tout P > 21, 9^P possède moins de p chiffres.

Comme 10^b possède b+1 chiffres, on sait que N < 10.

Si N^P possède P chiffres et si N < 9, alors 9^P possède au moins P chiffres, donc P < 22

Bonjour,
soit n,p deux entiers naturels non nuls,
on tente de déterminer la plus grande valeur de p>=3 telle que n^p comporte p chiffres.
On démontre facilement que le nombre de chiffres que contient un nombre positif x vaut E(log x)+1.
On cherche donc les nombres p, n tel que E(p log n) + 1 - p = 0
D après l encadrement p-1 <= p log n < p, on décrit n pour les valeurs allant de 5 à 9 incluses.
La plus grande valeur de p est donc 21, en effet :

9^21 = 1,09419.10^20 et contient 21 chiffres.

Merci pour l'énigme !

Bonjour Jamo.
P = 21 et N = 9
log(0,1)/log(0,9) est compris entre 21 et 22

Bonjour,

Le nombre de chiffres de n est donné par :     (en base 10 naturellement).
                                                          n E(log(n)) + 1              

On a (10^p) = p + 1
On a (9^p) p
et (9^p) < p n < 9 (n^p) < p
étant strictement croissante.

Donc P est iso-décimalo-puissant (9^P) = P.

Un petit programme et on trouve max {P|P iso-décimalo-puissant} = 21
En effet (9²¹)=21
       et (9²²)=21

Salut jamo,

Je propose : et .          ()

Merci.

Bonjour,
Et voilà, mes espoirs de faire un sans-faute ce mois-ci sont anéantis.

En relisant la consigne il y a une minute, j'ai lu avec horreur :

Bonjour,

Les nombres iso-décimalo-puissants sont les entiers de 1 à 21.

Le plus grand est 21, et on a :
9^21 = 1.0942e+20 qui possède bien 21 chiffres.

Bonjour Jamo, bonjour tous!
Je propose 21, que 9 rend iso-décimalo-puissant, car 9^21=109418989131512359209.
En effet, aucun nombre supérieur ou égal à 10 ne peut en rendre un autre iso-décimalo-puissant (rendre un nombre P puissant, c'est être un N tel que N^P ait P chiffres). 9 s'impose alors vite comme le meilleur N à choisir pour trouver un P optimal... Après, c'est du calcul.
Merci encore!

9^21

Clôture de l'énigme

Bravo à tous ceux qui ont trouvé, j'avais pensé que ce serait plus difficile que ça !

>Alishisap

Je compatis,vu ton travail