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Niveau 2 *
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Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
jamo Moderateur
19-06-13 à 15:17

Bonjour tout le monde,

on donne ci-dessous une grille de 9 cases où sont déjà placés les nombres 12 et 8.

L'objectif est de placer des nombres dans les autres cases de telle sorte à vérifier les conditions suivantes :
- les 9 nombres sont des entiers strictement positifs ;
- les 9 nombres sont tous différents ;
- pour tout alignement de 3 nombres en colonne, ligne ou diagonale, celui du milieu est égal à la moyenne des deux autres.

Question : Trouver toutes les grilles vérifiant les conditions ci-dessus.

Bonne recherche !

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
gui_tou
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 15:41

gagnéBonjour Jamo,

Je trouve, sauf ânerie, 4 grilles qui répondent au problème.

Après avoir placé le nombre du centre, que j'ai appelé x, en le faisant varier de 9 à 15 pour que les nombres soient strictement positifs, je trouve 4 bonnes configurations ; pour les autres, on a des répétitions.

Merci pour l'énigme !

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
ksad
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 15:42

gagnéBonjour
je propose les grilles suivantes:
Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

en espérant n'en avoir oublié aucune !
merci pour l'enigmo

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 16:02

gagnéCi-joint ma réponse (je trouve 4 solutions).

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
Chatof
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 16:05

gagné10      12     14
7        9       11
4        6        8

18     12     6
19     13     7
20     14     8

20     12     4
22     14     6
24     16     8

22     12     2
25     15     5
28     18     8

4 grilles
Bonjour et merci Jamo

Posté par
masab
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 16:11

gagnéBonjour,

Il y a 4 solutions.

[10,12,14]
[7,9,11]
[4,6,8]

[18,12,6]
[19,13,7]
[20,14,8]

[20,12,4]
[22,14,6]
[24,16,8]

[22,12,2]
[25,15,5]
[28,18,8]

Merci pour cette ênigme facile !

Posté par
panda_adnap
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 16:12

gagnéBonjour

4solutions
10 12 14
7 9 11
4 6 8

18 12 6
19 13 7
20 14 8

20 12 4
22 14 6
24 16 8

22 12 2
25 15 5
28 18 8

Posté par
WilliamM007
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 16:17

gagnéBonjour.

Je pense qu'il y a 4 solutions.

101214
7911
468
18126
19137
20148
20124
22146
24168
22122
25155
28188

Posté par
infophile
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 16:45

gagnéBonjour

Je trouve 4 possibilités, ce sont les seules.

10,12,14
7,9,11
4,6,8

18,12,6
19,13,7
20,14,8

20,12,4
22,14,6
24,16,8

22,12,2
25,15,5
28,18,8

Il suffit d'exprimer tous les nombres en fonction du terme central. Les équations permettent de dire que celui-ci est compris entre 9 et 15 (de par l'hypothèse de positivité). Puis l'hypothèse qui interdit les doublons permet d'éliminer les cas 10, 11 et 12. Donc le terme central ne peut valoir que 9, 13, 14 ou 15. Les autres s'en déduisent alors.

Merci pour l'énigme

Posté par
torio
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 17:31

gagné4 grilles

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
castoriginal
Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 17:57

gagnéBonjour,

voici les solutions de base qui existent

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Bien à vous

Posté par
brubru777
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 18:46

gagnéBonjour,

Je trouve 4 solutions.

10 12 14
7  9 11
4  6  8

18 12  6
19 13  7
20 14  8

20 12  4
22 14  6
24 16  8

22 12  2
25 15  5
28 18  8

Merci pour l'énigme.

Posté par
fontaine6140
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 19:02

gagnéBonjour Jamo,

4 solutions en image : ( suivre les couleurs!)
Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Merci pour l'énigmo

Posté par
sbarre
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 19:27

gagnéBonsoir,
on arrive assez rapidement à l'ensemble de solutions suivantes Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Merci et bonne soirée...

Posté par
jupequeno
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 19:37

perduJ'ai trouvé 5 solutions

Posté par
jupequeno
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 19:43

perduJ'ai trouvé 5 solutions:

   10   12   14         18   12   6          20   12   4
   7    9    11         19   13   7          22   14   6
   4    6    8          20   14   8          24   16   8


  22   12   2           24  12   0
  25   15   5           28  16   4
  28   18   8           32  20   8


Merci!!

Posté par
geo3
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 19:53

gagnéBonjour
Je trouve 4 solutions que voici
A+

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
darksmaul
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 20:20

gagnéBonjour

Les grilles qui sont solutions du problème sont de la forme:

a1224-a
(-16+3a)/2(8+a)/2(32-a)/2
-16+2a-4+a8


avec a {10;18;20;22}

Posté par
rschoon
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 20:56

perduBonjour à tous.

Ma réponse ci-dessous (2 solutions).

Merci pour l'énigme

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
dedef
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 22:43

gagnéBonjour,

4 grilles
10 12 14 7 9 11 4 6 8
18 12 6 19 13 7 20 14 8
20 12 4 22 14 6 24 16 8
22 12 2 25 15 5 28 18 8

Posté par
link224
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 19-06-13 à 23:13

gagnéSalut jamo.

Je trouve 4 grille, que voici en image jointe.

A+ et merci pour l'énigme

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
veleda
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 20-06-13 à 07:52

gagnébonjour,
je trouve  les grilles suivantes
10  12  14
  7   9  11
  4   6   8    


18  12   6
19  13   7
20  14   8


20  12   4
22  14   6
24  16   8


22  12   2
25  15   5
28  18   8


merci pour ce jeu

Posté par
Alexique
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 20-06-13 à 13:56

gagnéBonjour,
Voici mes quatre propositions obtenues par résolution d'un système 7x7 puis en éliminant les solutions négatives ou non distinctes...

 $ \begin{pmatrix}22&&12&&2 \\25&&15&&5 \\ 28&&18&&8\end{pmatrix}$
 $ \begin{pmatrix}20&&12&&4 \\22&&14&&6 \\ 24&&16&&8\end{pmatrix}$
 $ \begin{pmatrix}18&&12&&6 \\19&&13&&7 \\ 20&&14&&8\end{pmatrix}$
 $ \begin{pmatrix}10&&12&&14 \\7&&9&&11 \\ 4&&6&&8\end{pmatrix}$

Merci pour l'énigme !

Posté par
MHDJ
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 20-06-13 à 14:52

perdu

101214
7911
468

Posté par
petitete
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 20-06-13 à 16:41

gagnéBonjour.

Je trouve 4 réponses:

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
gabylu
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 20-06-13 à 18:11

perduBonjour !

Je propose:

10 12 14
7 9 10
4 6 8

12 12 12
10 10 10
8 8 8


14 12 10
13 11 9
12 10 8

16 12 8
16 12 8
16 12 8

18 12 6
19 13 7
20 14 8

20 12 4
22 14 6
24 16 8

22 12 2
25 15 5
28 18 8



Cela nous fait donc 7 possibilités.

Soit a un entier naturel strictement positif. On considère le carré:

? 12 ?
? ? ?
a ? 8

En complétant, on obtient:

? 12 ?
? ? ?
a 4+a/2 8

Il faut donc que a soit pair.
De même:

? 12 ?
? 8+a/4 ?
a 4+a/2 8

Soit n un entier naturel strictement positif.
Il faut donc que a = 4n
Cela nous mène à considérer le carré :

2(n+4) 12 2(8-n)
3n+4 n+8 12-n
4n 2(n+2) 8

Ce carré est solution si 8-n > 0 et 12-n > 0.
Il faut donc 8 - n >0
n < 8
Or n > 0
Donc 1n7
Il y a donc bien 7 solutions toutes de la forme:
2(n+4) 12 2(8-n)
3n+4 n+8 12-n
4n 2(n+2) 8
avec n un entier naturel compris au sens large entre 1 et 7.

Posté par
littleguy
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 20-06-13 à 18:16

gagnéBonjour,

J'ai trouvé quatre solutions :

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 20-06-13 à 20:49

gagnéBonsoir jamo ,

10 12 14
7   9 11
4   6  8

18 12  6
19 13  7
20 14  8

20 12  4
22 14  6
24 16  8

22 12  2
25 15  5
28 18  8

Merci.

Posté par
roule
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 21-06-13 à 09:35

perduBonjour, 5 solutions possibles

Posté par
roule
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 21-06-13 à 09:40

perdu
bonjour, 5 solutions possibles

14 / 12 / 10
13 / 11 /  9
12 / 10 /  8

10 / 12 / 14
7 /  9 / 11
4 /  6 /  8

12 / 12 / 6
19 / 13 / 7
20 / 14 / 8

20 / 12 / 4
22 / 14 / 6
24 / 16 / 8

22 / 12 / 2
25 / 15 / 5
28 / 18 / 8

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 21-06-13 à 10:46

gagnéBonjour Jamo.
Il y a quatre solutions ;

10 12 14
7  9 11
4  6  8

18 12 6
19 13 7
20 14 8

20 12 4
22 14 6
24 16 8

22 12 2
25 15 5
28 18 8

Les raisons des rangées sont égales; les raisons des colonnes aussi. Les raisons des deux diagonales sont respectivement la somme et la différence de la raison des rangées et de la raison des colonnes.

Posté par
carpediem
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 21-06-13 à 15:40

gagnésalut

il y a 7 inconnues et 8 équations t3 lignes + 3 colonnes + 2 diagonales)

la condition de moyenne conduit au tableau :


2m - 8    |      12     |  32 - 2m

3m - 20  |       m     |  20 - m

4m - 32  |  2m - 12  |       8


la condition de stricte positivité conduit à  m > 8  et  m < 16

on essaie donc m = 9, 10, 11, 12, 13, 14 et 15 dont on élimine immédiatement 10, 11 et 12  d'ailleurs qui ne permettent pas de vérifier la dernière condition ...

la dernière condition nous conduit aux solutions ::


10 | 12 | 14
7 |  9 | 11
4 |  6 |  8

18 | 12 |  6
19 | 13 |  7
20 | 14 |  8

20 | 12 |  4
22 | 14 |  6
24 | 16 |  8

22 | 12 |  2
25 | 15 |  5
28 | 18 |  8


donc 4 solutions ...

Posté par
pyth
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 21-06-13 à 16:40

gagnésalut

je trouve 4 solutions

-le rang des equations est de 6 donc on obtiens une droite vectorielle de solution
-la positivité des elements de la matrice donne un encadrement du scalaire
-on trie parmi les quelques solutions restantes :



 \left[ \begin{array}{ccc} 22&12&2\\25&15&5\\ 28&18&8 \end{array} \right] 
 \\ 
 \\ \left[ \begin{array}{ccc} 20&12&4\\22&14&6\\24&16&8 \end{array} \right] 
 \\ 
 \\ \left[ \begin{array}{ccc} 18&12&6\\19&13&7\\20&14&8 \end{array} \right] 
 \\ 
 \\ \left[ \begin{array}{ccc} 10&12&14\\7&9&11\\4&6&8 \end{array} \right] 
 \\ 
 \\

Posté par
derny
Une grille moyennement magique 21-06-13 à 17:53

perdu4

Posté par
frenicle
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 22-06-13 à 20:33

gagnéBonjour jamo,

Je trouve 4 grilles :

\begin{vmatrix}10 & 12 & 14\\7 & 9 & 11\\4 & 6 & 8\end{vmatrix},\begin{vmatrix}18 & 12 & 6\\19 & 13 & 7\\20 & 14 & 8\end{vmatrix},\begin{vmatrix}20 & 12 & 4\\22 & 14 & 6\\24 & 16 & 8\end{vmatrix},\begin{vmatrix}22 & 12 & 2\\25 & 15 & 5\\28 & 18 & 8\end{vmatrix}

Merci pour l'Enigmo

Posté par
ratchet77
enigme 23-06-13 à 18:13

perdu10/12/14
7/9/11
4/6/8

Posté par
dpi
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 24-06-13 à 11:24

perduBonjour,

Avec un peu de retard...

10 12 14
7   9  11
4   6  8

En jouant sur uns seule case on peut en trouver
3 autres

Posté par
seb_dji
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 24-06-13 à 12:43

perduréponse: quelles sont les valeurs possibles pour la 1ère case en haut a gauche?
les autres cases se déduisant de celle-ci:
a 12 24-a
3a/2-8 4+a/2 16-a/2
2a-16 a-4 8

à cause de 2a-16>0 alors: a>8
à cause de 24-a>0 alors: a<24
à cause de 4+a/2 entier alors: a est pair.
les valeurs possibles pour a sont donc: 10 12 14 16 18 20 22

Posté par
rijks
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 24-06-13 à 12:55

gagnéBonjour,
Je trouve 4 grilles différentes. La réponse en image.

Merci pour l'énigme.

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
ENSC
Merci ! 24-06-13 à 15:47

gagné22 12 2
25 15 5
28 18 8

20      12      4
22      14      6
24      16      8

18 12 6
19 13 7
20 14 8

10 12 14
7 9 11
4 6 8

Posté par
dpi
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 25-06-13 à 07:57

perduSUITE

Je me dois de donner les 3 autres
18 12 6    20 12 4    22 12 2
19 13 7    22 14 6    25 15 5
20 14 8    24 16 8    28 18 8

la combinaison suivante apportant un 0

24 12 0
28 16 4
32 20 8

Posté par
franz
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 26-06-13 à 13:16

gagné\begin{array}{ccc}22&12&2\\25&15&5\\28&18&8\end{array}

\begin{array}{ccc}20&12&4\\22&14&6\\24&16&8\end{array}

\begin{array}{ccc}18&12&6\\19&13&7\\20&14&8\end{array}

\begin{array}{ccc}10&12&14\\7&9&11\\4&6&8\end{array}

Posté par
Pandadesvilles
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 26-06-13 à 13:43

perduBonjour

Voici ma solution :

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
Raphi
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 27-06-13 à 01:49

perduVoici les 3 solutions

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Posté par
SoleneB
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 01-07-13 à 00:38

perdu1ere grille:

         10   12   14
          7    9   11
          4    6    8

2eme grille:

Posté par
SoleneB
suite de la réponse 01-07-13 à 00:47

perdu2eme grille:

          22   12   2
          25   15   5
          28   18   8

3eme grille:

          18   12   6
          19   13   7
          20   14   8

4eme grille:

          20   12   4
          22   14   6
          24   16   8

Voilà! =)

Posté par
Alishisap
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 01-07-13 à 15:20

perduBonjour et merci beaucoup pour l'énigme.
Il n'y a qu'une seule grille solution :

\begin{array}{c|ccc}&\textcolor{blue}{10}&\textcolor{red}{12}&\textcolor{blue}{14}\\&\textcolor{blue}{7}&\textcolor{blue}{9}&\textcolor{blue}{11}\\&\textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{6}&\textcolor{red}{8}\end{array}

Posté par
Alishisap
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 01-07-13 à 15:21

perduJe réécris d'abord le tableau avec des inconnus :

a 12 b
c d e
f g 8

Je vais à présent exprimer toutes les valeurs en fonction de a (pour tout a\in\N^*,a\neq\{8;12\}) :

\dfrac{a+b}{2}=12\Longleftrightarrow\boxed{b=24-a}
 \\ 
 \\ \dfrac{b+8}{2}=e\Longleftrightarrow\boxed{e=\dfrac{32-a}{2}}
 \\ 
 \\ \boxed{d=\dfrac{a+8}{2}}
 \\ 
 \\ \dfrac{12+g}{2}=d\Longleftrightarrow\boxed{g=a-4}
 \\ 
 \\ \dfrac{f+8}{2}=g\Longleftrightarrow\boxed{f=2a-16}
 \\ 
 \\ \dfrac{a+f}{2}=c\Longleftrightarrow\boxed{c=\dfrac{3a-16}{2}}

On vérifie également les dernières égalités que l'on devrait avoir :

\dfrac{c+e}{2}=d
 \\ 
 \\ \dfrac{f+b}{2}=d

Nos 8 égalités sont bien vérifiées. De plus, toutes les valeurs sont différentes. Maintenant, on peut réfléchir.


 \\ a=\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11\} (pour satisfaire \dfrac{a+b}{2}=12).

f=2a-16 donc a=\{9; 10; 11\}.

e=\dfrac{32-a}{2} donc a est pair.

Conclusion, une seule possibilité : \textcolor{blue}{\boxed{a=10}}.

Plus qu'à compléter à l'aide des égalités :

\textcolor{blue}{b=14}
 \\ \textcolor{blue}{c=7}
 \\ \textcolor{blue}{d=9}
 \\ \textcolor{blue}{e=11}
 \\ \textcolor{blue}{f=4}
 \\ \textcolor{blue}{g=6}

À bientôt !

Posté par
totti1000
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 06-07-13 à 19:57

gagnéSalut jamo,

Voici ma proposition :

Enigmo 301 : Une grille moyennement magique

Merci.

Posté par
lo5707
re : Enigmo 301 : Une grille moyennement magique 08-07-13 à 10:11

gagnéBonjour,

il existe 4 grilles vérifiant ces conditions :

10 12 14
7 9 11
4 6 8


18 12 6
19 13 7
20 14 8


20 12 4
22 14 6
24 16 8


22 12 2
25 15 5
28 18 8


Je suis parti du nombre en bas à gauche.
Il ne peut être qu'un multiple de 4, sinon on fait apparaître des nombres à virgule.
4 fonctionne.
8, 12 et 16 ne vérifient pas la condition de l'unicité des nombres.
20, 24 et 28 fonctionnent.
à partir de 32, on a des nombres nuls ou négatifs.

Merci pour cette énigme.

1 2 +


Challenge (énigme mathématique) terminé .
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