Bonjour tout le monde,
on s'intéresse à une pyramide multiplicative de nombres : la valeur contenue dans une case est égale au produit des deux cases sur laquelle elle repose.
Le sommet de la pyramide est une seule case, l'étage inférieur a 2 cases, l'étage en-dessous 3 cases, et ainsi de suite ...
On sait que le nombre au sommet de la pyramide est 1 119 744. On sait aussi que tous les nombres contenus dans les cases de la base de pyramide sont des nombres premiers.
Par contre, on ne connaît pas le nombre d'étages !
Question : Quels sont les nombres contenus dans les cases de la base de la pyramide ?
S'il existe plusieurs solutions, vous en donnerez une seule.
Par contre, bien faire attention à l'ordre des nombres : vous les donnerez de gauche à droite.
Bonne recherche !
Bonjour jamo,
Les nombres contenus dans les cases de la base de la pyramide sont
2, 2, 3, 2, 3
Merci pour cette énigme !
Je propose 5 étages avec comme 5e étage :
2 2 3 2 3
La pyramide complète
1119744
864 1296
24 36 36
4 6 6 6
2 2 3 2 3
Merci
Salut jamo !
Les nombres contenus dans les cases à la base de la pyramide sont, de gauche à droite : 2, 2, 3, 2, 3.
Le second étage de la pyramide sera composé de : 4, 6, 6, 6.
Le troisième étage : 24, 36, 36.
Le quatrième étage : 864 et 1296, dont le produit donne bien 1119744.
A+ et merci pour l'énigme.
Bonjour
Voici ma base :
2,2,3,2,3
ce qui donne la pyramide:
1119744
864 1296
24 36 36
4 6 6 6
2 2 3 2 3
merci pour l'énigmo !
REPONSE: 3 2 3 2 2
AU SOMMET on obtient AxB^4xC^6xD^4xE donc il suffit de chosir C=3 et AouE=3 puis les autres=2
pour avoir au sommet 2^9*3^7=1 119 744
Bonjour,
Voici ma réponse :
Les nombres à la base sont : 2, 2, 3, 2, 3.
Cela donne :
______________________________1119744______________________________
_________________________864__________1296________________________
____________________24__________36__________36___________________
_______________4__________6__________6__________6_______________
__________2__________2__________3__________2__________3__________
Merci.
2/2/3/2/3
si a/b/c/d/e à la base on obtient en haut a*b4*c6*d4*e
en prenant a=b=d=2 et c=e=3 on a 210*37=1119744
Bonjour et merci pour l'énigmo.
Je propose 2 2 3 2 3 et donc bien sur son symétrique 3 2 3 2 2
Seules solutions je pense.
Bonjour,
Je suis resté longtemps bloqué sur des multiples
impairs incompatibles avec les étages inférieurs.
Rien ne dit que la base n'a que des premiers différents.
je suis obligé de passer par 5 niveaux:
1119744
1296 864
36 36 24 24
6 6 6 6 4
3 2 3 2 2 2
Bravo à ceux qui trouveront en 4 niveaux.
Bonjour à tous,
je propose la solution suivante, trouvée à tatons...
1119744
1296 864
36 36 24
6 6 6 4
3 2 3 2 2
Bonjour Jamo.
Les nombres de la base sont 2 2 3 2 3.
Les autres étages contiennent :
4 6 6 6
24 36 36
864 1296
1119744
Merci Jamo,
Les 5 case du bas contiennent , par exemple : 3 2 3 2 2
NB : il est évident que ce qui convient "de gauche à droite" convient aussi de droite à gauche.
3 2 3 2 2
1 119 744 = 2^9 * 3^7
Le sommet est divisible par tous les éléments de la bases, donc à la base, il n'y aura que des 2 et des 3.
A 3 étages, le sommet vaut B1*B2^3*B3 puissance totale 4
A 4 étages, le sommet vaut B1*B2^3*B3^3*B4 puissance totale 8
A 5 étages, le sommet vaut B1*B2^4*B3^6*B4^4*B5 puissance totale 16
Ça colle, la pyramide a 5 étages.
3 doit avoir la puissance 7, avec 1 4 6 4 1, la seule possibilité est 6+1, soit mettre un 3 au milieu, et au choix à l'une des extrémités.
Bonjour,
je propose comme base de la pyramide (dans l'ordre)
2 | 2 | 3 | 2 | 3
Merci pour l'énigme !
Bonjour,
comme la multiplication est comutative de gauche à droite ou de droite à gauche c'est pareil !
3 2 3 2 2
(évidemment 2 2 3 2 3 marche tout aussi bien)
preuve :
méthode :
décomposition de 1119744 en facteurs premiers = 29 37
triangle de Pascal sur les exposants
la ligne où la somme est égale à 9+7 = 16
on répartit les valeurs 1, 4, 6, 4, 1 en deux groupes dont la somme fait respectivement 9 et 7 :
6 + 1 = 7
et 4 + 4 + 1 = 9
et donc
Pascal : 1, 4, 6, 4, 1
facteurs : 3, 2, 3, 2, 2
on vérifie.
]salut.
la base de la pyramide se compose de 5 nombres premiers.
2 - 2 - 3 - 2 - 3
le nombre 1 119 744 se décompose en produit de facteurs premiers comme ceci:
en utilisant le triangle de Pascal , lié aux coefficients binomiaux , le degré 4 donne les coefficients :
1 - 4 - 6 - 4 - 1 leur somme est bien évidemment .
alors l'exposant de 2 est 9 = 1 + 4 + 4 et celui de 3 est 7 = 6 + 1
- | - | - | - | 2^9x3^7 | - | - | - | - |
- | - | - | 2^5x3^3 | - | 2^4x3^4 | - | - | - |
- | - | 2^3x3 | - | 2^2x3^2 | - | 2^2x3^2 | - | - |
- | 2^2 | - | 2x3 | - | 2x3 | - | 2x3 | - |
2 | - | 2 | - | 3 | - | 2 | - | 3 |
1 | - | 4 | - | 6 | - | 4 | - | 1 |
Bonjour,
si on met des valeurs sur la ligne du bas, le résultat final sera le prduit de ces valeurs affectées de la puissance donnée par le triangle de Pascal.
Donc il faut décomposer 1119744 en produit de facteurs premiers et voir si on trouve une ligne avec les puissances correspondantes.
Il faudrait trouver une ligne avec les valeurs 7 et 9 (puisque 1119744 = 2^9*3^7)
Et ça, ça n'existe pas! Donc pas de solution pour moi! (me^me si cela ne semble pas envisagé par l'énoncé...)
réponse: 2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3 et 3
J'espère que je ne me suis pas trompé, c'est la première énigme que je fais sur ce site
les nombres contenus dans les cases de la base de la pyramide sont de gauche à droite:
2 - 2 - 3 - 2 - 3
Les nombres contenus dans les cases de la base de la pyramide sont 2, 2, 3, 2 et 3. C'est la seule solution (avec la solution symétrique).
Résolution :
Le nombre de chemin pour aller d'une case de la base vers la case sommet (exposant à mettre sur la case) est donné par le triangle de pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
La somme des exposants est donnée par 2n où n est l'étage (le sommet est à l'étage 0). Or 1119744 se factorise en 29*37. La somme des exposants vaut 16 = 24. On a donc 4 étages.
La seule combinaison pour obtenir 7 et 9 en additionnant 1,1,4,4 et 6 est 1+6 = 7 et 1+4+4 = 9. On a donc un 1 dans le trinagle de pascal qui contient 2, l'autre contient 3. Les 4 contiennent 2 et le 6 contient 3. Ce qui donne deux possibilités symétriques.
Clôture de l'énigme
Il y avait une seule solution, avec une pyramide à 5 étages : 2 ; 2 ; 3 ; 2 ; 3 (et la solution symétrique).
Et c'est panda_adnap qui remporte le mois de novembre ! !
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