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Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * *

Posté par
jamo Moderateur
14-06-08 à 15:24

Bonjour,

Prenons une grille de 16 cases, puis plaçons-y au hasard les 16 entiers de 1 à 16. Pour chaque ligne et chaque colonne, on calcule le produit des nombres correspondants :

Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

On trouve que le produit maximum est égal à 8064.

La question est la suivante : donner moi la grille telle que ce maximum soit le plus petit possible.

Voici la version 33 de ce jeu : Enigme : Petit maximum et Grand minimum ! :*:

Pour être honnête, je ne connais pas la réponse à la question posée. Ce sera donc ceux qui me proposeront le plus petit maximum, accompagné de la grille, qui gagneront !
Le principe du jeu est enfantin ... mais la recherche de l'extremum l'est peut-être moins.

Bonne recherche !

Posté par
rezoons
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 14-06-08 à 18:37

perdubonjour,
en esperant ne pas aller trop vite ,
je propose 2340 avec comme grille:

Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Posté par
link224
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 14-06-08 à 18:55

perduSalut jamo!

Après moult tâtonnements, je trouve un maximum minimal de 2304. La grille correspondante est jointe. (Et va falloir que je m'apprenne à écrire sous Paint...

@+ et merci pour l'énigme.

Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Posté par
link224
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 14-06-08 à 21:55

perduRe salut!

En re-regardant mon image jointe, je me rends compte que j'ai oublié de mettre le dernier produit sur la dernière ligne, ce produit est égal à 2288. J'espère que, si j'ai juste, cet oubli n'affectera en rien mon smiley (vu que je ne modifie pas ma réponse).
Merci et @+

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 14-06-08 à 22:15

gagnéEn utilisant la possibilité de permuter les lignes et les colonnes, je peux faire l'hypoyhèse que le chiffre en haut à gauche est le 1 et que la première ligne et la première colonne sont en ordre croissant.
Pour utiliser la sumétrie, je peux supposer également que le deuxième chiffre de la 1ère ligne est inférieur au deuxième chiffre de la 1ère colonne.
J'obtiens dans ces conditions 2 grilles avec un produit maximum de 2184, qui est le plus petit que l'on puisse obtenir (du moins, je pense !!).

Ci-joint mes solutions.

Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Posté par
-QQ-
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 15-06-08 à 11:55

gagné

    1   9   15  16
    12  8   2   11
    13  6   7   4
    14  5   10  3

Avec comme plus petit maximum 1x12x13x14=2184.


    

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 15-06-08 à 11:58

perdubonjour Jamo
les rangées de la grille

16 14  1 10
6  7 11  5
2  8 13  9
12  3 15  4

produits des rangées : 2240 2310 1872 2160
produits des colonnes : 2304 2352 2145 1800
plus grand produit : 2352

selon l'énoncé, on ne s'occupe pas des diagonales, même si leurs produits ont été inscrits dans l'illustration

Posté par
Grimgar
2184 15-06-08 à 13:03

gagné10     3      5     14   2100
2     11      8     12   2112
15    16      9     1    2160
7      4      6     13   2184

2100  2112    2160  2184

Notons la symétrie des produits ^^
Plus grand produit : 2184

On pourrait également poser le problème du produit minimum le plus grand : ici 2100, qui dit mieux ?

Si on fait le produit des 4 produits des 4 lignes, chacun des nombres de 1 à 16 est utilisé dans le produit une et une seule fois, le produit vaut donc 16! (16 factorielle). Racine quatrième de 16! vaut 2138 et des poussières. Si les quatre produits étaient tous les quatre inférieurs ou égaux à 2138, leur produit ne pourrait être égal à 16! (il serait strictement inférieur), ce qui est une contradiction : le plus grand produit vaut donc au moins 2139. Mais 2139, de même que 2140, 2141, etc... ne peut être obtenu comme produit de 4 entiers inférieurs ou égaux à 16. 2145 et 2156 peuvent l'être, mais ne permettent pas de créer une grille. 2184 est donc le plus petit produit maximum possible (à moins que ce ne soit 2160 xD).

Posté par
manpower
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 15-06-08 à 14:09

gagnéBonjour,

on peut commencer par chercher le minimum théorique:
le produit des 16 premiers entiers vaut 16!=20922789888000, puis sa racine quatrième vaut environ 2138,72.
Ensuite 2139=3x23x31 ne peut convenir d'après ses diviseurs et il faut attendre 2145=3x5x11x13 pour avoir un nombre dont tous les diviseurs premiers sont compris entre 0 et 16.
On peut donc affirmer que le minimum théorique est de 2145.
Quant à l'atteindre c'est une autre affaire...

Je propose 2184 avec le carré suivant (qui convient également en rajoutant une condition sur le produit des valeurs pour les deux diagonales).

Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Au départ j'ai cherché à maximiser les diagonales (sans contraintes) mais sans succès. J'ai alors "blindé" les bords...
Les sommes sont bien équilibrées, aucune ne tombe sous 2100 et le maximum est atteint deux fois; elle a donc une belle tête !
M'enfin, j'ai quand même confié la vérification à un "petit" programme qui n'arrive pas à descendre sous 2184 donc cela devrait être une grille possible (à différentes symétries/rotations près) affichant le minimum en pratique.

Merci pour l'enigmo.

Posté par
1emeu
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 15-06-08 à 14:48

perduBonjour,

on peut montrer que le minimum est nécessairement supérieur à 2139 (racine quatrième de 1*2*...*16).

A l'aide d'un programme C et d'une petite heure de calculs, la meilleure grille que je trouve est :

12    3    4   16
15   13   11    1
6    8    5    9
2    7   10   14

Ce qui donne un max des produits égal à \mathbf{2304}.

Ca sent un peu le poisson ,

merci pour l'énigme,

1emeu

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 15-06-08 à 16:28

perdu     produit ligne
2 8 9 16         2304
15 4 3 12         2160
7 5 6 11         2310
10 14 13 1         1820


produit colone:
2100 2240 2106 2112


voilà j'espère que c'est la meilleure grille possible(ce dont je doute fort) j'en ai un peu marre de chercher !



Posté par
boums07
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 15-06-08 à 16:39

perduJe trouve 4620 (1ere ligne)

15 11 7 4
10 6 3 14
5  2 13 9
1 16 12 8

Posté par
Jibjib
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 16-06-08 à 13:35

perdu              16   1   9   12    1728            
              2   15   7   10    2100                    
              14  11   6   3     2772                
              4    13   5    8    2080              
                              
       1792  2145  1890  2880    

     Je trouve que mon plus petit maximum est 2880          

Posté par
kioups
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 16-06-08 à 15:53

perduJe trouve 3024 comme minimum

15-11- 1- 7
10-13- 8- 2
3 - 5-16-12

Posté par
kioups
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 16-06-08 à 15:55

perduoups, a bugué...

15-11-1-7
10-13-8-2
3-5-16-12
6-4-9-14

Produit des lignes : 1155-2080-2880-3024
Produit des colonnes : 2700-2860-1152-2352

Posté par
Eric1
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 16-06-08 à 21:36

gagnébonjour,

cela fait plusieurs jours que j'avais trouvé 2184, mais j'essayais de mieux faire.

La borne inférieure est bien sur (16!)^(1/4)=2138.72 et quelques


Je reste donc sur ma position de 2184

1 16 9 15
12 11 8 2
13 4 6 7
14 3 5 10

ou

1 16 11 12
10 5 6 7
14 3 4 13
15 9 8 2

sans compter les permutations...

Posté par
rogerd
Le jeu du "Petit Maximum" 17-06-08 à 09:53

gagnéBonjour Jamo et merci. Ca devient dur

Je propose deux grilles où
le produit maximum est 2184:

16  15  9  1
11  2   8  12
4   7   6   13
3   10  5   14

et

16  12  11  1
9    2    8   15
5    7    6   10
3    13  4   14

Il y a bien sûr aussi toutes celles qui s'en déduisent par permutation sur les lignes ou sur les colonnes, ou échange des lignes et des colonnes.

Posté par
matovitch
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 17-06-08 à 14:01

gagnéBonjour Jamo !
Voici ma grille, assurée à 99% avec le plus petit maximum.

Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Merci pour l'énigme !

Posté par
kiko21
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 17-06-08 à 18:27

gagnéBonsoir,

Je n'ai pas réussi à faire mieux (ou plutôt moins...) que 5$ \magenta \fbox{2184}
J'ai deux exemples pour cette valeur.
Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum
On verra bien...

A+, KiKo21.

Posté par
karatetiger
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 17-06-08 à 18:45

perdu4 14 3 13       2184
5 9 6 8       2160
7 16 10 2       2240
15 1 12 11       1980


2100 2016 2160 2288


Donc mon max est de 2288 je n'arrive pas à descendre plus bas

Posté par
piepalm
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 17-06-08 à 18:58

perduTrès difficile de savoir, sans exploration systématique, si on a atteint le minimum...
Je suis tombé plusieurs fois sur le même nombre; de là à penser que c'est le minimum, il n'y a qu'un pas que je franchis allègrement!
Une solution possible:
13 15 6 2 2340
12 1 10 14 1680
3 9 8 11 2376
5 16 4 7 2240
2340 2160 1920 2156
Ma proposition pour le minimum est donc 2376

Posté par
kev29
ma reponse 19-06-08 à 12:18

perdu15 1 13 11 =2145
4 14 5 8 =2240
6 16 10 2 =1920
7 9 3 12 =2268

=2520 =2016 =1950 =2112

Posté par
hllolotte
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 19-06-08 à 20:14

perdule carre est le suivant:

12 -  5 -  8  - 6   = 2880
11 -  9 -  4  - 2   = 792
1  -  16-  11 - 15  = 2640
13 -  3 -  7  - 10  = 2730
=      =   =    =
1716;2160;2464;1800

le maximun est 2880

bravo au vainceur

Posté par
totti1000
Le jeu du "Petit Maximum"... 20-06-08 à 16:22

gagnéBonjour, on n'est jamais trop sur avec ce genre d'enigme, mais bon tentons quand meme le coup...
On trouve comme resultat 2184...

Le jeu du  Petit Maximum ...

Posté par
-Tonio-
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 21-06-08 à 12:18

perduBonjour ,

Sans grande conviction, je propose cette grille :

| 1   |  12 | 7   | 13 |
| 16 |  2   | 10 | 9   |
| 8   |  15 | 3   | 6   |
| 14 |  5   | 11 | 4  |


Ce qui nous fait :

HORIZONTALEMENT :

1\times 12 \times 7 \times 13 = 1092
 \\ 
 \\ 16\times 2 \times 10 \times 9 = 2880
 \\ 
 \\ 8\times 15 \times 3 \times 6 = 2160
 \\ 
 \\ 14\times 5 \times 11 \times 4 = 3080

--> Le petit maximum est 3080

VERTICALEMENT :

1\times 16 \times 8 \times 14 = 1792
 \\ 
 \\ 12\times 2 \times 15 \times 5 = 1800
 \\ 
 \\ 7\times 10 \times 3 \times 11 = 2310
 \\ 
 \\ 13\times 9 \times 6 \times 4 = 2808

En espérant un ,

@+

Posté par
ThierryMasula
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 22-06-08 à 18:19

gagnéCher monsieur jamo,

Veuillez trouver ci-dessous notre meilleure offre pour la grille demandée.
Deux exécutions vous sont proposées, toutes deux atteignant une valeur plancher de 2184.
Un réordonnancement des lignes ou des colonnes est bien entendu envisageable sans supplément.
Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum
Dans l'espoir que l'une de celle-ci vous agrée, veuillez accepter, cher monsieur, l'expression de mes sentiments les plus distingués.

Posté par
Labo
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 23-06-08 à 10:40

perduBonjour Jamo,
en route, pour un poisson!!!
  5   7   4  16 ==> \red 2240
  9   2   8  14 ==> 2016
  3  12   6  10 ==> 2160
15  13  11   1 ==> 2145
verticalement
2025;2184;2112 \red 2240

Posté par
dhalte
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 24-06-08 à 22:17

gagnéBonsoir,

j'ai trouvé 2184, dont voici une solution
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
 \\ \hline 2 & 7 & 12 & 13 & . & 2184 \\
 \\ \hline 8 & 6 & 11 & 4 & . & 2112 \\
 \\ \hline 9 & 5 & 16 & 3 & . & 2160 \\
 \\ \hline 15 & 10 & 1 & 14 & . & 2100 \\
 \\ \hline . & . & . & . & . & . \\
 \\ \hline 2160 & 2100 & 2112 & 2184 & . & 2184 \\
 \\ \hline\end{array}

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 25-06-08 à 09:29

perduBonjour jamo,

Pour cette grille le plus petit maximum est 2352:
Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Comme d'habitude je tourne comme un poisson dans son bocal est j' ai oublié le plus petit maximum 2 tours avant......

Posté par
spencer
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 26-06-08 à 04:28

perdusalut,
le p'tit maximum d'apès moi est 3024
vous vous appercevrez que je suis pas doué en ce qui concerne les dessins avec paint (peut etre pour les énigmes aussi).

Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Posté par
ITMETIC
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 26-06-08 à 07:14

gagnéIci encore il est plutot difficile d'être assuré que l'on a trouvé l'extremum

En calculant la moyenne geometrique des produits des lignes on trouve 2138,...
L'extremum sera donc supérieur à cette valeur

Je me lance donc et voici ma solution avec un extremum à 2184

Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Posté par
gloubi
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 26-06-08 à 12:26

perduBonjour,

Allez, on y croit !

Pas trouvé mieux que 2240 comme maximum minimum.
Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum
Des comme ça, on en redemande ...

A+,
gloubi

Posté par
xtasx
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 26-06-08 à 16:48

perduBonjour,

voici ma réponse, mais je ne suis pas très confiant:

16 6 8 1
7 15 3 11
5 4 14 12
2 9 10 13

Le maximum des huit produits est de 3465=7*15*3*11

Merci !

Posté par
pisur2
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 26-06-08 à 17:47

perduPar tatonnement, je trouve 2574 avec le carré suivant :
5 9 8 6 Produit = 2160
7 12 10 3 Produit = 2520
14 1 16 11 Produit = 2464
4 15 2 13 Produit = 1560
P=1960 P=1620 P=2560 P=2574

Posté par
davidlab
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 27-06-08 à 06:06

perduBonjour, je dirais 2304 sans grande ceetitude. Merci.

Posté par
lo5707
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 30-06-08 à 10:12

perdubonjour,

Loin d'être sûr, mais tant pis...
Je ne trouve pas mieux que 3640:
Enigmo 36 : Le jeu du  Petit Maximum

Merci pour cette énigme.

Posté par
smile-butterfly
Espérons que ça soit bon^^ 01-07-08 à 11:06

perduHONRIZONTALEMENT
16*1*8*15 = 1920      
2*12*11*7 = 1848
10*14*3*6 = 2520
5*13*9*4 = 2340


VERTICALEMENT
16*2*10*5 = 1600
1*12*14*13 = 2184
9*11*3*9 = 2376
15*7*6*4 = 2520

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 01-07-08 à 12:42

Clôture de l'énigme

Le petit maximum semble donc être 2138.

Certains ont même donné de bons arguments qui font penser qu'il est difficile de trouver moins.

Là encore, la grille qui contient le petit maximum contient aussi le grand minimum.

On pourrait envisager de traiter ce problème sur des grilles plus grandes : 5*5 ; 6*6 ...

On sent que le petit maximum et le petit minimum vont se rapprocher de plus en plus vers 3$\sqrt[n]{(n^2)!}

En tout cas, bravo à ceux qui ont osé jouer !

(et manpower qui est encore en tête pour l'instant ... mais le mois n'est pas fini)

Posté par
lo5707
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 02-07-08 à 01:29

perdu

Citation :
Le petit maximum semble donc être 2138.



2184 il me semble...

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 02-07-08 à 07:07

Oui, 2184 ...

Posté par
ThierryMasula
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 02-07-08 à 09:52

gagnéD'autant qu'il était impossible de trouver plus petit que 2139 !

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 04-07-08 à 22:37

bonsoir

vraisemblablement que tous les poissonneux n'ont pas utilisé de programmes (ou alors, erreur de programmation)

ce qui ne veut pas dire que tous les smileurs ont obligatoirement utilisé la programmation

Cependant, je serais étonné de savoir si des smileurs ont trouvé sans programmation ?

si un smileur savait me dire sa méthode sans programmation...

Posté par
rogerd
Le jeu du "Petit Maximum" * 05-07-08 à 14:38

gagnéBonjour mikayaou.

En ce qui me concerne, je n'ai pas trouvé de grosse astuce pour résoudre complètement l'énigme à la main.
J'ai vu qu'on ne restreignait pas le problème en mettant une suite décroissante dans la première ligne et dans la première colonne ( donc les deux commencent par 16) le 2° terme de la 1° colonne étant plus grand que le  1° terme de la 2° colonne.
N'ayant pas vu d'autre simplification, il me restait, à partir de là, beaucoup de solutions à envisager. J'ai donc utilisé Maple de façon intéractive: parcours de boucles imbriquées jusqu'à trouver une solution. Ensuite je reprends mes boucles en demandant de sortir seulement quand le résultat est amélioré. etc.
Je ne sais pas si on peut vraiment parler de programmation car Maple a fonctionné comme une calculette.
D'autres ont peut-être réussi à analyser plus le finement le problème et ont pu le résoudre complètement sans calculette?

Posté par
mikayaou
re : Enigmo 36 : Le jeu du "Petit Maximum" * * * 05-07-08 à 15:06

merci de ta réponse rogerd-bonjour-

le terme "programmation" était peut-être trop fort : c'est bien à des boucles et procédés itératifs auxquels je pensais...

d'autres avis ?

-------------------

j'ai pensé à toi et veleda en adaptant mathîliennement les JFF postées ce matin :

¤ [détente]_JFF_Multiplication poisonneuse [détente]_JFF_Multiplication poisonneuse

¤ [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_20 [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_20

¤ [détente]_JFF_Les vacances de veleda [détente]_JFF_Les vacances de veleda

( désolé de faire de la retape, en cette période plutôt (trop) calme sur l' )

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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