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Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * *

Posté par
jamo Moderateur
20-06-08 à 19:50

Bonjour,

le Petit Prince s'ennuyait encore et toujours sur sa petite planète. Il profita alors du passage d'un habitant de l'île des maths pour lui demander "dessine-moi une tour".

Le mathématicien se mit alors au travail et dessina le plan d'une grande tour constituée de briques cubiques de 10cm de côté.
La tour a la forme d'un parallélépipède rectangle, et les briques sont simplement assemblées les unes à côté ou au dessus des autres, ayant toujours une face en commun (voir le petit dessin ci-dessous pour une tour de dimensions 2*3*4).

La mathématicien, une fois les plans finis, décida de faire stocker les briques nécessaires à la construction de la tour sur les planètes autour de celle du Petit Prince.
Malheureusement, une fois toutes les briques réunies, le mathématicien disparut et la tour ne fut jamais construite.

Bien plus tard, un voyageur se posa sur une planète sur laquelle il découvrit des briques ainsi qu'un morceau du plan de la tour. Le document donnait les indications suivantes :
- voici 482 930 910 briques cubiques de 10cm de côté ;
- ce même nombre de briques a été déposé sur plusieurs planètes ;
- le nombre de planètes servant de dépôts de briques est un nombre premier ;
- la hauteur de la tour est égale à la diagonale de sa base.

Question
Quelles sont les dimensions de la tour, en mètres ? (largeur et longueur de la base, et hauteur)


S'il y a plusieurs solutions, vous n'en donnerez qu'une seule.

Si vous pensez qu'il n'y a pas de solution, vous répondrez "problème impossible".

Question subsidiaire : pourquoi avoir mis en scène le Petit Prince dans cette énigme ?

Enigmo 38 : La tour du Petit Prince

Posté par
manpower
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 20-06-08 à 22:49

gagnéBonsoir,

la recherche promet d'être longue...
482930910=2x3^5x5x7x11x29x89 ce qui donne déjà 384 diviseurs !
nous recherchons un triplet Pythagoricien (la hauteur est égale à la diagonale de la base) (l,L,H)
de sorte que V=lxLxH=482930910xp où p est un nombre premier. Vaste défi !

Et pourtant, en cherchant, plus ou moins à tâtons dans le cas p=2 avec une grande liste de triplets pythagoriciens () et une calculette,
je trouve que (609;1188;1335) convient. C'est moche comme "méthode" mais ça marche !

A priori, il n'y a aucune limite, donc aucune raison de ne pas en trouver d'autres (mais en même temps je n'ai pas cherché peut-être faut-il p pair!)

Ici, j'ai compté en briques... reste à convertir en mètres.
D'où une tour de largeur 60,9m, de longueur 118,8m et de hauteur 133,5m pour un nombre total de 965 861 820 (2x482930910) briques.

Merci pour l'énigmo.

PS: p=2 est bien premier et la seconde assertion ne m'apparait pas mise en défaut
("- ce même nombre de briques a été déposé sur plusieurs planètes ;" et non "- ce même nombre de briques a été déposé sur plusieurs autres planètes ;")
PPS: Le Petit Prince ? Pas vraiment d'idée... 2?

Posté par
1emeu
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 20-06-08 à 23:05

perduBonsoir,

zut j'ai été dépassé par Manpower ,

voici mon résultat (dû à un petit programme en C calculant ça tout seul ) :

les dimensions de la tour sont 609 et 1188 pour la base et 1335 pour la hauteur !!

Les briques n'ont donc en fait été stockées que sur 2 planètes


Merci pour l'énigme

1emeu

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 21-06-08 à 09:46

gagnéLes dimensions sont : L= 118,8 m, l=60,9 m et h= 133,5 m

Posté par
rogerd
La tour du Petit Prince 21-06-08 à 12:01

gagnéBonjour Jamo, et merci.

Une remarque préliminaire: il ne peut y avoir de trou dans la tour sinon, comme les briques sont assemblées sans colle, l'édifice ne serait pas stable (les trous étant comblés par la chute des briques qui les surmontent). Il ne peut y avoir non plus de trou dans le toit, sinon la tour n'aurait pas la forme d'un parallélépipède rectangle.
Le volume total des briques est donc le produit des trois dimensions.

(je ne comprends pas le "ayant toujours une face en commun")

Avec l'aide de Maple, je trouve une solution:

longueur: 118,8 m
largeur: 60,9 m
hauteur: 133,5 m


Je vérifie par Pythagore que la hauteur est bien la diagonale de la base.
Le nombre de briques utilisées est 1188x609x1335 = 965861820 , soit 2 fois 482930910.

J'espère ne pas m'être trompé (je suis très mauvais depuis quelques temps).

Je ne comprends pas l'allusion au Petit Prince, d'autant plus que sa planète est si petite qu'on ne pourrait y édifier une tour aussi volumineuse!

Posté par
rezoons
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 21-06-08 à 13:12

perduBonjour ,
je ne suis pas sr mais je tente probleme impossible.
je m'explique:
en apellant a:la hauteur b:la longeur et c:la largeur on a donc comme égalité:
a²=b²+c² car la diagonale de la base (b²+c²) est égale a la hauteur de la tour (a²) et abc=482930910 (aire du parallelepipede rectangle = longeur * largeur * hauteur)
comme a²=b²+c² alors (a;b;c) est un triplet pytagoritien et donc on a abc divisible par 60. en eremplacant abc par 60x (x est un entier) on obtien:
60x=482930910 soit x=8048848.5 ce qui est impossible car x est un entier.


Voila pourquoi selon moi le probleme est impossible. (mais comme j'ai rien compris au truc du tri des briques sur les planetes je ne suis pas sur de ma réponse.)

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 21-06-08 à 13:31

Pour la subsidiaire, j'ai pensé au nombre d'étoiles du businessman mais après vérif, il y en a un peu plus

Citation :
- Ah! des étoiles ?

- C'est bien ça. Des étoiles.

- Et que fais-tu de cinq cents millions d'étoiles ?

- Cinq cent un millions six cent vingt-deux mille sept cent trente et un. Je suis sérieux, moi, je suis précis.


Peut-etre un lien quand meme

Posté par
piepalm
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 21-06-08 à 16:38

gagnéLes dimensions de la tour (en nombre de briques), forment un  triplet pythagoricien, soit a=m(p^2-q^2), b=2mpq, c=m(p^2+q^2), et si k est le nombre de planètes dépôt, et N le nombre de briques par dépôt, nous avons donc 2m^3*p*q*(p^4-q^4)=kN=2*3^5*5*7*11*29*89*k ou encore pq(p^4-q^4)/(5*7*11*29*89)=3^5*k/m^3.
Or pour p=18, q=11, pq(p^4-q^4)/(5*7*11*29*89)=18, ce qui donne en identifiant k=2 et m=3, donc a=3*(324-121)=609, b=6*18*11=1188, c=3*(324+121)=1335
soit une tour de base 60,9 m X 118,8 m et de hauteur 133,5 m

Posté par
piepalm
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 21-06-08 à 16:44

gagnéQuant à la question subsidiaire, je crois qu'Antoine de Saint-Exupéry est l'auteur du problème, ou tout au moins d'un problème assez ressemblant...

Posté par
xtasx
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 21-06-08 à 17:49

gagnéBonjour,

En calculant le volume total de la tour de deux façons, on obtient:

V = 482 930 910 * p dm^3
V = a*b*sqrt(a²+b²) dm^3 (avec a et b en dm)

La hauteur sqrt(a²+b²) de la tour est un nombre entier nécessairement (en dm).

Donc on cherche un entier dont le carré peut s'écrire comme la somme des carrés de deux autres entiers a et b. C'est le théorème de Fermat (pour n=2). On sait alors que a ou b est multiple de 4 (car un des deux s'écrira 2klm avec l et m de parité différente).

Donc V est un multiple de 4. Or 482 930 910 n'est pas divisible par 4 mais seulement par 2, donc 2 divise p, qui est un nombre premier, donc p=2.

Donc finalement,

V = 2*482 930 910 dm^3 = 965 861 820 dm^3

Il ne reste plus qu'à trouver a et b tels que a*b*sqrt(a²+b²)=V.

En utilisant la décomposition en facteurs premiers de 965 861 820 et un peu de Java, on trouve finalement:

965 861 820 dm^3 = 609*1188*1335 dm^3
car 1335=sqrt(609²+1188²)²

Donc la hauteur de la tour est de 1335 cubes, soit 1335 dm=133,5m
sa largeur et sa longueur sont 60,9m et 118,8m.

Merci pour l'énigme !

Posté par
Labo
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 21-06-08 à 20:07

gagnéBonjour Jamo,
482 930 910= 2*35*5*7*11*29*89
445=5*89
203=29*7
396=2²*3²*11
445²=203²+396²
nombre de planètes 2
hauteur de la tour
445*3*10= 13350 cm==> 133,5m
largeur de la base de la tour
203*3*10=6090cm==> 60,9m
longueur de la base de la tour
396*3*10= 11880 cm==>118,8m

Posté par
kioups
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 22-06-08 à 10:27

perduC

Posté par
kioups
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 22-06-08 à 11:16

perduOups... Je pensais que le problème était impossible.

La hauteur de la tour est égale à la diagonale de la base. Par conséquent, la longueur, la largeur et la hauteur de la tour forment un triplet pythagoricien.

Je me suis donc mis en tête de rechercher les éventuels triplets pythagoriciens correspondants.

Il y a 482 930 910 briques sur la planète et un nombre premier de planètes. Le nombre de briques total est le produit du triplet pythagoricien.

Or, dans un triplet pythagoricien, il y a forcément un multiple de 4.
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./p/pythagoricien,triplet.html

Dans ce lien, si d ou u ou v (ou non exclusif) est pair, b est divisible par 4 et si u et v sont impairs, c'est a qui est divisible par 4.

Malheureusement, 482 930 910 n'est divisible que par 2. Le nombre de planètes, s'il est premier ne peut-être que 2.

482 930 910=2x3^5x5x7x11x29x89

Il doit donc y avoir 965 861 820 briques. Reste à trouver un produit de triplet pythagoricien égal à ce nombre...

Je trouve finalement...
609 briques pour la largeur soit 60,9 m.
1188 briques pour la longueur soit 118,8 m.
1335 briques pour la hauteur soit 133,5 m.

Posté par
mitchXIV
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 22-06-08 à 18:09

gagnébonjour,

alors si je ne me suis pas trompé,
la base fait 60,9m sur 118,8m, et la hauteur fait 133,5 m

Posté par
ThierryMasula
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 22-06-08 à 19:00

gagnéEncore Bonjour jamo, (j'avais un gros retard sur les énigmes...)

Le premier triplet pythagoricien que j'ai trouvé et qui réponde à l'énigme est (609,1188,1335).

Les dimensions de la tour auraient du être:
Largeur    =   60,9 m
Longueur = 118,8 m
Hauteur   = 133,5 m.


Le stock de briques nécessaires à la construction était réparti sur 2 planètes.

Pour la question subsidiaire: Mini-Minkus en avait marre de jouer aux cubes...

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 22-06-08 à 22:41

gagnébonjour
la tour a 133,5 mètres de haut et a une base de 118,8 mètres sur 60,9 mètres
solution unique
il y a deux dépôts
avec chaque dépôt, on peut faire une tour de 133,5 m de haut, de 60,9 m et de 59,4 m de haut; on juxtapose ensuite les deux tours par leurs côtés de 59,4 m

dans une fausse solution (400,5 m * 182,7 m * 34,56 m) le nombre de dépôts est égal à la largeur en décimètres de la tour qu'on peut faire avec chaque dépôt! (mais 66 n'est pas un nombre premier)

la planète du Petit Prince a à peu près le même volume que la tour; on pourrait démonter sa planète pour la remplacer par la tour

Posté par
torio
La tour du Petit Prince 23-06-08 à 17:25

gagnéA+
Torio

La tour du Petit Prince

Posté par
dhalte
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 24-06-08 à 22:39

gagnéBonsoir

' a=60,9 mètres, b=118,8 mètres, c=133,5 mètres, p=2 planètes servant d'entrepôt.

J'attends avec impatience de savoir quel lien il y a entre le petit prince de Saint-Exupéry et les élucubrations de mathématiciens.

' L'immeuble prévu est construit avec des cubes de 10 cm d'arête, tous superposés selon un parallélépipède rectangle de dimensions a, b, c
' valeurs a, b, c exprimées en nombre de cubes de chaque arête.
'
' Indices :
' Les cubes sont entreposés dans p endroits différents, 'p' étant un nombre premier.
' Chaque paquet est constitué de exactement E=482 930 910 = 2 * 3^5 * 5 * 7 * 11 * 29 * 89 cubes
' La hauteur c est exactement égale à la diagonale de la base : c²=a²+b²
'
' Alors (a,b,c) est un triplet de Pythagore.
' soit d=PGCD(a,b). On sait alors que (a/d) ou (b/d) est pair, l'autre étant impair.
' Choisissons b tel que b/d soit pair.
'
' Il existe alors deux entiers premiers entre eux, u et v tel que
' a=d(u²-v²)
' b=2duv
' c=d(u²+v²)
'
' Nous devons avoir abc=p*E, donc 2uv(u^4-v^4)d^3=p * 2 * 5 * 7 * 11 * 29 * 89 * 3^5
' uv(u^4-v^4)d^3=p * 5 * 7 * 11 * 29 * 89 * 3^5
'
' Pour réaliser cette équation, nous devons avoir à droite une puissance >= 3.
' Quelle que soit la valeur de p, nombre premier, rappelons-le, seul 3^5 est candidat.
' Si p=3, alors on peut prendre d^3=3^6, c'est à dire d=9
' L'équation devient : uv(u^4-v^4)=5 * 7 * 11 * 29 * 89
' On peut aussi poser d^3=3^3, c'est à dire d=3
' L'équation devient : uv(u^4-v^4)=p * 5 * 7 * 11 * 29 * 89 * 3^2
' Et pour finir, d^3=1, c'est-à-dire d=1
' L'équation devient : uv(u^4-v^4)=p * 5 * 7 * 11 * 29 * 89 * 3^5
'
' En résumé, uv(u^4-v^4) doit être divisible par 5 * 7 * 11 * 29 * 89, avec u et v premiers entre eux.
'
' Les premières solutions
'sol=1,  u=18, v=11
' d=3, a=609, b=1188, c=1335, p=2 ' IL N'Y A QUE POUR CETTE SOLUTION QUE p est un nombre premier
' d=9, a=1827, b=3564, c=4005, p=54
'-------------------------------------
'sol=2,  u=29, v=7
' d=3, a=2376, b=1218, c=2670, p=16
' d=9, a=7128, b=3654, c=8010, p=432
'-------------------------------------
'sol=3,  u=89, v=56
' d=9, a=43065, b=89712, c=99513, p=796104
'-------------------------------------
etc...

Posté par
totti1000
Le petit prince... 25-06-08 à 19:09

gagnéBonsoir, si je ne me trompe pas 2 est un nombre premier, et je trouve alors une tour aux dimensions suivantes:
-609 cubes de largeur soit 6090 cm ou encore 60,90 m.
-1188 cubes de longueur soit 11880 cm ou encore 118,80 m.
-1335 cubes de hauteur soit 13350 cm ou encore 133,50 m.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 26-06-08 à 10:02

gagnéBonjour,

Les dimensions de la tour:

Longueur: 118,8 m.
Largeur: 60,9 m.
Hauteur: 133,5 m.

Pour la question subsidiaire:

A+

Posté par
davidlab
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 27-06-08 à 07:43

gagnéIl y a 2 planètes-dépôts et les dimensions de la tour seraient de 118,8 m par 60,9 m et la hauteur, de 133,5 m.

Posté par
evariste
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 28-06-08 à 08:05

gagnébase  : 60,9 m sur 118,8 m
hauteur  :  133,5 m

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 07-07-08 à 12:26

Clôture de l'énigme

Je vais commencer par répondre à la question subsidiaire : si j'ai fais intervenir le Petit Prince dans cette énigme, c'est parce que celle-ci est fortement inspirée d'un problème inventé par Antoine de Saint-Exupery. Vous trouverez l'énoncé initial ici par exemple :
Mais attention, la solution donnée sur ce site n'est pas très bien mise en page, les nombres en exposant ne sont pas décalés vers le haut, et du coup on n'y comprend rien.
On trouve des solutions plus complètes et rigoureuses ailleurs.

J'ai modifié le nombre de briques de l'énoncé initial, car une recherche avec google sur le nombre "348 960 150" permettait de tomber facilement sur le problème et sa solution.

Il était possible de résoudre ce problème "à la main". Pour cela, il suffisait d'utiliser la forme générale d'un triplet Pythagoricien :

a = 2*k*u*v
b = k*(u²-v²)
c = k*(u²+v²)

Avec u et v premiers entre eux (donc l'un est forcément impair).

Ensuite, en comparant avec la décomposition de 482 930 910, on trouve immédiatement que k=3. Puis un petit raisonnement sur la parité de u et de v permet de conclure que le nombre de planètes servant de dépôts est égal à 2 (le seul nombre premier pair).

Pour la suite, le problème étant déjà bien simplifié, je crois qu'on peut y arriver par tâtonnement avec ce qui reste ; mais je crois aussi que d'autres raisonnement arithmétiques permettent d'éviter de trop tâtonner.

En ce qui concerne la remarque de rogerd sur la manière d'empiler les briques, c'était pour éviter que certains ne fassent des empilements de briques bizarres et compliquent le problème pour rien. On est toujours obligé de blinder les énoncés en rajoutant des explications souvent inutiles et encombrantes, mais c'est pour éviter que certains partent dans des voies bizarres qu'ils pourraient justifier par un flou dans l'énoncé.

1emeu >> j'ai un peu hésité, mais j'ai décidé de ne pas accepter ta réponse, car la question demandait les dimensions en mètres. Les réponses doivent vraiment bien respecter la question de l'énoncé, avec le maximum de rigueur, afin d'éviter des réclamations en fin de mois pour la victoire !

Posté par
1emeu
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 07-07-08 à 16:49

perdu
zut de zut ! ça m'apprendra J'ai toujours eu une vilaine tendance à ne pas lire correctement les énoncés...

Posté par
kioups
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 08-07-08 à 11:11

perduEt moi, pourquoi j'ai un poisson ?

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 08-07-08 à 11:16

kioups >> tu as donné une réponse à 10H27, et même si elle est vide, on n'a pas le droit de donner 2 réponses.

A la limite, je peux accepter si la 2ème réponse arrive 1 ou 2 minutes après, et si la 1ère a connu un problème du genre oubli de mettre une image.

Mais là, il y a 45 minutes entre les 2 réponses ...

Imaginons que quelqu'un envoie un message presque vide 2 minutes après que j'ai donné une énigme, puis prend son temps pour répondre à l'énigme. Sachant que le système de notation m'oblige à noter la 1ère réponse, alors il récoltera un smiley avec un temps trés court qui n'est pas la réalité ...

Il faut faire trés attention lorsqu'on appuie sur le bouton "POSTER" pour les énigmes. Je crois qu'il vaut mieux prendre 1 ou 2 minutes pour bien vérifier.

Désolé !

Posté par
kioups
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 08-07-08 à 16:06

perduMouais... Je l'ai bien cherché en voulant poster ma réponse rapidement, mais ça fait plusieurs fois que je me fais avoir en voulant taper "ça", je prends le tab au lieu du a et l'espace valide le message...

Théoriquement, j'aurais dû mettre mon message dans la foulée et, comme précisé dans le message, je me suis rendu compte en rédigeant ma démonstration que le problème n'était peut-être pas si impossible que ça... d'où la petite heure de décalage...

M'enfin, autant sur les erreurs d'arrondis, je comprends qu'on soit inflexible, là, sur une 3 étoiles, sachant que je suis à la rue au classement, c'est pas très sympa... Même si je comprends qu'on soit obligé de prendre le temps de la première réponse quand il y a une première réponse, dans un cas comme ça, y'aurait peut-être moyen de prendre en compte le temps de la première vraie réponse...

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 08-07-08 à 17:30

En plus, tu reconnais que tu avais posté que le problème était impossible pour ta 1ère réponse !

Non, sérieusement, il n'est pas possible d'accorder la réponse. Ce serait la porte ouverte à tous les marchandages pour avoir des smileys en donnant toutes sortes d'excuses.

Je ne sais pas si tu déjà participé au concours Kangourou. Il faut remplr une fiche avec des cases à noircir, et c'est un peu la galère car il ne faut pas déborder, pas se tromper de cases ... bref il y a toujours des candidas éliminés car la fiche est mal remplie.
Mais il est bien précisé : "remplir la fche fait partie du concours !".

Donc : "savoir se servir de son clavier fait partie des énigmes !"

Posté par
kioups
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 08-07-08 à 18:15

perduMa première réponse, c'est C, c'est pas problème impossible...

C'est la troisième fois en 1 mois que je me fais avoir avec cette validation. Pourquoi ne pas tout simplement mettre un message de confirmation d'envoi du message ou valider le message avec la touche entrée ?

Si tu ne dérapes jamais sur une touche, tant mieux mais bon...

étant donné qu'on ne peut pas modifier un message, je ne vois pas bien pourquoi ma 2ème réponse ne peut pas être acceptée étant donné que la première ne peut pas être considérée comme une réponse... Il y a parfois trop de souplesse et souvent une trop grande rigidité...

M'enfin...

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 08-07-08 à 18:18

Citation :
étant donné qu'on ne peut pas modifier un message, je ne vois pas bien pourquoi ma 2ème réponse ne peut pas être acceptée étant donné que la première ne peut pas être considérée comme une réponse... Il y a parfois trop de souplesse et souvent une trop grande rigidité...


Il est techniquement impossible d'accepter ou de refuser une réponse sur un autre message autre que le 1er.

Sinon, ne ce qui concerne la validation, il y a déjà un bouton aperçu.

Et pour les erreurs de frappe, je crois qu'il faut faire trés attention pour les énigmes, c'est la meilleure solution.

Posté par
link224
re : Enigmo 38 : La tour du Petit Prince * * * 08-07-08 à 20:46

En clair, ma touche Tab va me faire prendre un poisson sur l'énigme "Produit maximal des termes d'une somme"
Mais bon je m'en doutais...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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