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Niveau 3 *
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Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre

Posté par
jamo Moderateur
12-10-08 à 16:37

Bonjour,

voici une petite énigme qui nous a été proposée par alainf94, membre de l'ile. (je rappelle que vous pouvez tous nous envoyer par e-mail des énigmes que vous voudriez voir dans les énigmes officielles). Bien entendu, alainf94 n'a pas le droit d'y participer !
J'espère que celui-ci ne m'en voudra pas d'avoir à peine modifié l'énoncé ...


Alain et Bernard sont deux frères jumeaux qui ont participé aux JO où ils ont remportés quelques médailles en natation.
Ils veulent fêter ensemble le nouvel an d'une manière un peu spéciale.
Le 31 décembre, ils décident de mettre du champagne au frais et d'aller nager dans un bassin circulaire de 100 mètres de diamètre.
Ils partent tous deux en même temps et du même point X du bassin mais Alain nage autour du bassin (en rouge) tandis que Bernard nage le long du diamètre (en bleu).
Pendant qu'Alain tourne continuellement autour du bassin, Bernard, une fois arrivé au point Y, fais immédiatement demi-tour et retourne en X, puis à nouveau en Y, etc ...
Ils décident d'aller boire le champagne dès qu'ils se croiseront à nouveau exactement soit au point X ou au point Y.
Sachant qu'ils nagent à 6km/h et qu'ils commencent à nager à 18h, à quelle heure (et quel jour si nécessaire) trinqueront-ils ensemble ? Et n'oubliez pas de préciser si c'est en X ou en Y qu'ils se rencontreront.

Bonne course !

Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre

Posté par
littleguy
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 17:25

gagnéBonjour

Jamais.

Posté par
Eric1
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 17:31

gagnéJ'ai bien peur que le champagne reste éternellement au frais.

Pi étant irrationnel

Donc ma réponse: ils ne trinqueront jamais

Posté par
Eric1
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 17:36

gagnéJe précise que je suis pour sur le fait que celui qui propose l'énigme puisse jouer.
Cela permettrait d'encourager à envoyer des énigmes... (Et vous faciliterait peut-être la vie, à moins que vos tiroirs soient plein d'énigmes, mais j'en doute)

Posté par
Flo08
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 17:45

gagnéBonjour,

Si j'ai bien compris l'énoncé :
- Alain et Bernard nagent à la même vitesse,
- pour passer du point X au  point Y (ou inversement), Alain parcourt la distance 50 (en mètres), et Bernard parcourt 100 mètres,
- Ils cesseront de nager lorsqu'ils auront atteint exactement en même temps un des deux points X ou Y, c'est-à-dire quand Alain aura parcouru n fois la distance 50, et Bernard k fois 100 mètres, avec n et k entiers, pendant exactement la même durée.

On cherche donc deux entiers naturels n et k tels que    50n = 100k,    soit    2k/n = .
Or jusqu'à preuve du contraire,    n'est pas un nombre rationnel...
Les deux nageurs risquent donc de tomber d'épuisement bien avant de se rencontrer...     

Posté par
kioups
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 18:38

gagnéEt bien, bon courage... Ils ne se rencontreront jamais.

Bernard met 60 secondes pour parcourir le diamètre. Ainsi, il se retrouve toutes les minutes en X ou en Y.

Alain, au bout d'une minute, a également parcouru 100 m et se retrouve donc à un angle de 2 radians par rapport au départ X. Puis 4 radians, 6 radians, etc.

Pour qu'ils se retrouvent, il doit arrivé au bout d'un certain nombre de minutes à pi ou 2pi radians.

Hélas, pi étant un nombre irrationnel, ça n'arrivera jamais...

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 19:07

gagnéBonjour Jamo,

la vitesse des deux nageurs est 6km/h soit \frac{10}{6}m/s

Bernard parcourt un diamètre en \frac{100}{\frac{10}{6}}s soit 60s
pour Bernard le temps pour la rencontre est de 60k avec k entier naturel (k=0 étant le point de départ en X)
rencontre en Y si k est impair (60s, 180s, 300s, ...)
rencontre en X si k est pair (120s, 240s, 360s, ...)

Alain parcourt un demi-périmètre en \frac{50\pi}{\frac{10}{6}}s soit 30\pis
pour Alain le temps pour la rencontre est de 30k\pi avec k entier naturel (k=0 c'est le point de départ en X)
rencontre en Y si k est impair (94.2s, 282.7s, 471.2s, ...)
rencontre en X si k est pair (188.5s, 377s, 565.5s, ...)

il suffit d'égaliser les temps, avec k1 pour Bernard et k2 pour Alain

60k_1 = 30k_2\pi 2k_1 = k_2\pi \pi=\frac{2k_1}{k_2}

ce qui voudrait dire que \pi

d'où ma réponse: ils ne se rencontreront jamais ou alors à la saint Glinglin

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 20:07

gagnébonjour Jamo et Alain
ils ne trinqueront jamais ensemble
chaque fois qu'Alain a parcouru un demi-cercle, Bernard a parcouru pi/2 diamètres
il faudrait qu'Alain parcoure un nombre entier d de demi-cercles tel que d*pi/2 soit aussi un entier (qu'on désigne par e); pi serait 2e/d, soit un nombre rationnel, ce qui est faux

Posté par
torio
La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 20:35

gagnéEtant donné que le diamètre est un nombre entier et que la circonférence un nombre irrationnel,

ils ne se croiseront jamais EXACTEMENT au même moment



(Mais si on arrondit  PI  à  3,14 alors ils se rencontreront à nouveau en X à 23h et 14 s  (18h + 5h 14 sec))


A+
Torio

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 20:56

gagnéBonjour à tous,

J'ai l'impression de me planter mais bon! Je me lance :

Réponse proposée : je dirais que c'est impossible...

Merci pour l'énigme. A+

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 20:59

gagnéJe vais certainement passer à côté d'un gros piège , mais je réponds quand même!!!!
Pour moi, il faut trouver deux entiers k1 et k2, tels que 2k1+1=(k2+1/2) (rencontre en Y) ou 2k1==(k2)(rencontre en X).
Ce qui est impossible !!!
Pas de rencontre possible en X ou en Y, puisque n'est pas rationnel.

Posté par
manpower
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 12-10-08 à 21:20

gagnéBonsoir,

s'il on admet que le temps de demi-tour est nul mais surtout si le croisement doit exactement se faire en X ou Y, alors pour moi le problème est impossible.

En effet, en faisant abstraction du temps puisque les vitesses sont identiques, s'ils se croisaient en X ou Y, Alain aurait parcouru une distance de 50n tandis que Bernard aurait parcouru une distance de 100m.

On aurait ainsi 50n=100m, ce qui donnerait =2m/n avec m et n entiers. Or est irrationnel...

PS: Evidemment excel ou un programme arriveraient, avec leurs limites respectives de calculs, à trouver une valeur (très) approchée...

Merci alainf94 et jamo pour l'enigmo.

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 00:40

gagnéBonjour,

Je reprend mon raisonnement avec une valeur approchée de pi

pour k1 = 11 et k2 = 7 on a pi \frac{22}{7}

ce qui donne une (presque) rencontre au bout de 660 secondes mais avec un écart de 0,2655 secondes

ce qui ne correspond pas à l'énoncé qui demande une réponse exacte donc avec un écart de ... zéro.

ce qui est impossible puisque pi est transcendant

mais on peut s'en approcher

pour k1 = 122925461 et k2 = 78256779 on a pi \frac{245850922}{78256779}

ce qui donne un écart de (presque) zéro que j'ai pas réussi à calculer d'ailleurs.

la rencontre aurait lieu (sauf erreur) le 19 septembre 2241 à 9h41 soit au bout de 233 ans et quelques mois.

je ne pense pas considérer cette réponse comme valable, étant donné que nos deux amis seraient morts avant sinon de faim ou tout au moins de fatigue mais surement de vieillesse, et le champagne ne serait plus très frais non plus.

hum!!! j'adore ce genre d'énigme.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 10:13

gagnéBonjour,

Lorsque nos deux champions auront nagé chacun 11 km, ils seront à moins de 50 cm l'un de l'autre, au point Y. Vu la taille de nos athlètes, on peut considérer qu'ils se croisent.
A quelques secondes près, le temps de sortir de l'eau, il sera alors 19h 50mn.

                     Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre


  

Posté par
pucca
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 10:39

gagnébonjour,

Problème impossible . Ils ne peuvent jamais se rencontrer.

Posté par
1emeu
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 10:51

gagnéBonjour,

Je pense qu'il ne se rencontreront jamais.
En effet, il faut résoudre l'équation k \pi =q. Mais pi étant irrationnel, la seule solution est k=q=0.

Quelqu'un d'autre boira donc le champagne

Merci pour l'énigme,

1emeu

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 11:00

gagnésalut Jamo, en fait selon moi il y a plusieurs réponses:

déja en considérant pi irrationnel(ce qu'il est), il n'y a aucune solution, Alain et Bernard ne boiront jamais l'apéro...

Mais si on fait une approximation de pi, on trouve des réponses, très variables selon la précision de l'approximation.
j'ai considéré pi = 3,14  , donc ils se rencontreront au bout d'un temps t= 5,233 heures, soit 5h,13minutes et 59 secondes(en utilisant les arrondis), et ce sera en X: ils se rencontreront donc le 31 décembre à 23h13' et 59'':
(mais ce résultat ne vient qu'en utilisant cette approximaton de pi, ce qui me rend insatisfait...)
d'où mon inquiétude quant à la réponse: faut-il dire que pi est irrationnel, donc pas de solution, ou bien utiliser une approximation (mais la réponse varie selon la précision). Voilà, ou peut etre que je n'ai rien pigé à l'énoncé et que je me gourre, en tout cas merci pour l'énigme !

Posté par
Labo
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 11:35

gagnébonjour,

Citation :
Ils décident d'aller boire le champagne dès qu'ils se croiseront à nouveau exactement soit au point X ou au point Y.

distance parcourue par  Alain
n=nombre d'allers n
d=100*n
distance parcourue par Bernard
t=nombre de demi -tours  t
d=50**t
ils se rencontrent  si
100n=50t*
et dans ce cas =2n/t or est un irrationnel
il n'existe pas d'entiers qui vérifient cette égalité
donc ils ne se rencontreront  jamais exactement
de plus pour les sportifs le champagne n'est pas conseillé
  

Posté par
veleda
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 11:53

perdubonjour jamo
les deux nageurs font 6km/h donc 100m/mn (ce n'est pas un record olympique)
alain met doncminutes pour faire un tour de bassin
bernard met donc 2 minutes pour faire un A-R (X->Y->X)
1) la rencontre a lieu en X:alain a fait n tours complets et bernard k A-R leurs temps sont égaux on doit donc avoir
(1)n=2k soit =2k/n
2)la rencontre a lieu en Y:alain a fait un nombre impair de 1/2tours de bassin et bernard a parcouru un nombre impair de longueurs XY pendant le même temps on doit donc avoir
(2)(2p+1)/2=(2q+1)soit=2(2q+1)/(2p+1)
mon problème depuis hier est que je ne sais pas trop quelle approximation rationnelle de il faut utiliser

a)on prend =22/7
(1)=>22/7=2k/n donc k=11 etn=7 sont les plus petites valeurs possibles pour (k,n)solution les deux nageurs se retrouvent au bout de 22minutes
(2)=>22/7=2(2q+1)/(2p+1) soit11/7=(2q+1)/(2p+1) donc q=5 et p=3 les deux nageurs se rencontrent au bout de
11 minutes
la première rencontre a lieu au bout de 11 minutes,alain et bernard boiront le champagne le 31 décembre à 18h11mn

b)on prend =355/113
je trouve une rencontre au bout de 710 minutes soit 11h50mn  c'est beaucoup donc je garde la première approximation -une amélioration de l'approximation rationnelle de entraine une augmentation du temps passé dans le bassin donc repousse l'instant de la rencontre
alain et bernard trinqueront en Y à 18h11mn le 31 décembre c'est un peu tôt pour le nouvel an

merci à jamo et à l'auteur de cet énigmo

Posté par
Francois86
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 13:19

gagnéAlain tourne autour du bassin de 100m de diamètre à 6km/h, pour lui la distance X à Y est égale à (50 x Pi) mètres, qu'il parcourt en 50 x Pi x 3600 / 6000 secondes, soit (30 x Pi) secondes.
Bernard lui, va de X à Y en ligne droite, 100m à 6000m/h soit (500/3) secondes.

On cherche donc u et v deux entiers tels que u x 500/3 = v x 30 x Pi
Si de tels nombres existaient, on aurait alors Pi = (500u)/(90v) = 50u / 9v

U et v etant entiers, on aurait Pi rationnel, ce qui est faux !


Ce problème est donc impossible, j'espère qu'ils ont de bons bras !

François86 marche le long du bassin dans le sens inverse d'Alain, avec la bouteille de champagne, et la sirote à 6 cl/minute. Chaque gorgée représente 1cl, et il parcourt 1m par gorgée bue. Sachant qu'une bouteille de champagne contient 75cl, que Francois86 part d'Y, quelle distance aura nagé Bernard quand Francois86 sera à 10mètres d'Alain à 10cm près ? combien restera-t-il de champagne dans la bouteille ? A-t-il bu avec modération ? Où seront Alain et Bernard quand la bouteille sera vide ?

Posté par
Tolokoban
Ils risquent de se noyer 13-10-08 à 13:33

gagnéIls ne se rencontreront plus jamais. On n'a qu'à garder la bouteille !

S'il se rencontraient, Alain aurait alors parcouru une distance a et bernard une distance b en étant allés à la même vitesse. Or comme d = v.t, on en déduit qu'ils doivent avoir parcouru la même distance.

On aurait alors b = 100*k (en mètres) et a = 50*PI*k'.
Or, il est impossible que la multiplication d'un entier par PI donne un résultat entier.
Au passage, je ne sais pas comment démontrer ce dernier point; Si quelqu'un peut me donner la démo...

Posté par
bloom
R.. La course de la Saint-Sylvestre 13-10-08 à 23:22

perduSOIT P=3,14
31400/6=  5233.3333h= 218.05556 jours
ils se croiseront à nouveau exactemen apres 218 jours au point X à 18h:03m:20s

Posté par
totti1000
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 14-10-08 à 17:08

gagnéBonjour Jamo,
alors, supposons que les deux frères se croisent en X ou Y. Etant donné qu'il nagent à la meme vitesse, lorsqu'ils se croiseront (s'ils se croisent) ils auront parcourus la meme distance.
En remarquant que le demi arc de cerle mesure 50 mètres,
On aura donc : k,k'* tel que k.50=100k' ou encore k'/k=/2.
Ce qui est impossible, étant un irrationnel, il ne peut s'écrire sous la forme p/q où p et q sont des entiers non nuls...
On en déduit qu'ils ne se croiseront jamais en X ou Y exactement...

Posté par
marcodab
jamais 14-10-08 à 18:40

gagnésupposons que alain et bernard se rencontrent
alain a parcouru N fois le diamètre et bernard N' fois le demi tour du cercle.
leur vitesse étant équivalente leur distance parcouru l'est elle aussi.
soit 2N'=N
donc est rationnel

ce qui est faux (cf. explication de bas de page sur http://www.mcs.csuhayward.edu/~malek/Mathlinks/Pi.html)

par l'absurde le champagne restera au frais

Posté par
rogerd
Saint Sylvestre 15-10-08 à 11:33

gagnéRebonjour Jamo.

Je pense qu'il faut faire abstraction des contingences qui ne peuvent être respectées (impossibilité par exemple du démarrage simultané des nageurs exactement au même endroit) et qu'il faut voir l'énigme comme un exercice théorique.
Quand les nageurs se rencontreront, que ce soit  en X ou en Y, Bernard aura parcouru un nombre entier k1 de fois le diamètre et Alain aura parcouru un nombre entier k2 de fois le demi-cercle. Comme ils vont à la même vitesse, les distances parcourues sont les mêmes.
J'en déduis la relation 100k1=50k2. Cette relation permettrait d'écrire comme quotient de deux entiers, ce qui est impossible.

Le problème n'a donc pas de solution.

J'ai l'intuition qu'il y a un piège et que je suis tombé en plein dedans...

Posté par
friday
dommage pour le champagne... 15-10-08 à 12:02

gagnéSachant que les 2 frères nagent a 6km/h et que le bassin fait 100m de diametre, Bernard a besoin d'une minute pour aller de x à y. Pour retrouver Alain en x ou y, il va mettre m minutes (m nombre entier)
la distance parcourue par Alain est de 50xPi pour aller de x à y. le temps qu'il met pour y aller est d/v soit Pi/2 minutes.
Alain va faire ce trajet autant de fois qu'il faut pour retrouver Bernard en x ou y, donc il va mettre n.Pi/2 minutes(avec n un nombre entier).

Ainsi:
m=n.Pi/2
2 x m/n= Pi

Mais Pi est un nombre irrationnel, il ne peut pas être la division de 2 entiers...
ils vont donc se noyer et le champagne va rester au frigo !! dommage !!

Posté par
jandri Correcteur
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 15-10-08 à 12:30

perduMathématiquement parlant ils ne peuvent pas se rencontrer (sinon Pi serait un nombre rationnel!).
Pratiquement il vont se rencontrer quand Bernard aura parcouru 355 diamètres, soit 35,5 km (il sera en Y). Alain aura parcouru la même distance et aura fait pratiquement 113 demi-circonférences (la différence (35,5-11,3Pi) km vaut 3 mm); il sera aussi en Y. Ils se rencontreront donc à 23h55 le même jour.

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 15-10-08 à 15:14

gagnéBonjour !

Si l'on considère qu'Alain et Bernard doivent en X et en Y arriver exactement en même temps, ce problème est pour moi impossible.

On peut définir deux suites (An) et (Bn) qui représentent les distances parcourues respectivement par Alain et Bernard lorsqu'ils arrivent en X ou en Y (en X si n est pair, en Y si n est impair).

Ainsi An = 50n pour tour n
Et Bn = 100n pour tout n

Comme Alain et Bernard nage à même vitesse constante (6 km/h) le problème revient a trouver deux entiers n et m tels que 50n = 100m.
                                   = \frac{100m}{50n} = \frac{m}{2n}

Ce qui est impossible puisque est irrationnel.

Posté par
piepalm
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 15-10-08 à 16:17

gagnéSi l'on considère les nageurs comme des points, ils ne se rencontreront jamais puisque pi n'est pas rationnel.
En réalité, ces beaux bébés ont une longueur de plus de 2m bras tendus, et au bout de 3 tours et demi (11mn environ), Alain arrivera en Y avant que Bernard ait terminé son demi-tour, puisque 1,1-3,5*0,1*pi=0,00044...

Posté par
Poldenys
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 16-10-08 à 15:14

gagnéEnigmo 65

Les 2 frères ne tomberont jamais ensemble aux points X ou Y car il faudait pour cela
que le rapport des longueurs de leurs parcours soit un nombre rationnel , ce qui n'est
pas le cas puisque ce rapport est nombre transcendant et irrationnel
(vitesse et heure de départ identiques par ailleurs .)

Posté par
franz
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 16-10-08 à 21:25

perduEn partant du principe que la précision des chronomètres est le centième de seconde et que les nageurs ne se gênent pas lors de croisement tels celui de 18h11 où ils sont distants de 44cm (ce qui donne 0,26 s d'écart), ils se retrouvent dans le même centième en X après 710 min soit le 1° janvier à 5h50.

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 17-10-08 à 09:33

perduBonjour jamo,

Alain et Bernard se rejoignent le jour de la Saint Sylvestre au point X après avoir parcouru 31400m à 23h14mn.

Posté par
UncleAlbert
Reponse a Enigmo 65 18-10-08 à 00:04

perdu18H11 en Y

Posté par
a-b
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 18-10-08 à 17:23

gagnébon jour
impossible parceque il nya pas de point commun entre des periode de pi et des entier naturel

Posté par
Nyavlys
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 19-10-08 à 13:11

gagnéproblème impossible.

On cherche le temps T au bout duquel Alain et Bernard se rencontreront.

T = d(Alain) / v = d(Bernard) / v.

Comme ils nagent à vitesse égale,
d(alain) = d(bernard)

Soient n et m le nombre de demi-cercle parcourus respectivement par Alain et Bernard :

d(alain) = n * * 100
d(alain) = m * 100

On cherche donc deux entiers n et m tq : n = m
Or ne s'écrit pas sous forme de fraction.
Donc le champagne sera bien bien frais lorsqu'ils se rendront compte que leurs efforts sont vains!

Posté par
MANNA
challange encours (enigme) 19-10-08 à 13:36

perdu    *  Alain doit parcourir 100 tours du basin alors que Bernard Doit parcourir la distance XY 314 fois (157 fois allée/retour). Ils doivent se rencontrer au point de départ X.
    * Si le départ est à 18 h, Ils doivent se rencontrer à 23 h 14 min (de la même journé).

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 19-10-08 à 13:54

gagnéPour moi, ce n'est pas possible, le nombre Pi étant irrationnel

Posté par
sanantonio312
Ils vont mourir de soif 20-10-08 à 10:14

gagné est transcendant donc irrationnel.
Or on cherche m et n tels que 100.n=100m.
Soit =n/m.
Ils vont crever de soif. Un bon geste, on leur amène un peu de jaune à mélanger dans la piscine.

Posté par
lo5707
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 21-10-08 à 11:21

gagnéBonjour,

Loin d'être sûr de ma réponse, je propose:

Ils ne trinqueront jamais ensemble

Alain fait un trajet de 100 m
Bernard fait un trajet de 200m

Pour qu'ils se rencontrent, il faudrait trouver un multiple entier de 200 qui soit un multiple entier de 100
Ce qui est impossible étant donné l'irrationalité de


Merci pour l'énigme.

Posté par
Djinn
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 21-10-08 à 20:26

gagnéIl n'y a pas de solution à cause de l'irrationnalité du nombre pi.

Démonstration.

Si on note d1 la distance parcourue en ligne droite de X à Y on obtient d1 = 100.
Si on note d2 la distance parcourue le long de l'arc de cercle de X à Y on obtient d2 = 50.

La recherche de la solution équivaut à trouver et entiers non-nuls tels que

d1 = d2

c'est à dire

100 = 50

soit

= 2/ qui n'a aucune solution car est irrationnel.

Posté par
Judeau
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 21-10-08 à 20:37

perduBonjour,

Ils se rencontreront au point X le lendemain à 5h50.

Merci pour l'énigme.

Posté par
EmAlPa
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 21-10-08 à 21:18

gagnéIls ne boiront jamais le champagne car
pour le bleu : la position X correspond à un multiple pair de 100
et Y a un multiple impair de 100

pour le rouge : la position X correspond a un multiple pair de PI
et Y a un multiple impair de PI.

Et il est impossible que nPI=100n' avec n et n' des entiers positifs de même parité car PI n'est pas un entier!!

Posté par
FitzChevalerie23
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 21-10-08 à 21:36

perduBonsoir !
Je dirai que Alain et Bernard trinqueront à 18 heures 50, en X !
3000 étant le plus petit multiple commun de 30 ( le temps pour faire l'arc XY ) et 100/ ( le temps pour faire le diamètre XY )...

Merci pour cette énigme !
A bientôt !
FitzChevalerie23

Posté par
FitzChevalerie23
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 21-10-08 à 21:39

perduOups !
Rectification : Le temps pour parcourir le diamètre XY est de (100/)/(6000/3600) et non de 100/...
Bonne continuation !

Posté par
Corrhan
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 22-10-08 à 14:56

gagnéBonjour à tous.

Je crois qu'il existe deux réponses possibles à cette énigme. Je m'expliquerais après avoir posé les différents éléments de l'énnoncé :

Nous savons que :
Alain parcours le diamètre D.
Bernard parcours le périmètre P.
Il vont tout les deux à la même vitesse.

Dire qu'Alain rencontre Bernard en un point X ou Y c'est dire qu'après avoir parcourus k fois le diamètre Alain rencontrera Bernard après que celui ci ai parcouru n fois le demi périmètre.

En équation cela donne :

F(k) = D x k F(k) = 100k
F(n) = (P/2) x n F(n) = 50n

Il faut donc déterminer k et n tel que F(k) = F(n)

Alors 100k = 50n

C'est ici que j'en reviens à ma première remarque :

Dans tout les cas nous devons avoir obligatoirement k et n positif et entier(dans le cas contraire on ne pourrait pas se trouver sur les points X ou Y).

Ceci implique donc que F(k) et F(n) sont des entiers positifs.

Or dans F(n) nous avons le terme qui, nous le savons tous, possède une infinité de chiffre après la virgule. F(n) ne pourra être un entier que si et seulement si n est un multiple de 100 (pour respecter l'égalité précédente) et que nous ayons le droit d'arrondir .

En effet si nous prenons comme exemple arrondi à 10-2.
Prenons n un multiple de 100 tel que n = 200.
on à alors F(n) = 50 x 3,14 x 200 = 31400
F(n) correspond à la distance que doit parcourir Alain pour être sûr qu'il croisera Bernard.
Comme F(n) = F(k) on en déduit k = 314.
De plus k et n étant pairs on peut ajouter qu'ils se croiseront en X (pour une valeur impaire le point de rencontre aurai été Y, pour une valeur paire pour l'un et impaire pour l'autre, ils ne se rencontrent pas).

Il existe une infinité de solutions. Toutes dépendantes de l'arrondi du nombre .

Dans l'énnoncé, rien ne nous précise qu'il n'est pas possible de tenir ce raisonnement, plus vulgairement on ne sait pas si on considéres ces deux nageurs comme étant des points, qui dans ce cas nous obligerais à prendre dans sa globalité, ou si on les considère comme des hommes avec une taille (qui nous permettrais de négliger les chiffres après la virgule).

En conclusion si dans le cas où ces messieurs sont des points dans l'eau, il ne pourront jamais se rencontrer. Dans l'autre cas, il existe une infinité de solution.


PS: j'ai l'impréssion d'avoir démontré une proprité de ^^ mais comme ca remonte à loin ca fait pas de mal de replancher dessus



Posté par
shrodinger
rep 22-10-08 à 20:39

gagnébien essayé. Ils ne se rencontreront jamais!

Posté par
dpi
AH CE MAUDIT PI 23-10-08 à 20:02

gagnéIl est évident que pi étant irrationnel les réponses ne peuvent qu'être approchées ,mais après tout dans une piscine à quelques millimètres près...
Au bout du 21ème demi tour de cercle pour Alain et du 55 ème pour Bernard il peuvent se serrer la main au point y il sera  18h 55
Si on veut affiner il faudrait savoir combien de décimales on veut accepter mais dans tous les cas il n'y aura jamais coïncidence exacte

Posté par
jw_dagon
RE : Enigmo 65 23-10-08 à 20:57

gagnéBonjour,

Ma réponse : problème impossible

Petite démonstration:
Supposons que les deux frères se rencontrent à nouveau
(que cela soit en X ou en Y n'a pas d'importance)
Alain a nagé un nombre entier de demi-tours (appelons-le a)
il a donc parcouru une distance de a*50*
Bernard a nagé nombre entier de diamètres (appelons-le b)
il a donc parcouru une distance de b*100
Comme ils nagent à la même vitesse, les frères se rencontrent
lorsqu'ils ont parcouru la même distance.
On en déduit a*50*=b*100 donc =2b/a
On exprime ainsi sous la forme d'un nombre rationnel
d'où la contradiction.

Merci pour l'énigme.

Posté par
dpi
j'ai fourché 23-10-08 à 21:16

gagnéMa prose reste la même,mais je veux rectifier ma solution:
Dès le 7 ème demi tour de cercle d'Alain il peut frôler Bernard au point y de son 11 ème A/r.
Si on veut mieux il faut attendre 5 h 50 m le lendemain pour qu'au point X Alain boucle son 452 ème demi cercle en "même" temps que Bernard bouclera son 710 ème A/R les deux malheureux auront nagé
71 KM!

Posté par
jugo
re : Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre 26-10-08 à 02:50

gagnéBonjour,

Alain et Bernard ont décidé de fêter le nouvel an de manière un peu irrationnelle, et ils risquent bien de s'épuiser avant de pouvoir boire leur champagne !

Pendant qu'Alain parcourt une distance de ∏R, Bernard en parcourt une de 2R.
Il faudrait donc trouver des entiers a et b tels que a.∏R = b.2R, soit ∏= 2b/a.

Problème impossible, donc ...

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