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Niveau 3 *
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Enigmo 76 : A la recherche d'impair

Posté par
jamo Moderateur
07-12-08 à 19:22

Bonjour,

Bon, je sais que ce n'est pas bien de dévoiler la fin d'un film ... mais c'est à ce moment-là qu'il apprend que c'est son père ! (désolé, je manquais d'inspiration pour une image qui aille avec le titre)

Voilà le problème du jour.

Je prends 10 entiers consécutifs, par exemple de 3 à 12, et je les multiplie entre eux :

3 \times 4 \times 5 \times ... \times 11 \times 12 = 239500800

Je trouve que le premier chiffre non-nul par la droite est un 8, qui est pair.

Recommençons avec une autre suite, par exemple de 22 à 31 :

22 \times 23 \times 24 \times ... \times 30 \times 31 = 160945136352000

Le premier chiffre non-nul par la droite est un 2 : encore pair.

J'ai recommencé cette expérience avec pas mal de nombres entiers, et je trouve toujours que le premier chiffre non-nul à droite est pair.

Question : trouver la suite de 10 entiers positifs consécutifs les plus petits possibles, de telle sorte que le premier chiffre non-nul par la droite soit impair.

Si vous pensez qu'on trouve toujours un chiffre pair, alors oser le dire !

Et si vous avez une explication ou démonstration pour justifier votre réponse, ne vous privez pas de nous la faire connaitre (mais cela est facultatif).

Bonne recherche !

Enigmo 76 : A la recherche d\'impair

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 19:50

perduBonjour à tous,

Je croyais que c'était sa soeur...?!? Enfin bref.

Je trouve : 51*52*53*54*55*56*57*58*59 = 273589847231501000

Merci pour l'énigme. A+

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 19:51

perduOups j'ai oublié *60

Posté par
1emeu
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 20:19

gagnéBonsoir,

voici ma proposition :
78117,78118,78119,78120,78121,78122,78123,78124,78125,78126.

Merci pour l'énigme

1emeu

Posté par
lo5707
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 20:37

perduBonjour,

J'ose dire que le problème est impossible.
On trouvera toujours un chiffre pair.


Merci pour l'énigme.

Posté par
boby6
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 20:55

perduOn obtiendras toujours un chiffre pair !

Explication :
Parmi les 10 nombres consécutifs, on trouveras nécessairement : un multiple de 2, de 3, de 4, .... de 10.
Il en résulte que leur produit sera nécessairement un multiple du produit de 2, 3, 4, ..., 10 c'est-à-dire un multiple de 3628800.
Ainsi, le produit sera de la forme 3628800*k avec k entier;
Il suffit maintenant de s'attarder sur la table de 8 pour trouver le dernier chiffre non nul (dcnn).
Si k finit par 1, le dcnn sera 8.(1*8=8)
Si k finit par 2, le dcnn sera 6.(2*8=16)
Si k finit par 3, le dcnn sera 4.(3*8=24)
Si k finit par 4, le dcnn sera 2.(4*8=32)
Si k finit par 6, le dcnn sera 8.(6*8=48)
Si k finit par 7, le dcnn sera 6.(7*8=56)
Si k finit par 8, le dcnn sera 4.(8*8=64)
Si k finit par 9, le dcnn sera 2.(9*8=72)

Il reste alors deux cas :
Si k finit par 0, il faut s'intéresser à l'avant dernier chiffre de k, et on se retrouve dans les cas précédents.
Si k finit par 5, on s'intéresse à l'avant dernier chiffre noté n de k, et le dcnn sera alors la somme de 4 (5*8=40) et du dcnn obtenu dans les cas précédents en remplaçant k par n ! Dans tous les cas, cette somme sera paire......

Voilà, je suis pas sûr d'avoir été clair et rigoureux, mais c'est ma réponse !

Posté par
Francois86
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 21:22

perduParmi 10 nombres consécutifs, il y a toujours 5 pairs et 2 multiples de 5.
Parmi les pairs y'en a qui sont multiple de 4, de 6 et de 8...

Donc la décomposition en facteurs premiers du gros nombre n(n+1)(n+2)...(n+9) utilise beaucoup de puissances de 2, et peu de puissances de 5.
Il faut qu'il y ait autant de puissances de 5 que de puissance de 2, ce qui correspondra aux 0 à la fin du nombre, et s'il ne reste plus de puissance de 2 disponible, le chiffre d'avant sera impair.
Il faut donc essayer les puissances de 5.

Le plus petit n possible répondant à la question est 15625 = 5^6
le produit est : 869862832804313000000000000000000000000000
Avec un "3" comme premier chiffre non nul en partant de la droite.

Posté par
matovitch
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 21:25

perduBonjour à tous !

Il me semble que cette énigme n'a pas de solution, car le nombre obtenu est divisible par 5²*25=800.

MV

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 21:37

perduBonjour Jamo,

le dernier chiffre non-nul est toujours un chiffre pair

la suite est un multiple de 25.33.52.7 = 151200

facile à prouver
si n est pair, n+2 l'est aussi ainsi que n+4,n+6,n+8
si n+1 est pair, n+3 l'est aussi ainsi que n+5,n+7,n+9

si n est divisible par 3, n+3,n+6,n+9 l'est aussi
si n+1 est divisible par 3, n+4,n+7 l'est aussi
si n+2 est divisible par 3, n+5,n+8 l'est aussi

etc..

le dernier chiffre non-nul ne peut être que 2,4,6,8

note: si n est le premier entier: \rm S = \frac{(n+9)!}{(n-1)!}

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 22:27

gagnéChaque groupe de 10 nombres consécutifs comporte a minima : 3 multiples de 2, 2 multiples de 4 et 1 multiple de 8. Leur produit est donc multiple de 28 a minima.
Chaque groupe de 10 nombres consécutifs comporte a minima : 2 multiples de 5. Pour annuler les 2 précédents par des 0, la suite doit être multiple de 58, soit 5 et 57=78125.
Il suffit de trouver une suite de 10 nombres englobant 78125 avec 3 multiples de 2, 2 multiples de 4 et 1 multiple de 8.
La suite de nombre 78117-78118-78119-...-78126 vérfie cette propriété et les nombres la constituant sont les plus petits possibles (du moins je crois).

Posté par
canto the king
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 07-12-08 à 22:36

perdu51\times52\times53\times54\times55\times56\times57\times58\times59\times60=273589847231501000

Posté par
rogerd
né d'impair inconnu 08-12-08 à 00:16

gagnéBonsoir Jamo!
Merci pour cette énigme qu'on doit pouvoir résoudre par le raisonnement.
Pressé d'aller au dodo, j'ai préféré faire cela avec un petit programme maple.
Mais, c'est promis, dès demain je me mets à chercher une solution "raisonnée".
Pour l'instant, mon programme trouve que

le plus petit nombre demandé est 78117

Le produit des entiers de 78117 à 78126 se termine par un 9 suivi de huit zéros.

Posté par
Youpi
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 01:14

perdula suite de 10 entiers positifs consécutifs les plus petits possibles, de telle sorte que le premier chiffre non-nul par la droite soit impair est:
51*52*53*54*55*56*57*58*59*60=273589847231501000

J'hésite car il y a 3 étoiles et je vois pas trop la difficulté (résolu en quelques secondes avec Excel)...encore un poisson en perspective ???

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 09:51

perduSalut jamo,

on ne trouve que des pairs selon moi

Posté par
Nyavlys
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 11:17

perduProblème impossible !
J'en suis convaincu mais incapable de le justifier

Posté par
link224
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 11:18

perduSalut jamo!

Alors le premier chiffre non nul en partant de la droite sera toujours pair (on peut en effet écrire la multiplication comme le produit de 100 (10x2x5) par un nombre pair (produit de 5 ou 6 facteurs impairs par 3 ou 4 facteurs pairs)).

@+ et merci pour l'énigme

Posté par
gloubi
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 14:33

perduBonjour,

Le produit de 10 entiers consécutifs est multiple de 10! (3 628 800),

Posté par
gloubi
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 14:40

perduZut, trompé de bouton.

Juste pour dire que le dernier chiffre non nul du produit de 10 nombres consécutifs est toujours pair.

gloubi.

Mais je n'en suis pas sûr du tout. J'étais loin de m' apprêter à poster !

Posté par
rogerd
impair (mais habilité) 08-12-08 à 16:46

gagnéBonjour à toutes et à tous.

En essayant d'oublier la solution obtenue par programmation, j'ai trouvé ce qui suit:

Dans une suite de 10 entiers consécutifs, il y a au moins un multiple de 8 et encore un autre multiple de 4 et encore trois multiples de 2.
Le produit N de ces 10 nombres est donc divisible par 2^8. Si ce produit est  divisible par 10^q avec q<8, il est aussi divisible par 2.10^q. Le q+1 eme chiffre à partir de la droite est donc pair . S'il est non nul, c.a.d. si N n'est pas divisible par 10^(q+1), ce nombre N ne nous intéresse pas.

Nous ne nous intéressons donc qu'aux suites telles que leur produit N soit divisible par 10^8.

Une telle suite contient deux multiples de 5. Si celui où 5 figure avec l'exposant maximal est de la forme b.5^q avec b non multiple de 5, l'autre est de la forme b.5^q + ou -5. Il n'est pas divisible par 25. L'autre doit donc être de la forme b.5^q avec q>=7.

La suite doit donc contenir un terme de la forme b.5^7=b.78125.

On cherche celle qui commence par le nombre le plus petit possible. On ne peut espérer mieux que celle qui commence par 1.78125-9 = 78116. Malheureusement, cette suite contient trois multiples de 4 et donne donc un produit divisible par 2^9.

On se rabat donc sur la suite commençant par 1.78125-8=78117 et
CELLE - CI CONVIENT.

Posté par
Eric1
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 17:24

perduallons, il n'existe pas de suites avec un chiffre impair en dernier

Posté par
totti1000
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 17:50

gagnéBonjour Jamo, merci pour cette énigme,
je propose :
78117*78118*78119*78120*78121*78122*78123*78124*78125*78126
=8466535472635609758623586533222693974221900000000

Posté par
Rodrigo
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 18:18

perduBonjour
il suffit de prendre un premier n qui ait une valuation 5 adique enorme.
Par exemple si tu prends n=5^{11}, alors le produit des n+i de i=0 a 9 se termine par 5 suivi de 10 zeros.

Posté par
Rodrigo
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 18:27

perduPeut etre devrais je un peu expliciter pourquoi un tel choix. il est assez facile de se rendre compte que la question revient a se demander si l'on peut dans le produit de 10 entiers consécutifs avoir une valuation 5-adique strictement superieure a une valuation dyadique. Donc on veut une tres grosse valuation 5-adique et un petit dyadique pour avoir un contre exemple la valuation dyaidqe vient du fait qu'il y aura 5 pairs parmi dix entiers onsecutif. Donc une valuation d'au moins 5. Si n est assez grand on peut esperer pas beaucoup plus que 5 (parce que si n eest grand alors our augmenter la valuation dyadique de n il faut passer de 2^k a 2^{k+1} et pour n grand donc 2^k grand...ben en ajoutant juste i pour i<10 on ne rencontrera qu'un seul des 2^k et 2^k+1 voir meme aucun). Par contre il n'y a que deux termes qui apportnent du 5 addique. Mais on peut en prendre un avec une valuation enorme... D'ou le choix de grosse puissance de 5 pour n

Posté par
jandri Correcteur
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 18:46

gagnéLa plus petite suite qui convient est formée des entiers de 78117 à 78126.

Voici une démonstration:
on recherche le plus petit n tel que f(n)=n(n+1)...(n+9) s'écrive 10a(2b+1), c'est-à-dire v2(f(n)) v5(f(n)) en notant vp(n) l'exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers.
f(n) est divisible par 28 car entre n et n+9 il y a 5 nombres pairs, au moins deux multiples de 4 et un multiple de 8.
f(n) doit donc être divisible par 58, donc l'un dix des entiers doit être divisible par 57.
La première valeur de n à essayer est donc n=57-9; elle ne convient pas car f(n) est alors divisible par 29 (4 divise n, n+4 et n+8).
La suivante n=57-8=78117 convient: f(n)=8466535472635609758623586533222693974221900000000.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 19:11

gagnébonjour Jamo
78117 * 78118 * 781119 * 78120 * 78121 * 78122 * 78123 * 78124 * 78125 * 78126
dans le produit, il doit y avoir autant de facteurs 5 que de facteurs 2
dans un produit de 10 nombres consécutifs, il y a au moins huit facteurs 2, (un nombre divisible par 8, un autre divisible par 4, trois autres divisibles par 2); il y en a huit exactement, si le premier ni le dernier nombre pair de la liste n'est divisible par 4 et si aucun nombre n'est divisible par 16
il y a deux nombres divisible par 5, dont au moins un n'est pas divisible par 25; la solution doit donc comprendre un nombre au moins divisible par 5 exposant 7
ma solution répond à ces exigences

j'estime que ce problème devrait céder sa troisième étoile à une des énigmes précédentes (celle des âges ou celle du 'pacman')

en Belgique, on ne comprendrait pas le jeu de mots; nous distinguons correctement les prononciations de 'in' et de 'un'

Posté par
ludobm
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 08-12-08 à 23:26

perduon trouve toujours des chiffres pairs

Posté par
veleda
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 09-12-08 à 16:26

perdubonjour jamo
je pose p_n=(n+1)(n+2)......(n+10) on a donc p_n=\frac{(n+10)!}{n!}=10!C_{n+10}^{10}
p_n est donc divisible par 10! soit par3 628 800=2^8.3^4.5^2.7
on cherche  (s'il existe )le plus petit entier n tel que p_n=10^pA_navecA_n nombre impair
on doit donc avoirp_n=2^8.3^4.5^2.7.k=10^p.A_n avec A_nimpair
on en déduit
a) p8
b)l'exposant de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de p_n doit être à celui de 2 donc à 8
dans une suite de dix entiers consécutifs il y a deux multiples de 5 l'un se termine par O et l'autre par 5 donc l'un est de la forme m5^ret l'autre 5(m5^{r-1}1)donc la puissance de 5 dans la décomposition    de p_nen facteurs premiers est( sauf cas
particuliers avec r=1) 5^{r+1}
aprés avoir éliminé 5^7 et 5^8il me semble que la suite suivante qui contient 5^9convient
(5^9-4)(5^9-3)(5^9-2)(5^9-1)(5^9)(5^9+1)(5^9+2)(5^9+3)(5^9+4)(5^9+5)=10^8.3^4.5^2.7.Xavec X impair donc A_{5^9-5}=3^4.5^2.7.Xest bien impair
si ce n'est pas" la plus petite"ce n'est pas grave c'est avec plaisir que j'ai cherché cet exercice
merci

Posté par
torio
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 09-12-08 à 17:17

gagnéLes nombres :
1)    78117
2)    78118
3)    78119
4)    78120
5)    78121
6)    78122
7)    78123
8)    78124
9)    78125
10)   78126

Pour un produit :

8466535472635609758623586533222693974221900000000





Justification :

Sur 10 nombres consécutifs, il y en a 5 qui sont pairs.
parmi ceux-ci au moins deux multiples de 4
et parmi ces derniers au moins un multiple de 8.

ce qui amène au minimum 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8 puissances de deux dans la décomposition
du résultat final.
il faut alors trouver 8 puissances de 5 qui vont absorber ces facteurs 2.
(Absorber = transformer en ZERO)

5^7 = 78125
et l'autre multiple de 5 (78120)  amènent ces puissances.

Posté par
dpi
vive le décimal 10-12-08 à 14:22

perduNous ferons simplement une constatation qu'une suite de dix nombres entiers se termine par tous les chiffres de  1 à 9 plus un  0.
on constate aussi que 4 x 5 donnera toujours un 0 et que la multiplication des derniers autre chiffres peut se décomposer en 2 x3 =6 6x7=42 8x9 =72 donc nous aurons en derniers chiffres au moins 00 mais juste avant nous retrouverons toujours les derniers chiffres des multiplication (autres que par 0, 4 ou 5) qui ne sont jamais impairs puisque il y aura en multiplicateur 2 6 et 8

Posté par
Corrhan
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 10-12-08 à 15:50

perduSoit X le résultat de la multiplication des 10 nombres de la suite.
Soit N le premier nombre de cette suite.

X s'exprime avec 10 ensembles fonction de N tel que:

X = N x (N+1) x (N+2) x (N+3) x (N+4) x (N+5) x (N+6) x (N+7) x (N+8) x (N+9)

De cette manière, il y'a toujours au moins un ensemble Pair.

Donc si un ensemble est pair alors le résultat X sera pair.

Il n'existe donc pas de suite de 10 entiers consécutifs tel que X soit impair.

Posté par
n0un0urs_76
pas possible 10-12-08 à 21:43

perduil y aura toujours un chiffre pair en premier. =P . J'ai oser .

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 11-12-08 à 17:19

perduBonjour Jamo,

J'avais expliqué dans mon message précédent que Sn était un multiple de 151200

c'est vrai Sn est bien un multiple de 151200, je peux même dire que c'est un multiple de 3628800 donc de S1:
   Sn = S1*k

mais ça ne prouve rien, on peut très bien se retrouver avec un nombre impair:
   151200 * 125 = 18900000
   3628800 * 15625 = 5670000000

ce qui gêne ce sont les zéros de la fin, faudrait pouvoir les enlever
or on connait ce nombre de zéros, il est lié à la puissance de 5 dans la décomposition en facteur:

  151200 = 25*33*52*71
il y a 2 zéros à la fin parce que la puissance de 5 est 2
et 22*52 = 100, ce sont les deux zéros de la fin
il reste 151200/100 = 23*33*71 = 1512

  3628800 = 28*34*52*71
il y a 2 zéros à la fin parce que la puissance de 5 est 2
et 22*52 = 100, ce sont les deux zéros de la fin
il reste 3628800/100 = 26*33*71 = 36288

il faut autant de 2 que de 5 pour faire les zéros à la fin
comme il y a plus de 2 que de 5, il restera toujours des 2, même après avoir enlevé les zéros de la fin.
donc Sn éliminé des zéros de la fin sera toujours un nombre pair.

exemple:
S285 = 4133061898279540632806400
S285 = 210*35*52*73*11*13*172*19*29*41*73*97*293
S285/100 = 28*35*73*11*13*172*19*29*41*73*97*293
S285/100 est bien un multiple de 2
et ce sera vrai pour tous les Sn

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 11-12-08 à 18:43

perdu"il y a plus de 2 que de 5"

je voulais le prouver de façon plus rigoureuse

c'est fait:

S390625:
= 390625×390626×390627×390628×390629×390630×390631×390632×390633×390634
= 82727590847600438131421503402203857016720058735500000000

Bonjour le poisson !

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 12-12-08 à 10:14

perduBonjour,
J'ose le dire: à mon avis, le résultat est toujours pair.
Je le sens comme ça, mais suis bien en peine pour le montrer.

Posté par
Nokturnus
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 12-12-08 à 21:58

perduBonsoir, la plus petite suite que je trouve est la suivante:

51*52*53*54*55*56*57*58*59*60 = 273589847231501000

Posté par
evariste
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 13-12-08 à 08:26

gagné78 117 à 78 126
Le produit des 10 nombres se termine par 9 suivi de 8 zéros.

Posté par
lexou1729
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 13-12-08 à 11:34

perduBONJOUR,

51525354555657585960 = 27 358 984 723 150 100

Ce qui semble répondre à la question ...

Posté par
Kayus
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 13-12-08 à 15:06

gagnékikoulolptdr

alors si le nombre se finit par plein de zéro c'est que sa forme factorisée est du type
2a x 5a x p avec p un produit de nombres premiers autres que 2 et 5
si on multiplie des nombres impairs entre eux, on obtient des nombres impairs donc p est impair (puisque tout les nombres premiers autres que 2 sont impairs)

(ce qui suit est tres difficile a expliquer)
il faut donc trouver une suite de 10 nombres consécutifs dont la somme des exposant sur le nombre premier 2 de leur formes factorisées respectives soit egale a la somme de leurs exposants sur le nombre premier 5 de leurs forme factorisée.

en regardant un peu les valeurs des exposants sur le nb premier 2 de chiffres consécutifs, on remarque que la plus petite valeur d'exposant totale pour un produit de nombre consécutif est 8
(mieux explicité : tout produit de 10 nombres consécutifs (entier relatifs non nuls) est divisible par 28)

donc il faut que le 5 ait pour exposant 8
parmis les 10 nombres consécutifs, on trouve forcément deux nombres divisible par 5
anticipons et pensons logiquement : la suite de nombre doit donc contenir un nombre divisible par 57, et le plus petit est 57 (57 = 78125)

dans la suite l'autre nombre divisible par 5 que l'on pourra rencontré sera divisible par 5 puissance 1 et avec aucun autre exposant : 57-5 ou 57+5 ne seront divisible que par 5

on établi donc une sorte de diagrame des valeurs entourant 5 puissance 7 et observé leurs valeurs en exposant de 2

78116 : 22
78117 : 20
78118 : 21
78119 : 20
78120 : 23
78121 : 20
78122 : 21
78123 : 20
78124 : 22
78125 : 20       => 57
78126 : 21
78127 : 20
78128 : 24
78129 : 20
78130 : 21
78131 : 20
78132 : 22
78133 : 20
78134 : 21

on repere la suite aux plus petits nombres avec la somme des exposant de 2 qui fait 8

la plus petite suite est donc
78117 x 78118 ... x 78116 = 879839921232697713977652723785834630721900000000
9 est impair, ce qui confirme mon raisonnement.

Posté par
niparg
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 13-12-08 à 17:29

perdubonjour
soit la propriété donnée:"le premier chiffre non nul par la droite est pair"
soit p_n=(n+1)(n+2)....(n+10)
p_n est divible par 10!; en effet p_n=10!C_{n+10}^n
comme 10!=3628800, alors b={0,1, 2,......,9}, b*10!posséde la propriété
on vérifie aussi que (10a+b)10! (avec a et b )possède aussi cette propriété
par suite A*10!posséde cette propriété où A
en effetA=b_n10^n+b_{n-1}10^{n-1}+....+b_110+b_0=(..((b_n10+b_{n-1})10+b_{n-2})10.....+b_1)10+b_0 avec b_i
la propriété me semble toujours vérifiée

Posté par
piepalm
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 13-12-08 à 22:14

gagnéDans une suite de 10 nombres consécutifs, il y a 5 nombres pairs, avec au minimum un multiple de 4 et un multiple de 8: le produit est donc au minimum divisible par 2^8. De même il y a au moins deux multiples de 5, dont un seul divisible par 5^2; pour que le premier chiffre non nul soit impair, il est donc nécessaire que le nombre soit divisible par 5^8, donc que le multiple de 25 soit divisible par 5^7=78125. 78128 est un multiple de 16 et ne doit pas figurer dans les 10 nombres consécutifs. La plus petite séquence admissible va donc de 78117 à 78126.
Sauf erreur, le premier chiffre non nul est alors un 3

Posté par
kurtgodel
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 14-12-08 à 15:41

perduSalut.

Je dirais que c'est impossible.

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 14-12-08 à 21:34

perduBonjour !

Allez, j'ose dire que l'on trouve toujours un chiffre pair.

Mais je sais pas pas le démontrer (a vrai dire je ne sais même pas si c'est vrai !).

Merci.

Posté par
Pseud
Ma réponse 15-12-08 à 16:29

perduJ'ose le dire, Il n'y a jamais de chiffre impaire.

Posté par
diffenbeck
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 15-12-08 à 23:25

perduQuestion: S'il existe, quel est le plus petit entier naturel n tel que, en multipliant les 10 entiers consécutifs à partir de n, le premier chiffre à droite non nul soit impair.
Réponse: n=58

Démonstration:
Soit p = i=0..9(n+i).
Le principe est de voir qu'un zéro à droite de p veut dire que p est divisible par 10=2*5. Par conséquent, s'il y a k 0, alors p est divisible par 10k. Si le chiffre d'après est pair, alors \frac{p}{10^k} est divisible encore une fois par 2. Sinon il ne l'est pas. On cherche donc un entier p construit comme dit tel que (k,k'),
kk',
2k' divise p mais pas 2k'+1 et
5k divise p.

Dans un premier temps, on remarquera que p est au moins divisible par 28. En effet, sur 10 nombres consécutifs, 5 sont pairs, dont au maximum 3 sont uniquement divisible par 2, un par 4 et un par 8. Donc 28 divise p (on peut passer en binaire pour s'en rendre compte et le montrer) Ceci nous indique que la puissance nécessaire de 5 doit être au moins égal à 8.

Dans un second temps, on remarquera que seulement 2 nombres (et exactement 2) parmi les 10 sont divisible par 5. Si l'un est divisible par une puissance de 5, alors le suivant (ou le précédent) n'est divisible qu'une fois par 5. On le démontre facilement : k2, a*5k+5 = 5*(a*5k-1+1) non divisible par 52 (et de même si on retranche 5)
Par conséquent, résoudre ce problème consiste à trouver la plus petite suite d'entiers consécutifs contenant 5k avec k 7 et non divisible par 29

Comment faire ?

Et bien on travaille en binaire... le but du jeu est de trouver k tel que l'écriture binaire de 5k se termine par l'une des 10 fins possibles qui minimise la puissance de 2... En le faisant, on comprendra mieux:
- pour minimiser la puissance de 2, on remarque qu'en binaire, un nombre est divisible par 2 s'il finit par 0, par 4 s'il finit par 00, etc... Donc pour minimiser, la suite de 10 nombres doit se terminer par:
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
En multipliant les nombres entre eux, on arrive à une puissance de 8, donc p sera divisible par 28 mais pas par 29.
- maintenant, on doit exprimer les puissances de 5 en base 2 et voir si elles se terminent par l'une de ses fins:
57 = 78125 = 10011000100101101 n'est pas correct.
58 = 390625= 1011111010111100001 est correct.

-Donc en prenant n=58, on est sur d'avoir 28|p mais 29 ne divise pas p, et 59|p. Alors, le premier chiffre à droite non nul ne peut être qu'un 5... cqfd

Posté par
Wasiwasa1729
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 16-12-08 à 07:37

gagnéPour commencer avoir un chiffre impair avant les zeros de la fin c'est avoir un ordre de multiplicité du facteur premier 5 à l'ordre de multiplicité du facteur premier 2. Ainsi tous les facteurs sont "mangés" par les cinq pour donner les facteurs dix c'est à dire les zeros de la fin du nombre.

Ensuite on remarque que dans la décomposition du produit de dix nombres consécutifs il y a en général beaucoup plus de 2, et que les quelques facteurs 5 viennent tous du nombre se terminant par 5 et de celui se terminant par 0.

remarque suivante : si le nombre se terminant par 5 admet plusieurs facteurs 5 dans sa décomposition alors celui se terminant par 0 n'en admet qu'un. Et vice versa. Un simple factorisation vous en persuadera.

Enfin pour trouver le premier nombre avec un chiffre impair devant les zeros il faut donc trouver celui qui dans son produit de 10 nombres consécutifs a suffsamment de facteurs 5 dans le nombre se terminant par 5, et qui a un minimum de facteurs 2 dans les autres nombres, pour que les 2 ordres de multiplicité de 2 et 5 soit égaux.

On remarque que pour 5 nombres pairs consécutifs, le minimum de facteurs de 2 est atteint pour 5 nombres :
de la forme :  16k+2 16k+4 16k+6 16k+8 16k+10 avec au mieux 8 facteurs 2 seulement.
ou
de la forme :  16k+6 16k+8 16k+10 16k+12 16k+14 avec aussi 8 facteurs 2.
Il faut donc 8 facteurs 5. Donc 7 pour le nombre se terminant par 5 et 1 pour celui se terminant par 0.
le nombre se terminant par 5 est donc 57=78125=4882*16+13 donc se nombre est dans l'ensemble comportant 5 nombres pairs de la forme 16k+6...16k+14.
Donc le plus petit produit vérifiant l'égalité des 2 ordres de multiplicité est :

P=78117*78118*78119*78120*78121*78122*78123*78124*78125*78126

P=8466535472635609758623586533222693974221900000000


Le suivant est P=78118*78119*78120*78121*78122*78123*78124*78125*78126*78127
aprés pour le suivant il faut passer à 57*2 , là il y a 4 candidats car  57*2 = 16k +10 et donc est dans les deux ensembles et pour chaque ensembles on peut commencer le produit par le nombre pair ou par le nombre impair qui le précède.

De façon général, on calcul  57*n et on trouve le reste de la division euclidienne par 16 pour determiner les différents produits (2,3 ou 4 possibilité) qui contiennent ce nombre.  

Merci pour cette enigme très intéressante. Ia orana.

Posté par
rems910
Solution 16-12-08 à 18:55

perduQuoi qu'il arrive nous trouverons toujours un entier.

Démonstration enfin tentative de démonstration :
Si on prend 10 entiers consécutifs :
- on prendra forcément 5 entiers impairs dont les derniers chiffres sont : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9.
En les multipliant on aura un nombre se terminant par un chiffre pair et 5, exemple : ....85
- on prendra forcément 5 entiers pairs dont les derniers chiffres sont : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 0.
En les multipliant on aura un nombre qui se terminera par un chiffre pair et 0, exemple : ....70

Si on multiplie ces deux nombres (ce qui revient au même que l'exercice proposé) on obtient :
....a5
x....b0          Avec a et b pair et appartenant a [0;8]
_______
dc00
Avec c forcement positif car un entier pair multiplié par un entier impair donne un entier pair.

Voili voilou.

Posté par
xps1616
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 16-12-08 à 20:05

perduOn trouve toujours un chiffre pair !

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 17-12-08 à 09:11

perduBonjour,

La suite recherchée est (64,65,66,67,68,69,70,71,72,73). Et dans ce cas, le premier chiffre non nul par la droite est 9.

Posté par
masterfab2
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 18-12-08 à 14:49

perdula suite entre 51 et 60

Posté par
rezoons
re : Enigmo 76 : A la recherche d'impair 18-12-08 à 21:36

perduBonjour,
j'ose dire que l'on trouvera toujours un chiffre pair.

1 2 +


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