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Enigmo 77 : La tasse infernale

Posté par
jamo Moderateur
09-12-08 à 17:45

Bonjour,

voici un petit problème de mon invention, qui devrait plaire à tous ceux à qui les énigmes de J-P manquent.

L'idée m'est venue alors que je suis parfois couché sur mon lit avec une tasse de thé qui s'incline dangereusement en fonction de ma position.

Supposons que ma tasse soit de forme "carrée", comme le montre la petite photo ci-dessous. L'épaisseur du fond est de 7mm, l'épaisseur des bords est de 5mm, la hauteur de la tasse est de 110mm et le côté de l'intérieur mesure 70mm (voir le dessin pour ces dimensions). La tasse est dans un quelconque matériau de densité égale à 0,8 (donc 800 kg/m3).
Je ne prends pas en compte une éventuelle anse et on considère que la tasse est un pavé droit(les bords ne sont pas inclinés).

A l'intérieur de la tasse, j'ai mis 25cl de liquide (de l'eau, donc 1 pour la densité).

Ainsi, la tasse s'incline petit à petit, en pivotant autour d'une arête de la base. A partir d'un certain angle, la verticale qui porte le poids (flèche rouge) passe de l'autre côté de cette "arête de rotation", et là, c'est le drame : la tasse bascule !

Question : déterminer la valeur limite de l'angle à partir de laquelle la tasse bascule, avec une précision de 0,1 degré.

Si mes calculs sont exacts, je me suis arrangé pour que le liquide reste entièrement dans la tasse. De plus, la forme prise par le liquide, vue de côté comme sur le dessn, reste toujours un trapèze.

Bonne recherche, et ne vous plaignez pas de la difficulté de cette énigme, car je voulais mettre une tasse cylindrique au début !

Enigmo 77 : La tasse infernale

Enigmo 77 : La tasse infernale

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 09-12-08 à 23:24

perduBonjour Jamo,

je trouve une limite pour l'angle de 42,4°

il faut calculer les positions des centres de gravité, la distance projetée sur l'horizontale par rapport à l'arête et ensuite les moments des forces

à 42,44° l'équilibre est rompu

le centre de gravité de la tasse se trouve à 1,2cm de l'arête pour un poids de 159,44g
pour l'eau j'ai séparé en 2 parties:
une partie (rectangle) avec un poids de 93,18g et un centre de gravité se trouvant à 1,84cm de l'arête
une partie (triangle) d'un poids de de 156,82g et un centre de gravité se trouvant à 1,1cm de l'arête mais à l'extérieur de la tasse

sauf erreur de calcul ou d'interprétation.

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 09-12-08 à 23:29

perdupetite erreur,

le centre de gravité de la tasse se trouve à 1,2*10-2cm donc pratiquement en équilibre
et tout se joue sur les deux masses d'eau.

Posté par
rogerd
La tasse 10-12-08 à 10:23

gagnéMerci Jamo, pour la variété des énigmes!

En espérant ne pas avoir fait de faute de calcul, j'avance ma réponse:

La valeur limite de l'angle est de 41,8 degrés, à 0,1 degré près.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 10-12-08 à 13:58

perduJe crois qu'elle méritait largement 4 étoiles !!!
Après 5 pages de calcul (et d'erreurs), j'ai enfin trouvé un résultat "réaliste", mais je me refuse de vérifier mon ... bazar.
Alors, je me lance !!:)

Je trouve une tangente de 0,787782 et donc un angle de 38,23 ° 38,2 °.

Posté par
torio
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 10-12-08 à 15:26

perduIl me semble que l'équilibre "parfait" (Très instable) est
pour un angle de 48.4495410675166 °

Donc

pour un angle de 48,4° la tasse ne bascule pas
et pour un angle de 48,5° la tasse bascule.

A+
Torio

Enigmo 77 : La tasse infernale

Enigmo 77 : La tasse infernale

Enigmo 77 : La tasse infernale

Posté par
alexandros
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 10-12-08 à 17:37

perdu131.7

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 11-12-08 à 10:05

perduBonjour Jamo,

ma réponse à cette diabolique énigme est la suivante:

l'angle maximal d'équilibre est alpha-max = 41,051... degrés soit 41,1 degré.
Au delà de cette valeur, la tasse bascule complètement et c'est la catastrophe.

Posté par
dpi
révision générale 11-12-08 à 11:31

perdul'avantage de ce problème c'est qu'il fournit une révision des notions de volume de masse de physique et de trigonométrie.
J'ai préparé un tableur dans lequel j'ai posé les données d"énoncé et j'ai cherché les volumes des strates dans la tasse:
masse du fond = 35.84 g
masse du liquide +sa partie de tasse =311.24 g
masse vide +haut de la tasse = 62.37 g

A  ce stade le centre de gravité se calcule par rapport aux proportions des trois strates et il se situe à 34,68 mm du sol

Nous savons que pour qu'un corps parallélépipédique bascule il faut que sa composante poids passe au delà du point de contact (bord situé à 40 mm du centre de ma base.
nous pourrions passer par la tangente ,mais calculons l'hypoténuse du rectangle formé de coté 40 et 36.68 nous trouvons 52.94 mm et le sinus de l'angle du triangle égal à l'angle de chute est donc 0.7555 un bonne table nous donne  :
                  49.2 °
Hélas la masse d'eau elle ne reste pas symétrique et le trapèze formé déplace le centre de gravité vers le pont d'équilibre la seule donnée constante est la masse d'eau et la masse totale

Donc j'abandonne en donnant simplement une estimation :
                  
                   43 °

Posté par
Youpi
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 11-12-08 à 15:15

gagnéSympa comme énigme... mais drôlement calculatoire !

Dans le principe c'est pas si compliqué (joli problème de recherche de barycentre) mais dès qu'on rentre dans le pratique les calculs sont un peu pénibles.
J'avais trouvé un résultats il y a deux jours mais j'ai préféré confirmer avec un logiciel de géométrie et là j'avais un écart de résultat de 1° ...Donc j'ai refait tous ces petits calculs sympathiques et là je retrouve toujours pas le même résultat (mais j'ai trouvé une erreur quand même) !
Pour finir j'avais encore fait une erreur mais cette fois ci avec le logiciel !

Aujourd'hui je trouve un résultat par le calcul très précisément confirmé par le logiciel je répond donc que l'angle fait 41.8°  (pour être plus précis: 41.84744931...)

Je joins le dessin réalisé (dans un repère lié au verre) mais j'ai la flemme d'écrire tous les calculs pas beaux.

On pourra remarquer particulièrement trois points:
T centre de gravité de la tasse vide  --> en noir
E centre de gravité du liquide (eau)  --> en bleu
G centre de gravité de l'ensemble Tasse + Liquide ---> en rouge

Pour voir correctement la figure : incliner la tête de 41,8° vers la droite !

Enigmo 77 : La tasse infernale

Posté par
Nyavlys
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 11-12-08 à 16:57

perduAllez, je me suis surement planté quelque part dans mes calculs interminables, mais on va essayer :
Je trouve un angle de 40.4 °

et effectivement le café ne déborde pas!
merci pour l'énigme

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 11-12-08 à 17:59

Juste pour le fun (pas de smiley)

Quelques lignes bien pensées dans Excel pour calculer le moment résultant des forces autour de l'axe passant par l'arête posée sur le sol...
Et on lit l'angle lorsque le moment change de signe.

Enigmo 77 : La tasse infernale

---> angle = 41,8° à moins de 0,1° près.

Posté par
dpi
complément de ma réponse 12-12-08 à 11:21

perduje mériterai un poisson mais si jamo voulait m'accorder un visage souriant ,je maintiens ma réponse puisque l'eau est gelée (nous sommes en hiver)donc un angle de 49.2°

plus sérieusement,j ai constaté par la suite que pour que l'eau commence à se déverser nous aurons non pas un trapèze mais un triangle et de plus la section du fond ne sera plus un carré de 70 x70 mais de 70 x 69.35
le barycentre du volume d'eau triangulaire sera sur un segment de 35 mm dans l'axe de l'intersection des médianes du triangle 103 x 69.35 x 124.17

donc le barycentre de l'ensemble sera compris entre celui du verre gelé et ce point (vraiment très proche sur mon schéma à l'échelle)

Il me tarde de voir la solution finale mais j'affine mon estimation à 47,5°

Posté par
rogerd
la tasse 12-12-08 à 15:35

gagnéBonjour Jamo

En quelques mots la méthode (je n'ai pas su l'améliorer depuis le 10/12).

Je considère la tasse comme un "bloc extérieur" amputé d'un "bloc intérieur". Par différence, j'ai sa masse, puis son centre de gravité G1.
On a par ailleurs facilement la hauteur L du liquide versé dans la tasse supposée horizontale.
Je note t la tangente de l'angle alpha.
Sur ton dessin on voit bien que la section visible du liquide, quand la tasse est penchée, est un trapèze.
La demi-somme des bases est L.
Le centre de gravité de ce trapèze est le centre de gravité G2 du liquide penché. Pour obtenir sa position, je n'ai rien trouvé de plus simple que de découper ce trapèze en un rectangle et un triangle, en procédant analytiquement. J'ai pris l'origine au centre du dessous de la tasse et l'axe Oy suivant l'axe de la tasse.
En prenant le barycentre de G1 et G2 affectés des masses comme coefficients j'ai trouvé les coordonnées (en fonction de t) du centre de gravité G du système tasse-liquide, puis l'équation de la verticale de G (elle passe par G et est perpendiculaire à la surface du liquide)
La position limite est obtenue quand cette droite passe par l'arête en contact avec la table (le point de coordonnées (40,0) de mon repère).
Cela me donne t par une équation du troisième degré que je résous à la calculatrice.
J'en déduis alpha.

Si je n'ai pas fait de faute de calcul, c'est que j'aurai eu beaucoup de chance!

Posté par
Napoleon1er
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 12-12-08 à 19:19

perduBonjour

Après avoir réfléchis, je pense que 45° serait trop, j'ai donc cherché entre 0<x<45
J'ai trouvé 41.6°

Bonne soirée à tous

Posté par
hicham00
resultat 14-12-08 à 15:39

perduc'est complexe
d'abord tout ce que je peux dire l'angle est égale à 28.38°.

Posté par
Wasiwasa1729
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 17-12-08 à 02:10

perduJe ne suis absolument pas sur de ma reponse car j'ai eu un peu la paresse de refaire tous les calculs. Donc j'y vais sans filet et je pense que l'angle doit être 43,2°
Merci pour l'énigme.

Posté par
totti1000
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 19-12-08 à 20:27

perduSalut Jamo,
Pas facile cette énigme.
D'après moi, l'angle est de 43,2 degrés.

Posté par
Lipton123
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 23-12-08 à 17:48

perduvaleur limite de =34,8 ° ?

Posté par
castoriginal
solution Enigmo 77 : la Tasse infernale 23-12-08 à 20:23

perduLa réponse au problème posé est 40,0°. Je peux fournir la démonstration mathématique détaillée basée sur la géométrie des masses en annulant le moment statique des 4 masses en mouvement par rapport au centre de rotation.
Bien à vous,
Castoriginal

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 27-12-08 à 09:51

Clôture de l'énigme

Bon, il est temps de clôturer cette énigme infernale. Longtemps, j'ai pensé qu'il y aurait une réponse différente par participant.
Et finalement, la réponse 41,8° est apparue 4 fois : déjà moi (après avoir corrigé mes calculs plus d'une fois), ensuite rogerd, puis Youpi (qui confirme son résultat par un logiciel, et enfin J-P qui est venu à la rescousse !

Bon, je vais donner la méthode que j'ai utilisé. En fait, ce n'est pas très compliqué, mais il est vrai qu'il y a pas mal de petits calculs qui demandaient d'être vigilant et organisé pour en venir à bout.

Considérons que la tasse est inclinée d'un angle et plaçons-nous dans le repère (xOy) lié à la tasse (repère en bleu).

Dans ce repère, déterminons la position du centre de gravité et les masses des 4 morceaux suivants :

- le fond de la tasse
- les bords de la tasse
- la partie rectangulaire de liquide
- la partie triangulaire de liquide

Fond de la tasse

Volume (en mm3) : V_1 = 80 \times 80 \times 7 = 44800
Masse (en mg) : M_1 = 44800 \times 0,8 = 35840
Abscisse du centre de gravité (en mm) : x_1 = 40
Ordonnée du centre de gravité (en mm) : y_1 = 3,5

Bords de la tasse

Volume (en mm3) : V_2 = (80^2 - 70^2) \times 103 = 154500
Masse (en mg) : M_2 = 154500 \times 0,8 = 123600
Abscisse du centre de gravité (en mm) : x_2 = 40
Ordonnée du centre de gravité (en mm) : y_2 = 58,5

Valeurs de b et c en fonction de (voir figure pour notations)

Hauteur initiale de liquide (en mm) : h = \frac{250000}{70^2} \approx 51,02

Le volume de liquide étant constant, on a : b+c = 2 h
Dans le triangle rectangle de liquide, on a : b-c = a \tan \alpha

On en déduit : b = h + \frac{a \tan \alpha}{2} et c = h - \frac{a \tan \alpha}{2}

Partie rectangulaire de liquide

Volume (en mm3) : V_3 = 70^2 \times c= 4900 c
Masse (en mg) : M_3 = 4900 c
Abscisse du centre de gravité (en mm) : x_3 = 40
Ordonnée du centre de gravité (en mm) : y_3 = 7 + \frac{c}{2}

Partie triangulaire de liquide

Volume (en mm3) : V_4 = 70^2 \times \frac{b-c}{2} = 2450 (b-c)
Masse (en mg) : M_4 = 2450 (b-c)
Abscisse du centre de gravité (en mm) : x_4 = 40 - \frac{35}{3} \approx 28,33
Ordonnée du centre de gravité (en mm) : y_4 = 7 + c + \frac{b-c}{3} = 7 + \frac{2 c + b}{3}

Centre de gravité de l'ensemble

Abscisse : x = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2 + M_3 x_3 + M_4 x_4}{M_1 + M_2 + M_3 + M_4}
Ordonnée : y = \frac{M_1 y_1 + M_2 y_2 + M_3 y_3 + M_4 y_4}{M_1 + M_2 + M_3 + M_4}

Dans le repère (XOY) lié à la table, le centre de gravité à pour coordonnées :

X = x \cos \alpha - y \sin \alpha
Y = x \sin \alpha + y \cos \alpha

Et voilà, en mettant tout ça dans un tableur par exemple, il suffit de faire varier la valeur de jusqu'à ce que la valeur de X passe par 0.

Enigmo 77 : La tasse infernale

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 27-12-08 à 10:38

perduC'est bizarre en lisant ton raisonnement il me semble avoir procédé tout à fait de la même manière, mais mon résultat est faux à 0,7 degrés près... peut être un mauvais arrondi de ma vieille casio qui sait...

Posté par
Youpi
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 28-12-08 à 16:14

gagnéBonjour à tous,

J'allais expliquer comment j'avais procédé pour trouver mon résultat, mais en relisant les posts précédents je me suis aperçue que ma méthode était similaire en tous point à celle de rogerd donc je vois pas l'intérêt de faire de la redite.
J'en profite pour remercier ma calculatrice de savoir résoudre les équations du troisième degré, car je ne me serais pas vue résoudre celle ci avec la méthode de Cardan (ou alors avec trois tubes d'aprinine ).

Posté par
Youpi
re : Enigmo 77 : La tasse infernale 28-12-08 à 16:16

gagnétube d'aspirine

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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