Ma réponse va sembler bête mais me parrait tout de même possible :
x=0 et y<0
Ainsi on aura 60-(x*y)=60+x/y
60-0=60+0
Le résultat sera alors 60.
Bon, on va bien voir ce que cela va donner !
Nous avons le système d'équation suivant
60-X*Y=Z
60+X/Y=Z
Donc 60-X*Y=60+X/Y
-X*Y=X/Y => une division de nombre positif ne peux donner un nombre négatif.
Multiplions par Y les deux côtés de l'équation
-X*Y²=X
Divisons par X les deux côtés de l'équation
-Y²=1
Y² est forcément positif donc -Y² est fatalement négatif et ne peux donc pas être égal à 1
Le problème n'est donc pas soluble.
Salut,
Voilà les couples de nombres que j'ai trouvé :
(11,11) (25,5) (45,3) (80,2)
Je ne suis pas sure que la liste soit exhaustive...
Merci
Bonjour:
L'énoncé peut être traduit par:
pour (n;m)*²
i.e.
'
donc:
les carrés les plus évidents que peut être ' sont:
70²;80²;90²;100² etc (je n'ai pas cherché plus loin...)
il se trouve que 100²=60²+80² avec donc m=80 (coup de bol!)
et avec m=80, n=2 (n>0)
Donc je m'en tiens à la réponse:
les deux nombres que vous lui a donné est 80 et 2
sa réponse a été 100
Merci
bonjour
je propose la solution suivante:
puisque les operations sont inversees,on peut ecrire ;(x*y)-60=(x/y)+60.ou xy^2-60y=x+60y.
ou xy^2-120y-x=0. equation du 2nd degre ou a=x,b=-120,c=-x.le discriminant est positif,et x et y sont positifs ,donc delta = 120^2+4x^2.
une seule racine=y=(120+racine carree(120^2+4x^2))/2x
je remplace y par sa valeur en fonction de x .je resouds l'equation a une inconnue .
ce qui donne x^2= :x^2=(120^2)-(240/239)^2=3599,747904
donc x=59,99789916 et y=2,414273337
Bonjour,
On ne demande pas à ce que les deux nombres soient différents.
11 et 11 marchent.
En effet:
Merci pour l'énigme.
Formuler le problème :
A*B-60=A/B+60
A*B-A/B=120
A(B-1/B)=120
A(B^2-1)/B=120
Ce qui revient à:
A=120*B/(B^2-1)
et donc :
Il suffit que l'on puisse exprimer B/(B^2-1) en tant que quotient de deux entiers dont le diviseur est un diviseur de 120.
Soit : B/(B^2-1) = Q/P et 120/P=Z
avec Q,P et Z entiers
Finalement quelques solutions :
A=80
B=2
,
A=11
B=11
Bonjour à tous,
Le problème posé revient à chercher deux entiers strictement positifs n et p tels que
n*p - 60 = n/p + 60
il est clair que n/p doit être un entier et que donc p divise n
posons n = k*p, avec k entier 1
En remplaçant on obtient : k*p3 - 120*p = k*p
En simplifiant par p et en réarrangeant cela donne k*(p2-1) = 120
On doit donc avoir (p2-1) divise 120
Les carrés diminués de 1 susceptibles de convenir sont :
0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 , 48 , 63 , 80 , 99 , 120
Parmi eux, seuls 3 , 8 , 15 , 24 et 120 sont des diviseurs de 120
( correspondant aux valeurs de p : 2 , 3 , 4 , 5 et 11 )
Et la division de 120 par ces nombres donnent pour valeurs de k :40 , 15 , 8 , 5 et 1
et donc aux valeurs de n=k*p : 80 , 45 , 32 , 25 et 11
Le couple (n,p) cherché vaut donc : (80,2) (45,3) (32,4) (25,5) ou (11,11)
Cordialement,
Alain
Bonjour tout le monde !
J'ai trouver les couples suivant pour solutions :
(11,11) (25,5) (32,4)
Les resultats étant respéctivement : 61 65 et 68
5 solutions :
(80;2), (24;3), (32;4), (25;5), (11,11).
Explications :
Les données se réecrivent
Nécessairement, est entier, et vaut par exemple .
Du coup, et .
On teste pour les différentes valeurs de possibles (limitées) (ou inversement on teste les valeurs de y qui pourraient satisfaire aux conditions sur k).
Bonjour et merci pour l'énigme,
si je ne me suis pas trompé, les deux entiers (je les note a et b) sont égaux:
a=b=11
et le résultat
a*b-60=a/b+60=61
voilivoilou, bonne continuation,
Ned
Désolé je me suis planté.
Ca marche pour 80 et 2
80*2-60=100
80/2+60=100
Comment je sais pas j'ai esayer avec tout les niombres de 0 jusqu'à 80 ^^
Je crois que je vais pas faire le facultatif...
Yahou j'ai toutes les valeurs. Et je sais pourquoi. J'y ai passé la nuit mais je crois que c'est juste.
On demandes à Igor de faire:
M*N - 60 = R
Mais lui ferat:
N/M + 60 = R'
Or R=R'
Donc:
M*N - 60 = N/M + 60
N*M - N/M = 120
N (M - 1/M) = 120
(M²-1)/M = 120/N
(120M)/(M²-1) = N
On pose la fonction f(M) = N = (120M)/(M²-1)
M différent de 0 (car M-{0})
M différent de 1 (car M=1 N)
On étudie donc f(M) sur [2;+[ où l'on cherche tout les M entier non nuls tels que f(M) entiers naturel non nul.
On essaye alors tout les entier entre 2 et 120 ( f(M) est décroissante sur [2;+[ et N=1 M 120 )
On obtient
M | N | M*N | N/M | R=R' |
2 | 80 | 160 | 40 | 100 |
3 | 45 | 135 | 15 | 75 |
4 | 32 | 128 | 8 | 68 |
5 | 25 | 125 | 5 | 65 |
11 | 11 | 121 | 1 | 61 |
Bonsoir Jamo,
Plusieurs solutions possibles:
1° couple 11 et 11, réponse 61
2° couple 25 et 5, réponse 65
3° couple 32 et 4, réponse 68
4° couple 45 et 3, réponse 75
5° couple 80 et 2, réponse 100
Soient a et b les deux nombres choisis au départ.
On a la relation suivante
a/b + 60 = ab - 60
120 = a(b - 1/b)
120 = a(b²-1)/b
120 = a(b+1)(b-1)/b
b est premier avec b+1, b est premier avec b-1
Or b divise le produit a(b+1)(b-1) car a(b+1)(b-1)/b est un nombre entier.
Donc b divise a, on peut donc écrire a/b = k avec k entier, donc k diviseur de 120
k(b+1)(b-1) = 120, b+1 ainsi que b-1 sont des diviseurs de 120.
Diviseurs de 120 :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 et 120
Donc b = 2 ou b = 3 ou b = 4 ou b = 5. Ce sont les seules possibilités pour que b-1 et b+1 divisent 120
Pour b = 5, ça marche, on a a = 25
Vérifions : 25/5 + 60 = 65
25*5 - 60 = 65 k:
Pour b = 4, on a a = 32
32/4 + 60 = 68
32*4 - 60 = 68
b = 3 => a = 45 et le nombre cherché est 75
b = 2 => a = 80 et le nombre cherché est 100
Solutions sous la forme (a, b, résultat)
(2,80,100)
(3,45,75)
(4,32,68)
(5,25,65)
Voilà je pense que j'ai pas fait trop d'erreurs
Clôture de l'énigme
Il y avait 5 couples de nombres qui convenaient à ce problème : (2;80) (3;45) (4;32) (5;25) (11;11)
Heureusement que je n'avais pas demande toutes les réponses, car beaucoup ont oublié la réponse (11;11) !
Et c'est donc yoyodada qui remporte le mois de janvier !
Bonjour à tous,
Félicitation Yoyodada,
puisque tu es devenu un grand sage tu peux écrire Yoda maintenant.
Bonjour à tous, et bravo à yoda (faut pas lui en vouloir la vieillesse le fait bégayer )
13 personnes sans fautes je crois que c'est un record !
Salut tout le monde, et merci à tous !!
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